2025年 九年级数学中考复习-填空题压轴题专题训练
1．对于两个整数和，定义一种新运算“”，若为偶数，则；若为奇数，则．若对整数和，有，且，则的值为 ．
2．对于四位数，若百位数字与千位数字的差等于个位数字与十位数字的差的二倍，则称为“好事成双数”，将“好事成双数”的个位数字去掉记为，将千位数字去掉记为，并规定，则 ；若一个四位数，其中，均为整数）是“好事成双数”，且除以14余4，则满足条件的的最大值与最小值的差为 ．
3．将一副三角板如图1所示摆放，直线,现将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，同时三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，设时间为t秒，如图2，，，且，若边与三角板的一条直角边（边，）平行时，则所有满足条件的t的值为 ．
4．如图，将线段平移至线段，连接，，为线段延长线上一点，连接交于点，若，三角形与三角形的面积之和为为直线上一点，连，当的最小值为12时，则的长为 ．
5．若一个四位正整数（各个数位均不为0），十位和千位数字相同，个位和百位数字相同，则称该数为“双生数”例如：、都是“双生数”．将一个四位正整数的百位和十位交换位置后得到一个四位数，规定．例如：若，则；计算 ．若一个“双生数”（，，且，为整数），当能被6整除时，求满足条件的所有值中的最小值为 ．
6．如图，，点，在直线上（在的右侧），点在直线上，，为线段上的一点，连接与的角平分线交于点，且点在直线之间，下列结论：①；②；③若，则；④若，则．其中正确的结论是 ．
7．在一组互不相等的正整数中任意提取个数，若这个数的和与积相加正好等于这个数的和，则称这样的提取为完美提取．
例如：在1，2，3，4，5中，因为，，所以提取1，2，4这三个数就是完美提取．若要在1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这十个数中实现完美提取，则提取的数字可以是 （写一种情况即可），共有 种完美提取（注：提取的数字相同，排序不同，属于同一种提取）．
8．一个各数位数字互不相等且均不为0三位正整数，若百位数字与个位数字之和减去4等于十位数字，则称这个三位数为“至善数”，例如：631，因为，则称631是“至善数”；则最大的“至善数”与最小的“至善数”之差是 ；若正整数，记．且，是两个不同的“至善数”（，，，且y，z，m，n均为整数），且能被17整除，的值是 ．
9．如图，在三角形中，，是锐角，将三角形沿着射线方向平移得到三角形（平移后点，，的对应点分别是，，），连接，若在整个平移过程中，和的度数之间存在倍关系，则 ．
10．如果一个四位自然数满足 ，那么称这个四位自然数为“递增数”，如，因为，所以是“递增数”，又如，因为 ，但 ，所以不是“递增数”．若一个“递增数”为，则 ；“递增数”的后三个数字组成的三位数 与前三个数组成的三位数的差能被8整除，则满足条件的最大“递增数”是 ．
11．有理数与无理数之间的运算有着某种规律性，例如：若a和b是有理数，，则．已知m和n是有理数．
（1）若，则的算术平方根为 ；
（2）若，其中是x的平方根，则x的值为 ．
12．如图，两条平行直线，被直线所截，点位于两平行线之间，且在直线右侧，点是上一点，位于点右侧．小明进行了如下操作：连接，，在平分线上取一点，过点作，交直线于点．记，，，则 （用含，的代数式表示）．
13．对于任意一个四位数，其各个数位上的数字各不相同，如果千位数字比十位数字大3，百位数字比个位数字大1，则称这个四位数字为“差3倍数”．若是一个“差3倍数”，的千位数字记为，百位数字记为，十位数字记为，个位数字记为，将的千位数字和百位数字交换，十位数字和个位数字交换，得，记，若为偶数，则的最大值为 ；若，且被3除余2，则满足条件的“差3倍数”的值为 ．
14．设表示不超过x的最大整数(例如：)，则方程的解为 ．
15．某生鲜店推出了A、B、C三类蔬菜包以方便居家生活的市民购买，A、B、C三类蔬菜包内均由萝卜、白菜、洋葱三种蔬菜搭配而成，每袋蔬菜包的成本也均为萝卜、白菜、洋葱三种蔬菜成本之和．每袋A蔬菜包有5公斤萝卜、4公斤白菜、6公斤洋葱；每袋C蔬菜包有7公斤萝卜、2公斤白菜、3公斤洋葱．已知每袋A的成本是该袋中萝卜成本的3倍，利润率为，每袋B的成本是其售价的，每袋C的利润是每袋A利润的．若该生鲜店1月2日当天销售A、B、C三种蔬菜包袋数之比为，则当天该生鲜店销售A、B、C三种蔬菜包的总利润与总成本的比值为 ．
16．如图，中，，点是边上一点，将绕点顺时针旋转到，连接，则长的最小值是 ．
17．如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足，那么称这个四位数为“快乐数”．例如：四位数，，是“快乐数”；又如：四位数，∵，不是“快乐数”．若一个“快乐数”为，则这个数为 ；如果一个“快乐数”能被7整除，则满足条件的数的最大值是 ．
18．如图，在平面直角坐标系中，直线经过原点和一三象限，点为轴正半轴上一点，点位于第一象限内且在直线上，，，过点作直线垂直于轴，点，在直线上(点在点上方)，且，若线段关于直线对称的线段与坐标轴有交点，则点的纵坐标的取值范围是 ．
19．若一个四位数满足千位上的数字等于十位上的数字，且各个数位上的数字之和为完全平方数，则称其为“空空数”．请直接写出最大的“空空数”为 ．已知一个四位数（其中a，b，c均为整数，且，，）为“空空数”，将N去掉其个位数字剩下的三位数记为A，将N去掉其千位与百位数字剩下的两位数记为B，若为整数，且A除以11的余数为2，则满足条件的N为 ．
20．抛物线（，，是常数，，）经过，，三点，且．在下列四个结论中：
①；
②；
③当时，若点在该抛物线上，则；
④若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则；
其正确结论的序号有 ．
21．如图，在中，于点E，D是线段上的一个动点，则的最小值是 ．
22．如图，在正方形中，，点E为对角线上的动点，以为边向外作正方形，点H是的中点，连接，则的最小值为 ．
23．已知关于的不等式组的整数解共有5个，且关于的不等式的解集为，则的取值范围 ．
24．若关于x的一元一次不等式组至少有4个整数解，且关于y的分式方程的解为非负数，则所有满足条件的整数a的值之和为 ．
25．受疫情影响，堂食人数减少.风临轩江湖菜馆主推甲，乙，丙三种外卖菜品，上周甲，乙，丙三种菜品的单价之比为，销量之比为.本周三种菜品的销售额均比上周有所增加，其中甲菜品增加的销售额占本周三种菜品总销售额的，甲、乙菜品本周的销售额之比为，乙、丙菜品增加的销售额之比为，则甲、丙菜品本周的销售额之比为 ．
参考答案
1．3
【分析】本题考查了列方程组及解二元一次方程组，解决本题的关键是要熟练掌握分类讨论解决问题，由题意进行讨论分别列出方程组，并进行求解，再验证即可．
【详解】解：分析第二个方程
1.若为偶数，
则, 化简得：
，
2.若为奇数，
则, 化简得：
，
处理第一个方程，
情况1：，
1.计算内层运算，
，
因此，。
2.计算外层运算，和为：
奇偶性分析：
为奇数（因为奇数)，为偶数，故和为偶数。
因此，外层运算结果为：
，
根据方程：
，整理得：，
3.联立方程1和方程3，
，
解得：。
情况2：，
1.计算内层运算，
，
因此，。
2.计算外层运算，和为：(必为奇数)，
因此，外层运算结果为：，
根据方程：
，
解得： (非整数，不符合题意)，
综上所述，的值为3．
2．
【分析】本题考查了整式的加减，不定方程求解，整除，理解题意，表示出是解题的关键，根据题意列式计算，，求得，进而根据化简得出，根据的范围确定最大值与最小值，进而求得两数差，即可求解．
【详解】解：依题意，
∵
∴
∴，
∵
∴
；
∵，其中，均为整数）是“好事成双数”
∴
∴
即
∵，
∴
∵除以14余4，
∴除以14余4，
又∵
∴
∴除以14余4，且是的倍数，
又∵
∴，
∴，
∵
∴
∴
∴
即
∵
∴或
∵
当时，取得最大值，的千位为，百位为，
当时，取得最小值，的千位为，百位为，
又∵，
∴最大值为，最小值为：
∴取得最大值时，的十位为，个位为，取得最小值时，的十位为，个位为，
∴最大值为，最小值为
∴最大值与最小值的差：
故答案为：，．
3．15或60或105
【分析】本题主要考查了平行线的性质，（1时，延长交于点P，分两种情况讨论：①在上方时，②在下方时，，列式求解即可；（2）当时，延长交于点I，①在上方时，，②在下方时，，列式求解即可．
【详解】解：由题意得，，，
如图1，当时，延长交于点，
①在上方时，
，，，
，
，
，
，
，
即，
；
②在下方时，，
，，，
，
，
，
，
，
即，
；
当时，延长交于点I，
在上方时，，
，，
，
，
，
，
，
即，
；
②在下方时，，
，，，
，
，
，
，
，
即，
（不符合题意，舍去），
综上，所有满足条件的的值为15或60或105，
故答案为：15或60或105．
4．
【分析】本题考查了平移的性质，平行线之间的距离，垂线段最短，连接，，根据平移的性质可得，，，根据已知得出，，设，，则，，进而，得出根据，得出，则，，，进而求得，再根据垂线段最短以及三角形的面积公式，即可求解．
【详解】解：如图所示，连接，
∵将线段平移至线段，
∴，
∴
∵
∴，
设，，则，
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴，，
∴，
∵，
∴
∴
∵的最小值为12时，
∴
∴
∴
故答案为：．
5．
【分析】此题主要考查了新定义，整除问题，根据新定义表示要求的式子是解本题的关键．
直接利用新定义计算即可得出结论；把合并，再用a、b表示，最后计算即可．
【详解】解： ，
故答案为：．
当时，
由题：为整数，
为的倍数
或或或或或
经讨论得：或或或
当时，
故答案为：；．
6．①②③
【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义等知识点，作辅助线求得，是解此题的关键．①过点作，利用平行线的性质以及已知即可证明；②利用角平分线的性质以及平行线的性质得到，，结合①的结论即可证明；③由已知得到，结合①的结论即可证明；④由已知得到，结合①的结论即可证明．
【详解】解：①过点作，如图：
，，
，，
，即，
，故①正确；
②∵，平分，平分，
，，
，
，
即，
，
，
，
，故②正确；
③，
，
；
，故③正确；
④，
，即，
，
，故④不正确．
综上，①②③正确，，
故答案为：①②③．
7． 6、7 3
【分析】本题考查了有理数的混合运算，二元一次方程组的应用．按照定义判断列方程求解即可．
【详解】解：，
当提取2个数和时，不妨设，
则，
时，，则，则（舍去），
时，，则（舍去），
时，，则，则（舍去），
时，，则（舍去），
时，，则（舍去），
时，，则，则（符合题意），
时，，则，则（舍去），
当提取3个数、和时，不妨设，
则，
时，，则，则（符合题意），
时，，则（舍去），
时，，则（舍去），
当提取4个数时，
因为，
则必定提取1、2，
（舍去），
（舍去），
（舍去），
（符合题意），
（舍去），
（舍去），
综上，提取的数字可以是6、7或1、4、10或1、2、3、7共3种．
故答案为：6、7（答案不唯一）；3．
8．
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，新定义、数的整除等知识，分类讨论是解题的关键
根据最大的“至善数”可得，进而根据定义求得，同理求得最小的“至善数”的，再求得的值，求两数的差，即可求解．，是两个不同的“至善数”，可得方程组；再根据列代数式，最后根据能被17整除进行分类讨论，即可得答案．
【详解】解：∵是“至善数”，
∴，则
最大的“至善数”可得，则，则最大的“至善数”为
最小的“至善数”的，则，则最小的“至善数”为
∵，是两个不同的“尚美数，
得，即，
．
∵，，，
．
∵能被整除，
∴或或或或51．
①当时，即，
∴，
当时，，，，
∴
②当时，
当时，，，，
∴
③当时，
当时，，，，
∴（舍去）
④当时，
当时，，，，
∴
⑤当时，
当时，，，，
∴，（相同，舍去）
综上所述，，
故答案为：；．
9．或或
【分析】根据题意得，再由的平移过程，分成两种情况考虑：（1）点在线段上；（2）点在外，根据平行线的性质得到和和之间的等量关系后即可得解．
【详解】解：依题得：，
分两种情况考虑：
（1）点在线段上，过点作，如下图：
，
，
，
，，
，
又，
；
，
，
又，
；
（2）点在外时，过点作，如下图：
，
，
，，
，
又，
，
即；
，
由图可知，，
此情况不成立；
综上，或或．
故答案为：或或．
【点睛】本题考查的知识点是平移的性质、平行公理的应用、平行线的性质、几何图形中的角度计算，解题关键是熟练掌握平行线的性质．
10．
【分析】本题主要考查不定方程的解，理解题目中“递增数”的定义及计算方法，掌握新定义则是解题的关键．
（1）根据“递增数”的定义和计算方法即可求解；
（2）已知，即，进而根据“递增数”的后三个数字组成的三位数 与前三个数组成的三位数的差能被8整除，得出能被8整除；将从大到小验证，即可求解．
【详解】解：根据“递增数”的定义可得，，
解得，，
∴这个“递增数”为；
已知，即，
∴，
依题意，
“递增数”的后三个数字组成的三位数 与前三个数组成的三位数的差能被8整除，
∵能被8整除，
∵
∴能被8整除；
∵
∴
当，时，不能被8整除；
当，时，不能被8整除；
当，时，不能被8整除；
当，时，能被8整除；
此时
∴
∴符合题意，
故答案为：，．
11． 3 4
【分析】本题考查了实数的运算，平方根，准确熟练地进行计算是解题的关键．
（1）根据题意可得，，从而可得，，然后代入式子中，再根据算术平方根的定义求解即可；
（2）根据已知易得，从而可得，进而可得：，然后利用平方根的意义，即可解答．
【详解】解：（1）∵，m和n是有理数，
∴，，
解得：，，
∴，
∴的算术平方根为3，
故答案为：3；
（2）∵，
∴，
∴，
∵m和n是有理数，
∴，
解得：，
∵m，n是x的平方根，
∴，
故答案为：4．
12．或或
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，平行公理推论，根据平行线的判定与性质探究角之间的关系是解题的关键．
设，由平分，得，，然后分当点在的右侧，且在上方时，当点在的左侧时，且在上方时，当点在直线的下方时三种情况分析即可．
【详解】设，因为平分，所以，，根据小明的操作有以下三种情况：
当点在的右侧，且在上方时，过点作，如图所示：
因为，
所以，
所以，，
又因为，
所以，
同理：，
因为，
所以，
因为，，，
所以，，
得：，代入得，
所以；
当点在的左侧时，且在上方时，如图所示：
同理：，，
因为，
所以，，
得：，代入得：；
当点在直线的下方时，过点作，如图所示：
同理：，即，
因为，，
所以，，，
因为，
所以，将代入得，
所以，
综上所述：或或，
故答案为：或或．
13．
【分析】本题主要考查了数字变化的规律，整式加减的应用，本题属于新定义型，正确理解新定义的规定并熟练应用是解题的关键．利用“差3倍数”的定义表示出，由，结合为偶数，即可解答；同理表示出，且被3除余2，可得是3的倍数，根据“差3倍数”的定义结合数位上的数字的特征和整除的特性解答即可．
【详解】解：根据题意：，
则，
∴，
∵为偶数，且（为整数），
∴为偶数，
∴为偶 数，
∴为，
当最大，则有最大值，
此时，，则，不符合题意；
，则，符合题意；
∴的最大值为；
∵被3除余2，
∴是3的倍数，
∵，
∴是3的倍数，
∵（为整数），，
∴（为整数），
∴，
∴，
∴符合条件的代数式的值为：，
当时，，即，不符合题意，舍去；
当时，，即，不符合题意，舍去；
当时，，即，不符合题意，舍去；
或，即，此时，，则的值为，符合题意；
∴满足条件的“差3倍数”为；
故答案为：，．
14．或或
【分析】本题主要考查解一元一次方程与一元一次不等式组，解题的基本思路是设，解一元一次方程，用含n的式子表示x，再根据新定义，确定x的取值范围，进一步确定的取值范围，进而求解．
【详解】令(n为整数)，则原方程为．
．
∵表示不超过x的最大整数
，
，
解得，
或或，
分别将n的值代入，
或或．
故答案为：或或．
15．
【分析】本题考查三元一次方程组的应用，弄清题意，通过所给的条件，理顺各量之间的关系，列出方程是解题的关键．
设萝卜、白菜、洋葱的成本分别为x元、y元、z元，根据题意可求A的成本为（元），利润为（元），C的利润为（元），成本为（元），设B的成本为m元，利润为W元，由题意可得，则，再求出1月2日的总利润为：元，总成本为：元，则可由求解．
【详解】解：设萝卜、白菜、洋葱的成本分别为x元、y元、z元，
∵每袋A的成本是该袋中萝卜成本的3倍，
∴，
∴，
∴A的成本为（元），利润为（元），
∵每袋C的利润是每袋A利润的，
∴C的利润为（元），成本为（元），
设B的成本为m元，利润为W元，
∵每袋B的成本是其售价的，
∴，
∴，
∵1月2日当天销售A、B、C三种蔬菜包袋数之比为，
∴1月2日的总利润为：元，
总成本为：元，
∴．
故答案为：.
16．2.5
【分析】取的中点为点，连接，过点作，垂足为，在中，利用含3度角的直角三角形的性质可求出的长，的度数，再根据线段的中点定义可得，从而可得，然后利用旋转的性质可得：，，从而利用等式的性质可得，进而利用证明，最后利用全等三角形的性质可得，再根据垂线段最短，即可解答．
【详解】解：取的中点为点，连接，过点作，垂足为，
，
，，，
，，
点是的中点，
，
，
由旋转得：，，
，
，
，
，
，
，
当时，即当点和点重合时，有最小值，且最小值为2.5，
长的最小值是2.5，
故答案为：2.5．
【点睛】本题考查了旋转的性质，垂线段最短，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
17． 6923
【分析】由“快乐数”的定义得，即可求解；由“快乐数”的定义得，整理得，结合、、、的取值范围得，对整理得，可得当或时，能被7整除，即可求解．
【详解】解：是一个“快乐数”，
，
解得：，
这个数为；
自然数是“快乐数”，
，
，
，，，
，，
，
，
，
自然数能被7整除，
能被7整除，
当或时，能被7整除，
①当时，
，
故此种情况不存在；
②当时，
，
，
，
，
，
解得：，
，且为整数，
最大取，
当时，
，
，
，
故答案：，．
【点睛】本题考查了新定义，一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，理解新定义是解题的关键．
18．或
【分析】本题主要考查了坐标对称、含有度的直角三角形的性质；先作出直线关于直线的对称直线，由直线与直线的夹角是推出直线和直线关于直线对称，然后分类讨论和在直线的上方或下方，画出图形，再进而求解即可．
【详解】解：作直线关于直线的对称直线，
线段在直线上，
线段关于直线对称的线段在直线上，
，直线垂直于轴，
直线与直线所夹的锐角为，所夹的钝角为，
直线与直线关于直线对称，
直线与直线所夹的锐角也是 ，
直线与直线所夹的钝角为 ，
直线和直线关于直线对称，
当、在直线的上方时，
观察发现，当点在轴上时，对应的是点的纵坐标的最小值，此时为等边三角形；
当点在轴上时，对应的是点的纵坐标的最大值，此时为等边三角形，
①当点在轴上时，为等边三角形，根据等边三角形的性质可知，，
，
，，，
，
点的纵坐标的值；
②当点在轴上时，由①可知，点的纵坐标的值比①的结果要大，
点的纵坐标的值，
当、在直线的上方时，点的纵坐标的取值范围是．
同理，当、在直线的下方时，可以求得点的纵坐标的取值范围是．
综上，的范围为或；
故答案为：或
19． 9999 1017
【分析】本题考查了新定义，三元一次方程的解等知识，根据新定义，各数位上数字取最大即可解答第一空；先表示出，，，根据为整数，得出是8的倍数，
结合已知可求出的值可能为8，16，24，32，40，48；根据A除以11的余数为2，得出是11的倍数，则是11的倍数，求出的值为0或11，然后分，讨论，求出a、b的值，在一一代入，，，，，，求出C的值，然后根据“空空数”的定义判断即可求解．
【详解】解：要使“空空数”最大，则各位上的数字取最大，即为9，而，
∴最大的“空空数”为9999；
根据题意，得，，
∴，
∵为整数，
∴是8的倍数，
∵，，，
∴，
∴的值可能为8，16，24，32，40，48，
∵A除以11的余数为2，
∴是11的倍数，
又，
∴是11的倍数，
∵，，
∴，
∴的值为0或11，
当时，，，，
把代入，得，解得（舍去）；
把代入，得，解得（舍去）；
把代入，得，解得，
∴，
∴各数位上的数字和为，
∴1017是“空空数”；
把代入，得，解得（舍去）；
把代入，得，解得（舍去）；
把代入，得，解得（舍去）；
把代入，得，解得（舍去）；
把代入，得，解得，
∴，
∴各数位上的数字和为，
∴2222不是“空空数”；
把代入，得，解得（舍去），
把代入，得，解得（舍去）；
把代入，得，解得（舍去）；
把代入，得，解得（舍去）；
把代入，得，解得（舍去）；
把代入，得，解得（舍去）；
把代入，得，解得（舍去）；
把代入，得，解得，
∴，
∴各数位上的数字和为，
∴3434不是“空空数”；
把代入，得，解得（舍去）；
把代入，得，解得（舍去）；
当时，（舍去），或（舍去），或（舍去），
综上，符合题意的N为1017，
故答案为：9999；1017．
20．①②④
【分析】对于①，将代入，即可判断答案；
对于②，先判断，然后根据一元二次方程的根与系数关系，得到，进一步推得，即抛物线的对称轴在直线的右侧，所以抛物线的顶点在的右上方，即，根据不等式的性质，即可判断答案；
对于③，先判断抛物线的对称轴在直线的右侧，再根据二次函数的轴对称性，即可判断答案；
对于④，根据一元二次方程根的判别式，可得，然后将代入，可得，根据一元二次方程的根与系数关系，即得，最后根据不等式的性质，即可判断答案．
【详解】①把代入得：，
故①正确；
②图象经过，，即抛物线与y轴的负半轴有交点，如果抛物线的开口向上，则抛物线与x轴的交点都在的左侧，
中，
抛物线与x轴的一个交点一定在或的右侧，
抛物线的开口一定向下，即，
，
，
，，
， ，
方程的两根之积大于0，即，
，
，
，
即抛物线的对称轴在直线的右侧，
抛物线的顶点在的右上方，
，
，
，
故②正确；
③，
当时，，
即抛物线的对称轴在直线的右侧，
到对称轴的距离大于到对称轴的距离，
，抛物线开口向下，
距离抛物线越近的函数值越大，
；
故③错误；
④方程可变为，
方程有两个相等的实数解，
，
，
，
，
，
，
，在抛物线上，
m，n为方程的两根，
，
，
，
，
，
故④正确；
综上所述，正确的结论有：①②④．
故答案为：①②④．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，不等式的性质，二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程的判别式，一元二次方程的根与系数关系，熟练掌握二次函数的图象与性质，并结合不等式的性质是解题的关键．
21．20
【分析】过点D作于，过点C作于，首先通过勾股定理及求出的长度，然后根据等腰三角形两腰上的高相等得出，然后通过锐角三角函数得出，进而可得出，最后利用即可求值．
【详解】解：过点D，C分别作于点H，于点M．
，
，
，
设，
，
，
，
或（舍去），
，
，
，
，
，
，
的最小值为20．
【点睛】本题主要考查解直角三角形，等腰三角形的性质，勾股定理，垂线段最短等，学会添加辅助线并利用转化的思想是解题的关键．
22．１
【分析】由，推出，连接，容易证明，推出，当E点位于C点时，G点位于的延长线处，进而推出G点在这条线段上运动，再由点到直线的距离垂线段最短知，过H向作垂线，得到的最小值．
【详解】解：连接，如下图所示：
，
，
，
在和中
，
，
，，
当E点位于C点时，G点位于处，
当E点位于A点时，G点位于C处，
故E点在上运动时，G点在上运动，
故由点到直线的距离垂线段最短可知：
过H点作时，此时最小，
又H是的中点，
又，
，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定方法，点到直线的距离垂线段最短等知识点，本题的关键是能想到连接，进而确定出G点的运动路径，再由点到直线距离垂线段最短求值．
23．
【分析】先求于的不等式组的解集，根据整数解的个数求的取值范围，然后根据关于的不等式的解集求的取值范围，最后作答即可．
【详解】解：，
解不等式①得，，
解不等式②得，，
∵不等式组有5个整数解，
∴，
解得，，
，
移项合并得，，
∵关于的不等式的解集为，
∴，
∴，
综上，，
∴的值为；
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的整数解，解一元一次不等式．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
24．8
【分析】先求出不等式组的解集，根据至少有4个整数解，确定出a的范围，再由分式方程解为非负数，确定出满足题意整数a的值，求出之和即可．
【详解】解：，
解①得，，
解②得，，
∴，
∵不等式组至少有4个整数解，即，0，1，2，
∴，
解得：，
根据分式方程解得：，
∵分式方程解为非负数，
∴且，
解得：且，
∴a的范围是且，
则整数解为，0，2，3，4,
整数a的值之和为．
故答案为：8．
【点睛】此题考查了解一元一次不等式组，分式方程的解，解一元一次不等式，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．
25．
【分析】根据题意列出三元一次方程组，再代入化简求值．
【详解】解：设上周甲，乙，丙三种菜品的单价分别为；销量分别为；本周三种菜品总销售额为x，
则：本周甲的销售额为：，
本周乙的销售额为：，
本周丙的销售额为：，
∴,
∴
∴甲、丙菜品本周的销售额之比为：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了三元一次方程组的应用，理解题意是解题的关键．
