考 情 分 析
生活实践类 体育运动中功和功率问题，风力发电功率计算，蹦极运动、过山车等能量问题，汽车启动问题，生活、生产中能量守恒定律的应用
学习探究类 变力做功的计算，机车启动问题，单物体机械能守恒，用绳、杆连接的系统机械能守恒问题，含弹簧系统机械能守恒问题，传送带、板块模型的能量问题
第26课时 功、功率
目标要求 1.理解功的概念，会判断功的正负，会计算功的大小。2.理解功率的概念，掌握功率的两个公式，会计算平均功率和瞬时功率。3.会分析两种机车启动方式中各物理量的变化并能进行相关计算。
考点一 功的分析和计算
1.做功的两个要素
(1)作用在物体上的 。
(2)物体在力的方向上发生 。
2.公式：W＝ 。
(1)α是力与 方向之间的夹角，l为 的位移。
(2)该公式只适用于 做功。
3.功的正负
(1)当0≤α<90°时，W>0，力对物体做 。
(2)当90°<α≤180°时，W<0，力对物体做 ，或者说物体 这个力做了功。
(3)当α＝90°时，W＝0，力对物体 。
4.计算恒力做功的方法
(1)直接用W＝Flcos α计算。
(2)合外力做的功
方法一：先求合外力F合，再用W合＝F合lcos α求功。
方法二：先求各个力做的功W1、W2、W3、…，再应用W合＝W1+W2+W3+…求合外力做的功。
方法三：利用动能定理W合＝Ek2－Ek1。
1.只要物体受力的同时又发生了位移，则一定有力对物体做功。( )
2.一个力对物体做了负功，则说明这个力一定阻碍物体的运动。( )
3.力F1、F2做的功分别为10 J和－15 J，则力F1比F2做功多。( )
4.功有正负，说明功是矢量，因此总功是所有外力做功的矢量和。( )
例1 (2024·上海市模拟)如图，一磁铁吸附在铁板AB的下方。现保持铁板与水平面间的夹角θ不变，缓慢推动B端，使AB与磁铁一起水平向左匀速移动，则( )
A.合外力对磁铁做正功
B.AB对磁铁的作用力不做功
C.AB对磁铁的弹力不做功
D.AB对磁铁的摩擦力不做功
例2 如图所示，升降机内斜面的倾角θ＝30°，质量为2 kg的物体置于斜面上始终不发生相对滑动，在升降机以5 m/s的速度匀速上升4 s的过程中。g取10 m/s2，求：
(1)斜面对物体的支持力所做的功；
(2)斜面对物体的摩擦力所做的功；
(3)物体重力所做的功；
(4)合外力对物体所做的功。
考点二 功率的分析和计算
1.定义：功与完成这些功所用 之比。
2.物理意义：描述力对物体做功的 。
3.公式：
(1)P＝，P描述时间t内力对物体做功的 。
(2)P＝Fvcos α
①v为平均速度，则P为 功率。
②v为瞬时速度，则P为 功率。
1.由P＝知，只要知道W和t就可求出任意时刻的功率。( )
2.由P＝Fv既能求某一时刻的瞬时功率，也可以求平均功率。( )
3.当F为恒力时，v增大，F的功率一定增大。( )
例3 (2025·黑龙江大庆市期中)如图所示，质量为m＝2 kg的木块在倾角θ＝37°的固定斜面上由静止开始下滑，斜面足够长，木块与斜面间的动摩擦因数为μ＝0.5，已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g取10 m/s2，则前2 s内重力的平均功率和2 s末重力的瞬时功率分别为( )
A.48 W 24 W B.24 W 48 W
C.24 W 12 W D.12 W 24 W
1.平均功率的计算方法
(1)利用。
(2)利用＝F·cos α，其中为物体运动的平均速度，其中F为恒力，α不变。
2.瞬时功率的计算方法
(1)利用公式P＝Fvcos α求瞬时功率时，其中v为
t时刻的瞬时速度。F可为恒力，也可为变力，α为F与v的夹角，α可以不变，也可以变化。
(2)对公式P＝Fvcos α的理解：可认为Fcos α是力F在速度v方向上的分力，也可认为vcos α是速度v在力F方向上的分速度。
例4 (2023·山东卷·4)《天工开物》中记载了古人借助水力使用高转筒车往稻田里引水的场景。引水过程简化如下：两个半径均为R的水轮，以角速度ω匀速转动。水筒在筒车上均匀排布，单位长度上有n个，与水轮间无相对滑动。每个水筒离开水面时装有质量为m的水，其中的60%被输送到高出水面H处灌入稻田。当地的重力加速度为g，则筒车对灌入稻田的水做功的功率为( )
A. B.
C. D.nmgωRH
考点三 机车启动问题
一、功率P与F、v的制约关系
例5 发动机的额定功率是汽车长时间行驶时所能输出的最大功率。某型号汽车发动机的额定功率为60 kW，在水平路面上行驶时受到的阻力是1 800 N。
(1)发动机在额定功率下汽车匀速行驶的速度大小；
(2)假定汽车以54 km/h的速度匀速行驶时受到的阻力不变，此时发动机输出的实际功率是多少？
1.P＝Fv中三个物理量的制约关系：P一定时，v越大，F越小；F一定时，v越大，P越大。
2.额定功率与实际功率：额定功率指发动机正常工作时的最大功率，实际功率指发动机实际输出的功率，一般小于额定功率。最大速度vm＝。
二、机车启动问题
(来自教材)质量为m的汽车在平直公路上行驶，阻力F保持不变。当它以速度v、加速度a加速前进时，发动机的实际功率正好等于额定功率，从此时开始，发动机始终在额定功率下工作。
(1)汽车的加速度和速度如何变化？说出理由。
(2)如果公路足够长，汽车最后的速度是多大？
1.以恒定功率启动
(1)过程分析
(2)此过程的P－t图像和v－t图像
2.以恒定加速度启动
(1)过程分析
(2)此过程的P－t图像和v－t图像
例6 一辆汽车质量m＝1.0×103 kg，发动机的额定功率P＝5.6×104 W，汽车在运动过程中所受阻力Ff＝2 000 N(g取10 m/s2)。
(1)求汽车在水平直轨道上行驶的最大速度的大小；
(2)在水平直轨道上，发动机以额定功率P工作，求当行驶速度为10 m/s时，汽车的瞬时加速度的大小；
(3)若汽车从静止开始，保持2 m/s2的加速度做匀加速直线运动，求这一过程维持的最长时间。
拓展 若汽车沿倾角为30°的斜坡向上运动，求汽车所能达到的最大速度的大小。
例7 (多选)(2024·吉林省吉林市一模)如图甲所示，“水上飞人”是一种水上娱乐运动。喷水装置向下持续喷水，总质量为M的人与喷水装置受到向上的反冲作用力腾空而起，在空中做各种运动。一段时间内，人与喷水装置在竖直方向运动的v－t图像如图乙所示，水的反冲作用力的功率恒定，规定向上为正方向，忽略水管对喷水装置的拉力以及空气的阻力，重力加速度为g，下列说法正确的是( )
A.t1~t2时间内，水的反冲作用力越来越大
B.水的反冲作用力的功率为Mgv2
C.t1时刻，v－t图像切线的斜率为g
D.t2~t3时间内，水的反冲作用力做的功为Mgv2t3
机车启动问题的三个重要关系式
1.无论哪种启动过程，机车的最大速度都等于其匀速运动时的速度，即vm＝。
2.机车以恒定加速度启动的过程中，匀加速过程结束时，功率最大，但速度不是最大，v＝
答案精析
考点一
1.(1)力 (2)位移
2.Flcos α (1)位移 力的作用点 (2)恒力
3.(1)正功 (2)负功 克服
(3)不做功
判断正误
1.× 2.√ 3.× 4.×
例1 B [由于磁铁做匀速运动，磁铁所受合外力为零，合外力对磁铁不做功，故A错误；磁铁受重力和AB对它的作用力而做匀速运动，根据平衡条件可知，AB对磁铁的作用力大小等于重力大小，方向竖直向上，与磁铁的运动方向相互垂直，故AB对磁铁的作用力不做功，故B正确；AB对磁铁的弹力垂直接触面，与磁铁的运动方向不垂直，故弹力一定做功，故C错误；AB对磁铁的摩擦力沿接触面，与磁铁运动方向不垂直，故摩擦力一定做功，故D错误。]
例2 (1)300 J (2)100 J (3)－400 J
(4)0
解析 物体置于升降机内随升降机一起匀速运动过程中，处于受力平衡状态，受力分析如图所示
由平衡条件得
Ffcos θ－FNsin θ＝0，
Ffsin θ+FNcos θ－mg＝0
代入数据得Ff＝10 N，FN＝10 N
x＝vt＝20 m
(1)斜面对物体的支持力所做的功
WN＝FNxcos θ＝300 J
(2)斜面对物体的摩擦力所做的功
Wf＝Ffxsin θ＝100 J
(3)物体重力做的功
WG＝－mgx＝－400 J
(4)合外力对物体做的功
方法一：W合＝WN+Wf+WG＝0
方法二：F合＝0，W合＝F合xcos α＝0。
考点二
1.时间
2.快慢
3.(1)快慢 (2)①平均 ②瞬时
判断正误
1.× 2.√ 3.×
例3 B [木块所受的合外力
F合＝mgsin θ－μmgcos θ＝4 N
木块的加速度a＝＝2 m/s2
前2 s内木块的位移
x＝at2＝×2×22 m＝4 m
所以重力在前2 s内做的功为
W＝mgxsin θ＝2×10×4×0.6 J＝48 J
重力在前2 s内的平均功率＝24 W
木块在2 s末的速度v＝at＝2×2 m/s
＝4 m/s
2 s末重力的瞬时功率
P＝mgvsin θ＝2×10×4×0.6 W
＝48 W
故选项B正确。]
例4 B [由题知，水筒在筒车上均匀排布，单位长度上有n个，且每个水筒离开水面时装有质量为m的水，其中的60%被输送到高出水面H处灌入稻田，则水轮转一圈灌入稻田的水的总质量为m总＝2πRnm×60%＝1.2πRnm，则水轮转一圈灌入稻田的水克服重力做的功W＝1.2πRnmgH，则筒车对灌入稻田的水做功的功率为P＝，t＝，联立解得P＝，故选B。]
考点三
二、
讨论交流 (1)见解析 (2)
解析 (1)质量为m的汽车，当发动机的实际功率等于额定功率P额时速度为v，加速度为a，
则有－F＝ma
得P额＝(F+ma)v
此后由于P额和F不变，随着速度增大，a逐渐减小，当＝F时a＝0，此时速度达到最大，
vmax＝
达到最大速度后，以最大速度匀速行驶。
(2)如果公路足够长，汽车最终速度vmax＝。
例5 (1)33.3 m/s (2)27 kW
解析 (1)汽车匀速行驶时，
F牵＝Ff＝1 800 N
P＝F牵v1
则v1＝≈33.3 m/s
(2)v2＝54 km/h＝15 m/s
P实＝F牵v2＝2.7×104 W＝27 kW。
例6 (1)28 m/s (2)3.6 m/s2 (3)7 s
解析 (1)汽车以额定功率行驶，当牵引力等于阻力，即F＝Ff时，汽车的加速度为零，速度达到最大值vm，则vm＝＝28 m/s
(2)若v＝10 m/s，则此时牵引力
F'＝＝5.6×103 N
根据牛顿第二定律得a＝
＝3.6 m/s2
(3)由牛顿第二定律得F″＝Ff+ma″＝4 000 N
在此过程中，速度增大，发动机功率增大，设功率增大到额定功率时速度为v″，则v″＝＝14 m/s
由v″＝a″t得t＝＝7 s。
拓展 8 m/s
解析 汽车在斜坡上达到最大速度时，加速度为零，根据受力平衡有F牵＝Ff+mgsin 30°，又P＝F牵vm'，解得vm'＝8 m/s。
例7 BC [设水的反冲作用力的功率为P，由P＝Fv可得水的反冲作用力F＝，由v－t图像可知t1~t2时间内，人与喷水装置的速度v越来越大，则水的反冲作用力越来越小，故A错误；t2时刻，人与喷水装置的速度达到最大值v2，开始匀速上升，水的反冲作用力F＝Mg，水的反冲作用力的功率P＝Fv2＝Mgv2，故B正确；由v－t图像可知t1时刻，人与喷水装置的速度为v1，设水的反冲作用力为F1，由P＝Mgv2，P＝F1v1，可知F1＝Mg，由牛顿第二定律有F1－Mg＝Ma，可得t1时刻，v－t图像切线的斜率，即人与喷水装置的加速度a＝g，故C正确；由P＝可得W＝Pt，结合P＝Mgv2，可知t2~t3时间内，水的反冲作用力做的功W＝Mgv2(t3－t2)，故D错误。](共68张PPT)
机械能守恒定律
第六章
物理
大
一
轮
复
习
考情分析
生活实践类 体育运动中功和功率问题，风力发电功率计算，蹦极运动、过山车等能量问题，汽车启动问题，生活、生产中能量守恒定律的应用
学习探究类 变力做功的计算，机车启动问题，单物体机械能守恒，用绳、杆连接的系统机械能守恒问题，含弹簧系统机械能守恒问题，传送带、板块模型的能量问题
试题情境
第26课时
功、功率
目标
要求
1.理解功的概念，会判断功的正负，会计算功的大小。
2.理解功率的概念，掌握功率的两个公式，会计算平均功率和瞬时功率。
3.会分析两种机车启动方式中各物理量的变化并能进行相关计算。
课时精练
内容索引
考点一 功的分析和计算
考点二 功率的分析和计算
考点三 机车启动问题
1.做功的两个要素
(1)作用在物体上的 。
(2)物体在力的方向上发生 。
2.公式：W＝ 。
(1)α是力与 方向之间的夹角，l为 的位移。
(2)该公式只适用于 做功。
功的分析和计算
考点一
力
位移
Flcos α
位移
力的作用点
恒力
3.功的正负
(1)当0≤α<90°时，W>0，力对物体做 。
(2)当90°<α≤180°时，W<0，力对物体做 ，或者说物体 这个力做了功。
(3)当α＝90°时，W＝0，力对物体 。
正功
负功
克服
不做功
4.计算恒力做功的方法
(1)直接用W＝Flcos α计算。
(2)合外力做的功
方法一：先求合外力F合，再用W合＝F合lcos α求功。
方法二：先求各个力做的功W1、W2、W3、…，再应用W合＝W1＋W2＋W3＋…求合外力做的功。
方法三：利用动能定理W合＝Ek2－Ek1。
1.只要物体受力的同时又发生了位移，则一定有力对物体做功。
( )
2.一个力对物体做了负功，则说明这个力一定阻碍物体的运动。
( )
3.力F1、F2做的功分别为10 J和－15 J，则力F1比F2做功多。( )
4.功有正负，说明功是矢量，因此总功是所有外力做功的矢量和。
( )
√
×
判断正误
×
×
(2024·上海市模拟)如图，一磁铁吸附在铁板AB的下方。现保持铁板与水平面间的夹角θ不变，缓慢推动B端，使AB与磁铁一起水平向左匀速移动，则
A.合外力对磁铁做正功
B.AB对磁铁的作用力不做功
C.AB对磁铁的弹力不做功
D.AB对磁铁的摩擦力不做功
例1
√
由于磁铁做匀速运动，磁铁所受合外力为零，合外力对磁铁不做功，故A错误；
磁铁受重力和AB对它的作用力而做匀速运动，根
据平衡条件可知，AB对磁铁的作用力大小等于重力大小，方向竖直向上，与磁铁的运动方向相互垂直，故AB对磁铁的作用力不做功，故B正确；
AB对磁铁的弹力垂直接触面，与磁铁的运动方向不垂直，故弹力一定做功，故C错误；
AB对磁铁的摩擦力沿接触面，与磁铁运动方向不垂直，故摩擦力一定做功，故D错误。
如图所示，升降机内斜面的倾角θ＝30°，质量为2 kg的物体置于斜面上始终不发生相对滑动，在升降机以5 m/s的速度匀速上升4 s的过程中。g取10 m/s2，求：
(1)斜面对物体的支持力所做的功；
例2
答案 300 J
物体置于升降机内随升降机一起匀速运动过程中，处于受力平衡状态，受力分析如图所示
由平衡条件得
Ffcos θ－FNsin θ＝0，
Ffsin θ＋FNcos θ－mg＝0
代入数据得Ff＝10 N，FN＝10 N
x＝vt＝20 m
斜面对物体的支持力所做的功
WN＝FNxcos θ＝300 J
(2)斜面对物体的摩擦力所做的功；
答案 100 J
斜面对物体的摩擦力所做的功
Wf＝Ffxsin θ＝100 J
(3)物体重力所做的功；
答案 －400 J
物体重力做的功WG＝－mgx＝－400 J
(4)合外力对物体所做的功。
答案 0
合外力对物体做的功
方法一：W合＝WN＋Wf＋WG＝0
方法二：F合＝0，W合＝F合xcos α＝0。
返回
功率的分析和计算
考点二
1.定义：功与完成这些功所用 之比。
2.物理意义：描述力对物体做功的 。
3.公式：
(1)P＝，P描述时间t内力对物体做功的 。
(2)P＝Fvcos α
①v为平均速度，则P为 功率。
②v为瞬时速度，则P为 功率。
时间
快慢
快慢
平均
瞬时
1.由P＝知，只要知道W和t就可求出任意时刻的功率。( )
2.由P＝Fv既能求某一时刻的瞬时功率，也可以求平均功率。( )
3.当F为恒力时，v增大，F的功率一定增大。( )
×
√
判断正误
×
(2025·黑龙江大庆市期中)如图所示，质量为m＝2 kg的木块在倾角θ＝37°的固定斜面上由静止开始下滑，斜面足够长，木块与斜面间的动摩擦因数为μ＝0.5，已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g取10 m/s2，则前2 s内重力的平均功率和2 s末重力的瞬时功率分别为
A.48 W 24 W
B.24 W 48 W
C.24 W 12 W
D.12 W 24 W
例3
√
木块所受的合外力
F合＝mgsin θ－μmgcos θ＝4 N
木块的加速度a＝＝2 m/s2
前2 s内木块的位移
x＝at2＝×2×22 m＝4 m
所以重力在前2 s内做的功为
W＝mgxsin θ＝2×10×4×0.6 J＝48 J
重力在前2 s内的平均功率＝24 W
木块在2 s末的速度v＝at＝2×2 m/s＝4 m/s
2 s末重力的瞬时功率
P＝mgvsin θ＝2×10×4×0.6 W＝48 W
故选项B正确。
1.平均功率的计算方法
(1)利用。
(2)利用＝F·cos α，其中为物体运动的平均速度，其中F为恒力，α不变。
2.瞬时功率的计算方法
(1)利用公式P＝Fvcos α求瞬时功率时，其中v为t时刻的瞬时速度。F可为恒力，也可为变力，α为F与v的夹角，α可以不变，也可以变化。
总结提升
(2)对公式P＝Fvcos α的理解：可认为Fcos α是力F在速度v方向上的分力，也可认为vcos α是速度v在力F方向上的分速度。
总结提升
(2023·山东卷·4)《天工开物》中记载了古人借助水力使用高转筒车往稻田里引水的场景。引水过程简化如下：两个半径均为R的水轮，以角速度ω匀速转动。水筒在筒车上均匀排布，单位长度上有n个，与水轮间无相对滑动。每个水筒离开水面时装有质量为m的水，其中的60%被输送到高出水面H处灌入稻田。当地的重力加速度为g，则筒车对灌入稻田的水做功的功率为
A. B.
C. D.nmgωRH
例4
√
由题知，水筒在筒车上均匀排布，单位长度上有n个，且每个水筒离开水面时装有质量为m的水，其中的60%被输送到高出水面H处灌入稻田，则水轮转一圈灌入稻田的水的总质量为m总＝2πRnm×60%＝1.2πRnm，则水轮转一圈灌入稻田的水克服重力做的功W＝1.2πRnmgH，则筒车对
灌入稻田的水做功的功率为P＝，t＝，联立解得P＝，故选B。
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机车启动问题
考点三
一、功率P与F、v的制约关系
发动机的额定功率是汽车长时间行驶时所能输出的最大功率。某型号汽车发动机的额定功率为60 kW，在水平路面上行驶时受到的阻力是
1 800 N。
(1)发动机在额定功率下汽车匀速行驶的速度大小；
例5
答案 33.3 m/s
汽车匀速行驶时，F牵＝Ff＝1 800 N
P＝F牵v1
则v1＝≈33.3 m/s
(2)假定汽车以54 km/h的速度匀速行驶时受到的阻力不变，此时发动机输出的实际功率是多少？
答案 27 kW
v2＝54 km/h＝15 m/s
P实＝F牵v2＝2.7×104 W＝27 kW。
1.P＝Fv中三个物理量的制约关系：P一定时，v越大，F越小；F一定时，v越大，P越大。
2.额定功率与实际功率：额定功率指发动机正常工作时的最大功率，实际功率指发动机实际输出的功率，一般小于额定功率。最大速度vm
＝。
总结提升
(来自教材)质量为m的汽车在平直公路上行驶，阻力F保持不变。当它以速度v、加速度a加速前进时，发动机的实际功率正好等于额定功率，从此时开始，发动机始终在额定功率下工作。
(1)汽车的加速度和速度如何变化？说出理由。
讨论交流
二、机车启动问题
答案 见解析
质量为m的汽车，当发动机的实际功率等于额定功率P额时速度为v，加速度为a，
则有－F＝ma
得P额＝(F＋ma)v
此后由于P额和F不变，随着速度增大，a逐渐减小，当＝F时a＝0，此时速度达到最大，vmax＝
达到最大速度后，以最大速度匀速行驶。
(2)如果公路足够长，汽车最后的速度是多大？
答案
如果公路足够长，汽车最终速度vmax＝。
1.以恒定功率启动
(1)过程分析
总结提升
(2)此过程的P－t图像和v－t图像
总结提升
2.以恒定加速度启动
(1)过程分析
总结提升
(2)此过程的P－t图像和v－t图像
总结提升
一辆汽车质量m＝1.0×103 kg，发动机的额定功率P＝5.6×104 W，汽车在运动过程中所受阻力Ff＝2 000 N(g取10 m/s2)。
(1)求汽车在水平直轨道上行驶的最大速度的大小；
例6
答案 28 m/s
汽车以额定功率行驶，当牵引力等于阻力，即F＝Ff时，汽车的加速度为
零，速度达到最大值vm，则vm＝＝28 m/s
(2)在水平直轨道上，发动机以额定功率P工作，求当行驶速度为10 m/s时，汽车的瞬时加速度的大小；
答案 3.6 m/s2
若v＝10 m/s，则此时牵引力F'＝＝5.6×103 N
根据牛顿第二定律得a＝＝3.6 m/s2
(3)若汽车从静止开始，保持2 m/s2的加速度做匀加速直线运动，求这一过程维持的最长时间。
答案 7 s
由牛顿第二定律得F″＝Ff＋ma″＝4 000 N
在此过程中，速度增大，发动机功率增大，设功率增大到额定功率时速度为v″，则v″＝＝14 m/s
由v″＝a″t得t＝＝7 s。
拓展 若汽车沿倾角为30°的斜坡向上运动，求汽车所能达到的最大速度的大小。
答案 8 m/s
汽车在斜坡上达到最大速度时，加速度为零，根据受力平衡有F牵＝Ff＋mgsin 30°，又P＝F牵vm'，解得vm'＝8 m/s。
(多选)(2024·吉林省吉林市一模)如图甲所示，“水上飞人”是一种水上娱乐运动。喷水装置向下持续喷水，总质量为M的人与喷水装置受到向上的反冲作用力腾空而起，在空中做各种运动。一段时间内，人与喷水装置在竖直方向运动的v－t图像如图乙所示，水的反冲作用力的功率恒定，规定向上为正方向，忽略水管对喷水装置的拉力以及空气的阻力，重力加速度为g，下列说法正确的是
A.t1~t2时间内，水的反冲作用力越来越大
B.水的反冲作用力的功率为Mgv2
C.t1时刻，v－t图像切线的斜率为g
D.t2~t3时间内，水的反冲作用力做的功为Mgv2t3
例7
√
√
设水的反冲作用力的功率为P，由P＝Fv
可得水的反冲作用力F＝，由v－t图像
可知t1~t2时间内，人与喷水装置的速度v越来越大，则水的反冲作用力越来越小，故A错误；
t2时刻，人与喷水装置的速度达到最大值v2，开始匀速上升，水的反冲作用力F＝Mg，水的反冲作用力的功率P＝Fv2＝Mgv2，故B正确；
由v－t图像可知t1时刻，人与喷水装置的速度为v1，设水的反冲作用力为F1，由P
＝Mgv2，P＝F1v1，可知F1＝Mg，由
牛顿第二定律有F1－Mg＝Ma，可得t1时
刻，v－t图像切线的斜率，即人与喷水装置的加速度a＝g，故C正确；
由P＝可得W＝Pt，结合P＝Mgv2，可知t2~t3时间内，水的反冲作用力
做的功W＝Mgv2(t3－t2)，故D错误。
机车启动问题的三个重要关系式
1.无论哪种启动过程，机车的最大速度都等于其匀速运动时的速度，
即vm＝。
2.机车以恒定加速度启动的过程中，匀加速过程结束时，功率最大，
但速度不是最大，v＝
总结提升
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课时精练
对一对
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B B C B BD ABD B D
题号 9 10 11 答案 A AC AC 答案
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1.(2025·重庆市调研)嫦娥六号的返回之旅堪称一场“太空芭蕾”，31马赫(相当于10.55 km/s)的“太空水漂”惊艳世人。如图所示，嫦娥六号返回器关闭发动机后利用大气层“水漂”降速，在由a点进入大气层到达最低点b，又返回从c点跳出大气层的过程中，下列说法正确的
A.a→b过程中，大气阻力对该返回器做正功
B.a→b过程中，大气阻力对该返回器做负功
C.b→c过程中，大气阻力对该返回器做正功
D.b→c过程中，该返回器只受地球引力作用
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基础落实练
答案
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答案
在a→b和b→c整个过程中，该返回器在大气层中运动，大气阻力方向与运动方向相反，因此大气阻力始终对该返回器做负功，A、C错误，B正确；
b→c过程中，该返回器除受地球引力作用外，还受到大气阻力作用，D错误。
2.(2023·新课标卷·15)无风时，雨滴受空气阻力的作用在地面附近会以恒定的速率竖直下落。一质量为m的雨滴在地面附近以速率v下落高度h的过程中，克服空气阻力做的功为(重力加速度大小为g)
A.0 B.mgh
C.mv2－mgh D.mv2＋mgh
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由于雨滴是匀速下落，所以受力平衡，空气阻力等于重力，Ff＝mg，所以克服空气阻力做的功为：W克f＝Ff·h＝mgh，选项B正确。
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答案
3.质量为1.5×103 kg的汽车在水平路面上匀速行驶，速度为20 m/s，受到的阻力大小为1.8×103 N。此时，汽车发动机输出的实际功率是
A.90 W B.30 kW
C.36 kW D.300 kW
√
汽车匀速行驶，牵引力F等于阻力Ff，实际功率P＝Fv＝Ffv＝1.8×103×
20 W＝3.6×104 W＝36 kW，故选项C正确。
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4.(2024·江西卷·5)“飞流直下三千尺，疑是银河落九天”是李白对庐山瀑布的浪漫主义描写。设瀑布的水流量约为10 m3/s，水位落差约为150 m。若利用瀑布水位落差发电，发电效率为70%，则发电功率大致为
A.109 W B.107 W
C.105 W D.103 W
√
由题知，Δt时间内流出的水量为m＝ρQΔt＝1.0×104Δt(kg)，发电过程中
水的重力势能转化为电能，则有P＝×70%≈1.0×107 W，故选B。
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答案
5.(多选)(2024·陕西商洛市模拟)如图所示，在投掷铅球比赛中，某同学先后从同一位置抛出同一铅球，铅球第1次落在水平地面上的M点，第2次落在水平地面上的N点，两次铅球到达的最大高度相同。不计空气阻力，关于两次铅球在空中运动情况的描述，下列说法正确的是
A.两次推球过程，速度变化量大小相同
B.两次推球过程，平均速度大小可能相同
C.推球过程，合外力对铅球做功满足W1＝W2
D.铅球落地时，重力的瞬时功率满足P1＝P2
√
√
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答案
设铅球抛出时的速度与水平方向夹角为θ，从抛出到最高点的过程中，由＝(vsin θ)2＝2gh可知vy1＝vy2，由题图可知θ1>θ2，可得v1
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答案
铅球落地时，重力的瞬时功率为P＝mgvy'，又vy'＝－vy＋gt。由于抛出时竖直方向的分速度相同，从抛出到落地过程中所用时间相同，可知铅球落地时，重力的瞬时功率相同，故D正确。
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答案
6.(多选)(2022·广东卷·9改编)如图所示，某无人驾驶小车在水平MN段以恒定功率200 W、速度5 m/s匀速行驶，在斜坡PQ段以恒定功率570 W、速度2 m/s匀速行驶。已知小车总质量为50 kg，MN＝PQ＝20 m，PQ段的倾角为30°，重力加速度g取10 m/s2，不计空气阻力。下列说法正确的有
A.从M到N，小车牵引力大小为40 N
B.从M到N，小车克服摩擦力做功800 J
C.从P到Q，小车重力势能增加1×104 J
D.从P到Q，小车克服摩擦力做功700 J
√
√
√
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答案
小车从M到N，依题意有P1＝Fv1＝200 W，
代入数据解得F＝40 N，故A正确；
依题意，小车从M到N，因匀速行驶，小车所受的
摩擦力大小为Ff1＝F＝40 N，
则摩擦力做功为W1＝－40×20 J＝－800 J，
则小车克服摩擦力做功为800 J，故B正确；
依题意，从P到Q，重力势能增加量为
ΔEp＝mg·PQsin 30°＝5 000 J，故C错误；
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答案
依题意，小车从P到Q，摩擦力大小为Ff2，有
Ff2＋mgsin 30°＝，摩擦力做功为W2＝－Ff2·PQ，
联立解得W2＝－700 J，则小车克服摩擦力做功为
700 J，故D正确。
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答案
7.(2025·江苏如皋市调研)某汽车以恒定的加速度由静止开始沿平直的公路行驶，t1时刻达到发动机额定功率后保持功率不变，t2时刻起匀速行驶。汽车所受的阻力大小不变，则此过程中汽车的速度v、牵引力F、加速度a、功率P随时间t的变化规律正确的是
能力综合练
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答案
汽车在0~t1时间内做匀加速直线运动，则加速度a不变，速度v均匀增加，牵引力F保持不变，根据P＝Fv＝Fat可知功率随时间均匀增加；t1~t2时间
内，功率P保持不变，根据－Ff＝ma可知随着速度的增加，加速度a减
小，牵引力F减小；t2时刻后匀速行驶，速度不变，牵引力等于阻力不变，加速度为零，功率不变，故选B。
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8.(2023·湖北卷·4)两节动车的额定功率分别为P1和P2，在某平直铁轨上能达到的最大速度分别为v1和v2。现将它们编成动车组，设每节动车运行时受到的阻力在编组前后不变，则该动车组在此铁轨上能达到的最大速度为
A. B.
C. D.
√
由题意可知两节动车分别有P1＝Ff1v1，P2＝Ff2v2，当将它们编组后有P1
＋P2＝(Ff1＋Ff2)v，联立可得v＝，故选D。
9.(2025·贵州兴义市联考)一货车前7 s内从静止开始做匀加速直线运动，7 s末货车的速率为14 m/s，功率恰好达到额定功率280 kW，7 s后货车以额定功率行驶，18 s时货车达到最大速度20 m/s，v－t图像如图所示。货车行驶时受到的阻力保持不变，g取10 m/s2，则货车
的质量为
A.3×103 kg B.6×103 kg
C.2.8×103 kg D.1.4×103 kg
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答案
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答案
当货车匀速运动时，牵引力等于阻力，速度达到最大
值，则阻力为Ff＝ N＝1.4×104 N
当货车速度为v1＝14 m/s时，功率达到额定功率，匀
加速运动的牵引力为F＝ N＝2×104 N
根据v－t图像可知，7 s内的加速度为
a＝ m/s2＝2 m/s2
根据牛顿第二定律得F－Ff＝ma
解得货车的质量为m＝3×103 kg，故选A。
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10.(多选)(2024·山东淄博市期中)电动汽车在研发过程中都要进行性能测试，如图所示为某次测试中某型号汽车在水平路面上由初速度为2 m/s开
始运动，牵引力F与速度v的倒数的F－图像，vm表示最大速度，ab平行于轴，bc反向延长过原点。已知阻力恒定，汽车质量为1×103 kg。下
列说法正确的是
A.汽车从a到b持续的时间为9 s
B.汽车由b到c过程做匀加速直线运动
C.在此测试过程中汽车最大功率为80 kW
D.汽车能够获得的最大速度为30 m/s
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答案
c点时汽车速度最大，牵引力等于阻力，
所以Ff＝2×103 N
汽车从a到b做匀加速直线运动，加速度为
a＝ m/s2＝2 m/s2
汽车从a到b持续的时间为t＝ s＝9 s，故A正确；
根据F＝，结合bc段图像，可知汽车从b到c以恒定功率加速，根据牛顿第二定律有－Ff＝ma，可知汽车由b到c过程做加速度减小的加速运动，
故B错误；
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答案
由b点知Pm＝Fbvb＝80 kW，故C正确；
汽车能够获得的最大速度为vm＝＝40 m/s，
故D错误。
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答案
11.(多选)地下矿井中的矿石装在矿车中，用电机通过竖井运送至地面。某竖井中矿车提升的速度大小v随时间t的变化关系如图所示，其中图线①②分别描述两次不同的提升过程，它们变速阶段加速度的大小都相同；两次提升的高度相同，质量相等。不考虑摩擦阻力和空气阻力。对于第①次和第②次提升过程，下列说法正确的有
A.矿车上升所用的时间之比为4∶5
B.电机的最大牵引力之比为2∶1
C.电机输出的最大功率之比为2∶1
D.电机所做的功之比为4∶5
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尖子生选练
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答案
由题图可得，变速阶段的加速度大小a＝，设第②次所用时间为t2，根据速度—时间图像与时间轴所围的
面积表示位移(此题中为提升的高度)可知，×2t0×v0
＝[t2＋(t2－t0)]×v0，解得t2＝，所以第①次和第②次矿车上升所用时间之比为2t0∶＝4∶5，选项A正确；
由于两次提升过程变速阶段的加速度大小相同，在匀加速阶段，由牛顿第二定律，F－mg＝ma，可得电机的最大牵引力之比为1∶1，选项B错误；
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答案
由功率公式P＝Fv可知，电机输出的最大功率之比等于最大速度之比，为2∶1，选项C正确；
加速上升过程的加速度a1＝，加速上升过程的牵引
力F1＝ma1＋mg＝m(＋g)，减速上升过程的加速度a2＝－，减速上升过程的牵引力F2＝ma2＋mg＝m(g－)，匀速运动过程的牵引力F3＝mg。第①次提升过程做功W1＝F1××t0×v0＋F2××t0×v0＝mgv0t0；第②次提升过程做功W2＝F1××t0×v0＋F3×t0×v0＋F2××t0×v0＝
mgv0t0，两次做功相同，选项D错误。
返回第六章 第26练 功、功率
分值：60分
1~6题每小题5分，共30分
1.(2025·重庆市调研)嫦娥六号的返回之旅堪称一场“太空芭蕾”，31马赫(相当于10.55 km/s)的“太空水漂”惊艳世人。如图所示，嫦娥六号返回器关闭发动机后利用大气层“水漂”降速，在由a点进入大气层到达最低点b，又返回从c点跳出大气层的过程中，下列说法正确的是( )
A.a→b过程中，大气阻力对该返回器做正功
B.a→b过程中，大气阻力对该返回器做负功
C.b→c过程中，大气阻力对该返回器做正功
D.b→c过程中，该返回器只受地球引力作用
2.(2023·新课标卷·15)无风时，雨滴受空气阻力的作用在地面附近会以恒定的速率竖直下落。一质量为m的雨滴在地面附近以速率v下落高度h的过程中，克服空气阻力做的功为(重力加速度大小为g)( )
A.0 B.mgh
C.mv2－mgh D.mv2＋mgh
3.质量为1.5×103 kg的汽车在水平路面上匀速行驶，速度为20 m/s，受到的阻力大小为1.8×103 N。此时，汽车发动机输出的实际功率是( )
A.90 W B.30 kW C.36 kW D.300 kW
4.(2024·江西卷·5)“飞流直下三千尺，疑是银河落九天”是李白对庐山瀑布的浪漫主义描写。设瀑布的水流量约为10 m3/s，水位落差约为150 m。若利用瀑布水位落差发电，发电效率为70%，则发电功率大致为( )
A.109 W B.107 W C.105 W D.103 W
5.(多选)(2024·陕西商洛市模拟)如图所示，在投掷铅球比赛中，某同学先后从同一位置抛出同一铅球，铅球第1次落在水平地面上的M点，第2次落在水平地面上的N点，两次铅球到达的最大高度相同。不计空气阻力，关于两次铅球在空中运动情况的描述，下列说法正确的是( )
A.两次推球过程，速度变化量大小相同
B.两次推球过程，平均速度大小可能相同
C.推球过程，合外力对铅球做功满足W1＝W2
D.铅球落地时，重力的瞬时功率满足P1＝P2
6.(多选)(2022·广东卷·9改编)如图所示，某无人驾驶小车在水平MN段以恒定功率200 W、速度5 m/s匀速行驶，在斜坡PQ段以恒定功率570 W、速度2 m/s匀速行驶。已知小车总质量为50 kg，MN＝PQ＝20 m，PQ段的倾角为30°，重力加速度g取10 m/s2，不计空气阻力。下列说法正确的有( )
A.从M到N，小车牵引力大小为40 N
B.从M到N，小车克服摩擦力做功800 J
C.从P到Q，小车重力势能增加1×104 J
D.从P到Q，小车克服摩擦力做功700 J
7~10题每小题6分，共24分
7.(2025·江苏如皋市调研)某汽车以恒定的加速度由静止开始沿平直的公路行驶，t1时刻达到发动机额定功率后保持功率不变，t2时刻起匀速行驶。汽车所受的阻力大小不变，则此过程中汽车的速度v、牵引力F、加速度a、功率P随时间t的变化规律正确的是( )
8.(2023·湖北卷·4)两节动车的额定功率分别为P1和P2，在某平直铁轨上能达到的最大速度分别为v1和v2。现将它们编成动车组，设每节动车运行时受到的阻力在编组前后不变，则该动车组在此铁轨上能达到的最大速度为( )
A. B.
C. D.
9.(2025·贵州兴义市联考)一货车前7 s内从静止开始做匀加速直线运动，7 s末货车的速率为14 m/s，功率恰好达到额定功率280 kW，7 s后货车以额定功率行驶，18 s时货车达到最大速度20 m/s，v－t图像如图所示。货车行驶时受到的阻力保持不变，g取10 m/s2，则货车的质量为( )
A.3×103 kg B.6×103 kg
C.2.8×103 kg D.1.4×103 kg
10.(多选)(2024·山东淄博市期中)电动汽车在研发过程中都要进行性能测试，如图所示为某次测试中某型号汽车在水平路面上由初速度为2 m/s开始运动，牵引力F与速度v的倒数的F－图像，vm表示最大速度，ab平行于轴，bc反向延长过原点。已知阻力恒定，汽车质量为1×103 kg。下列说法正确的是( )
A.汽车从a到b持续的时间为9 s
B.汽车由b到c过程做匀加速直线运动
C.在此测试过程中汽车最大功率为80 kW
D.汽车能够获得的最大速度为30 m/s
(6分)
11.(多选)地下矿井中的矿石装在矿车中，用电机通过竖井运送至地面。某竖井中矿车提升的速度大小v随时间t的变化关系如图所示，其中图线①②分别描述两次不同的提升过程，它们变速阶段加速度的大小都相同；两次提升的高度相同，质量相等。不考虑摩擦阻力和空气阻力。对于第①次和第②次提升过程，下列说法正确的有( )
A.矿车上升所用的时间之比为4∶5
B.电机的最大牵引力之比为2∶1
C.电机输出的最大功率之比为2∶1
D.电机所做的功之比为4∶5
答案精析
1.B 2.B
3.C [汽车匀速行驶，牵引力F等于阻力Ff，实际功率P＝Fv＝Ffv＝1.8×103×20 W＝3.6×104 W＝36 kW，故选项C正确。]
4.B [由题知，Δt时间内流出的水量为m＝ρQΔt＝1.0×104Δt(kg)，发电过程中水的重力势能转化为电能，则有P＝×70%≈1.0×107 W，故选B。]
5.BD [设铅球抛出时的速度与水平方向夹角为θ，从抛出到最高点的过程中，由＝(vsin θ)2＝2gh可知vy1＝vy2，由题图可知θ1>θ2，可得v1
代入数据解得F＝40 N，故A正确；
依题意，小车从M到N，因匀速行驶，小车所受的摩擦力大小为
Ff1＝F＝40 N，
则摩擦力做功为W1＝－40×20 J＝－800 J，
则小车克服摩擦力做功为800 J，故B正确；
依题意，从P到Q，重力势能增加量为ΔEp＝mg·PQsin 30°＝5 000 J，故C错误；
依题意，小车从P到Q，摩擦力大小为Ff2，有
Ff2+mgsin 30°＝，摩擦力做功为W2＝－Ff2·PQ，联立解得W2＝－700 J，则小车克服摩擦力做功为700 J，故D正确。]
7.B [汽车在0~t1时间内做匀加速直线运动，则加速度a不变，速度v均匀增加，牵引力F保持不变，根据P＝Fv＝Fat可知功率随时间均匀增加；t1~t2时间内，功率P保持不变，根据－Ff＝ma可知随着速度的增加，加速度a减小，牵引力F减小；t2时刻后匀速行驶，速度不变，牵引力等于阻力不变，加速度为零，功率不变，故选B。]
8.D [由题意可知两节动车分别有P1＝Ff1v1，P2＝Ff2v2，当将它们编组后有P1+P2＝(Ff1+Ff2)v，联立可得v＝，故选D。]
9.A [当货车匀速运动时，牵引力等于阻力，速度达到最大值，则阻力为Ff＝ N＝1.4×104 N
当货车速度为v1＝14 m/s时，功率达到额定功率，匀加速运动的牵引力为F＝ N＝2×104 N
根据v－t图像可知，7 s内的加速度为a＝ m/s2＝2 m/s2
根据牛顿第二定律得F－Ff＝ma
解得货车的质量为m＝3×103 kg，故选A。]
10.AC [c点时汽车速度最大，牵引力等于阻力，
所以Ff＝2×103 N
汽车从a到b做匀加速直线运动，加速度为
a＝ m/s2＝2 m/s2
汽车从a到b持续的时间为t＝ s＝9 s，故A正确；根据F＝，结合bc段图像，可知汽车从b到c以恒定功率加速，根据牛顿第二定律有－Ff＝ma，可知汽车由b到c过程做加速度减小的加速运动，故B错误；由b点知Pm＝Fbvb＝80 kW，故C正确；汽车能够获得的最大速度为vm＝＝40 m/s，故D错误。]
11.AC [由题图可得，变速阶段的加速度大小a＝，设第②次所用时间为t2，根据速度—时间图像与时间轴所围的面积表示位移(此题中为提升的高度)可知，×2t0×v0＝[t2+(t2－t0)]×v0，解得t2＝，所以第①次和第②次矿车上升所用时间之比为2t0∶＝4∶5，选项A正确；由于两次提升过程变速阶段的加速度大小相同，在匀加速阶段，由牛顿第二定律，F－mg＝ma，可得电机的最大牵引力之比为1∶1，选项B错误；由功率公式P＝Fv可知，电机输出的最大功率之比等于最大速度之比，为2∶1，选项C正确；加速上升过程的加速度a1＝，加速上升过程的牵引力F1＝ma1+mg＝m+g)，减速上升过程的加速度a2＝－，减速上升过程的牵引力F2＝ma2+mg＝m(g－，匀速运动过程的牵引力F3＝mg。第①次提升过程做功W1＝F1××t0×v0+F2××t0×v0＝mgv0t0；第②次提升过程做功W2＝F1××t0×v0+F3×t0×v0+F2××t0×v0＝mgv0t0，两次做功相同，选项D错误。]
