第24章解直角三角形 单元提升卷
一、选择题(本题共10小题，每小题5分，共50分)
题序 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案
1.cos 45°的值等于( )
A．1 B. C. D．2
2．在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝3BC，则sin A＝( )
A. B. C. D.
3．某人从坡底沿着有一定坡度的坡面前进了10 m，此时他与水平地面的垂直距离为5 m，则这个坡面的坡度为( )
A．1?2 B．1? C．30° D．60°
4．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BD平分∠ABC，P是BD的中点，若CP＝4，则AD的长为( )
A．7 B．8 C．9 D．10
(第4题) (第6题)
5．在△ABC中，tan A＝1，cos B＝，则对△ABC的形状描述最准确的是( )
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．锐角三角形
6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，AC＝3，CD⊥AB于点D.设∠ACD＝α，则cos α的值为( )
A. B. C. D.
7．某公路在BC路段限速60 km/h，管理部门在A处设置了一个速度监测点．假设公路是笔直的，建立如图所示的直角坐标系，∠BAO＝60°，∠CAO＝45°，点A的坐标为(0，－100)，则限速路段BC等于( )
A．300 m B．(100 ＋100)m
C．200 m D．100(＋)m
(第7题) (第8题) (第10题)
8．如图，在△ABC中，∠ACB＝60°，∠B＝45°，AB＝，CE平分∠ACB交AB于点E，则线段CE的长为( )
A.＋1 B．2 C. D.－
9．在△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，且有c2＋4b2－4bc＝0，则sin A＋cos A的值为( )
A. B. C. D.
10．如图，在△ABC中，∠A＝60°，∠C＝75°，AB＝10，D，E，F分别在AB，BC，CA上，则△DEF周长的最小值为( )
A．15 B．10 C．5 D．20
二、填空题(本题共6小题，每小题5分，共30分)
11．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若cos A＝，则sin A＝________.
12．如图，有一个绳索拉直的木马秋千，绳索AB的长度为5 m，若将它沿水平方向向前推进3 m(即DE＝3 m)，且绳索保持拉直的状态，则此时木马上升的高度为________m.
(第12题) (第13题)
13．如图，某市在建高铁的某段路基横断面为梯形ABCD，DC∥AB，BC的坡角β＝45°且BC＝6 m，AD的坡角α＝30°，则AD的长为________m(结果保留根号)．
14．如图，在△ABC中，∠ACB＝120°，AC＝20，BC＝30，则△ABC的面积为________．
(第14题) (第15题) (第16题)
15．七巧板是一种古老的中国传统智力玩具(如图①)，小明用图①中的一副七巧板拼出如图②所示的“企鹅”图形，已知正方形ABCD的边长为4，则图②中EF的长为________．
16．如图，在矩形ABCD中，AD＝2，∠BAC＝30°，E是边AD的中点，F是CD上一点，连结EF，将△DEF沿EF折叠，使点D落在矩形内的点G处，若点G恰好在矩形的对角线上，则DF的长为________．
三、(本题共7小题，共70分)
17．(8分)计算：cos245°－sin 30°tan 60°＋sin 60°.
18．(8分)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，a＝2 ，b＝6，解这个直角三角形．
19.(8分)如图，在△ABD中，AC⊥BD，BC＝8，CD＝4，cos∠ABC＝，BF为边AD上的中线．
(1)求AC的长；
(2)求tan∠FBD的值．
20．(10分)如图，在△ABC中，∠C＝90°.
(1)尺规作图(保留作图痕迹，不写作法)．
①在AC上求作一点D，使得点D到AB的距离等于点D到BC的距离；
②作DE∥CB交AB于点E.
(2)在(1)的条件下，若＝，DE＝5，求CD的长．
21．(10分)某校数学社团开展“探索生活中的数学”研学活动，准备测量一栋大楼BC的高度．如图，观景平台斜坡DE的长是20 m，坡角为37°，斜坡DE的底部D与大楼底端C的距离CD为74 m，与地面CD垂直的路灯AE的高度是3 m，从楼顶B测得路灯AE顶端A处的俯角是42.6°.求大楼BC的高度．(结果精确到1 m，参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75，sin 42.6°≈0.68，cos 42.6°≈0.74，tan 42.6°≈0.92 )
22．(12分)【问题呈现】如图①，在由边长为1的小正方形组成的网格中，分别连结格点A，B和C，D，AB和CD相交于点P，求tan∠BPD的值.
【方法提示】 利用网格将线段CD平移到线段BE，连结AE，得到格点△ABE，且AE⊥BE，则∠BPD 就变换成Rt△ABE 中的∠ABE.
【问题解决】(1)图①中tan∠BPD的值为________；
(2)如图②，在边长为1的正方形网格中，分别连结格点A，B 和 C，D，AB与CD交于点P，则cos∠BPD的值为________；
【思维拓展】(3)如图③，AB⊥CD，垂足为B，且AB＝4BC，BD＝2BC，点E在AB上，且AE＝BC，连结AD交CE的延长线于点P，利用网格求sin ∠CPD.
23．(14分)单摆是一种能够产生往复摆动的装置，某兴趣小组利用摆球和摆线进行与单摆相关的实验探究，并撰写实验报告如下：
实验主题 探究摆球运动过程中高度的变化
实验用具 摆球，摆线，支架，摄像机等
实验说明 如图①，在支架的横杆点O处用摆线悬挂一个摆球，将摆球拉高后松手，摆球开始往复运动．(摆线的长度变化忽略不计) 如图②，摆球静止时的位置为点A，拉紧摆线将摆球拉至点B处，BD⊥OA，∠BOA＝64°，BD＝20.5 cm；当摆球运动至点C时，∠COA＝37°，CE⊥OA.(点O，A，B，C，D，E在同一平面内)
实验图示
解决问题：根据以上信息，求ED的长．(结果精确到0.1 cm，
参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75，sin 64°≈0.90，cos 64°≈0.44，tan 64°≈2.05)
答案
一、1.B 2.C 3.B 4.B 5.C 6.A 7.B 8.B 9.B 10.C
二、11. 12.1 13.6 14.150 15. 16.或
三、17.解：原式＝×－ ×＋× ＝－＋＝.
18．解：∵a＝2 ，b＝6，∠C＝90°，
∴c＝＝＝＝4 ，
tan A＝＝＝，
∴∠A＝30°，∴∠B＝90°－∠A＝90°－30°＝60°.
19．解：(1)∵在Rt△ACB中，cos∠ABC＝＝，
BC＝8，∴AB＝10，由勾股定理，得
AC＝＝＝6.
(2) 如图，连结CF，过点F作BD的垂线，垂足为E.
∵BF为边AD上的中线，
∴F为AD 的中点．
又∵AC⊥BD，∴CF＝AD＝FD，∴CE＝DE＝CD＝2.在Rt△ACD中，由勾股定理，得AD＝＝＝2，∴CF＝AD＝，∴在Rt△EFC中，EF＝＝＝3，
∴tan∠FBD＝＝＝.
20．解：(1)①如图，点D即为所求．
②如图，DE即为所求．
(2)∵＝，∴设AC＝4x，则BC＝3x，
∵∠C＝90°，∴AB＝＝5x，
∴sin∠ABC＝＝.
∵DE∥BC，∴∠AED＝∠ABC.
如图，作DF⊥AB于点F，
在Rt△DEF中，sin∠FED＝＝sin∠ABC＝，
由(1)①知，DF＝CD，∴＝.
∵DE＝5，∴CD＝4.
21．解：延长AE交CD的延长线于点M，
过点A作AN⊥BC于点N，则易得四边形AMCN是矩形．
∴NC＝AM，AN＝MC.
在Rt△EMD中，∠EDM＝37°，
∴EM＝DE×sin 37°≈20×0.60＝12(m)，
DM＝DE×cos 37°≈20×0.80＝16(m)，
∴AN＝MC＝CD＋DM≈74＋16＝90(m)，CN＝AM＝AE＋EM≈3＋12＝15(m)．
在Rt△ANB中，易知∠BAN＝42.6°，
∴BN＝AN×tan 42.6°≈90×0.92＝82.8(m)，
∴BC＝BN＋CN≈82.8＋15≈98(m)．
答：大楼BC的高度约为98 m.
22．解：(1)2 (2)
(3)根据题意，可构造由小正方形组成的网格如图所示，取格点H，连结AH，HD，
则PC∥HD，∴∠CPD＝∠ADH.
易知AH＝HD，∠AHD＝90°，∴∠ADH＝∠HAD＝45°，
∴∠CPD＝45°，∴sin∠CPD＝.
23．解：∵BD⊥OA，∠BOA＝64°，BD＝20.5 cm，
∴OD＝≈＝10(cm)，
∴OB＝≈≈22.73(cm)，
∴OB＝OC≈22.73 cm.
∵∠COA＝37°，CE⊥OA，
∴OE＝OC·cos 37°≈22.73×0.8≈18.18(cm)，
∴DE＝OE－OD≈18.18－10≈8.2(cm)．
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