长春外国语学校2024-2025学年第二学期期中考试高一年级
数学试卷
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共4页.考试结束后，将答题卡交回.
注意事项：
1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区.
2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.
4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.
5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.
第I卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知i是虚数单位，（ ）
A.i B. C. D.
2.已知向量，满足，，且，则（ ）
A. B.3 C. D.7
3.的直观图如图所示，其中轴，轴，且，，则的面积为（ ）
A.24 B.12 C.6 D.8
4.已知两个不同的平面，和两条不同的直线m，n满足，，则“”是“m，n不相交”的（ ）
A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
5.已知底面半径为1的圆柱的体积为，则该圆柱的侧面积为（ ）
A. B. C. D.
6.要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A.向左平移个单位 B.向左平移个单位 C.向右平移个单位 D.向右平移个单位
7.如图，正方体棱长为2，点M，N分别为，CD的中点，则异面直线MN和所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
8.已知三棱锥P-ABC的每条侧棱与它所对的底面边长相等，且，，，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，每题6分，共18分.在每题给出的四个选项中，至少有两项是符合题目要求的.选对得6分，部分选对得部分分，多选或错选得0分.
9.若复数，则（ ）
A. B.z在复平面内对应的点位于第一象限
C. D.复数满足，则的最小值为
10.下列命题正确的有（ ）
A.在中，若，则
B.在中，若，则为等腰三角形
C.，，则在上的投影向量等于
D.两个非零向量，的夹角是锐角的必要不充分条件是
11.设m，n，l是三条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题中为假命题的是（ ）
A.若，，则 B.若，，则
C.若，，则 D.若，，则
第II卷
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.在中角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，，则__________.
13.设内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，的平分线交边BC于点D，则线段AD的长度为__________.
14.如图，O是圆台上底面的圆心，A，B是圆台下底面圆周上的两个动点，MN是圆台的一条母线，记圆台的上、下底面圆的半径分别为r，R.若，平面OAB，且线段AB长度的最小值为6，则该圆台的体积为__________.
四、解答题：本题共有5小题，共77分.
15.（13分）在平面直角坐标系中，已知，，.
（1）若A，B，C三点共线，求实数m的值；
（2）若，以的边AC所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成一个几何体，求该几何体的表面积.
16.（15分）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中，，且
（1）求角A；
（2）若，的面积为，求的周长.
17.（15分）如图，点P为正方形ABCD所在平面外一点，E，F，G分为PD，AB，DC的中点，求证：
（1）平面PCF；
（2）平面平面PCF.
18.（17分）已知函数的部分图象如图所示.
（1）求的解析式及单调递增区间；
（2）将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数图象，若不等式对任意成立，求m的取值范围.
19.（17分）如图几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD（及其内部）以AB边所在直线为旋转轴旋转得到的.已知，，P是上的中点，Q是AC的中点，BP与CE交于点O.
（1）求该几何体的表面积；
（2）求证：；
（3）若M是上的一点，且满足平面平面ABEF，求的值.
长春外国语学校2024-2025学年第二学期期中考试高一年级
数学答案
一、选择题
1.C 2.C 3.A 4.B 5.D 6.A 7.A 8.D 9.AC 10.ACD 11.ACD
二、填空
12. 13. 14.
三、解答题
15.（1） （2）
16.（1） （2）
17.略
18.（1）；， （2）
19.（1） （2）略
（3）连接OM，QM，因为平面平面ABEF，
设平面平面，又平面平面，则，
因为Q是AC的中点，所以H为BC的中点，G为AD的中点，
因为平面平面，
又平面平面，平面平面ABEF，所以，
又，所以，
因为，，
在中，由正弦定理可得，
所以，所以，
因为，所以，所以.
