宁远一中2025年高三
数学模拟卷（一）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．一组样本数据删除一个数后,得到一组新数据:10,21,25,35,36,40.若这两组数据的中位数相等,则删除的数为( )
A.25 B.30 C.35 D.40
2．已知集合,,则( )
A. B.
C. D.
3．已知向量,满足,,则为( )
A. B. C. D.
4．函数在开区间的零点个数为( )
A.5 B.6 C.7 D.8
5．正四棱台中，，，与底面所成的角为，则此四棱台的体积为( )
A. B. C. D.
6．若函数的定义域为D,且存在,使得,则称是的一个“二倍阶值点”.下列四个函数中,不存在“二倍阶值点”的是( )
A. B. C. D.
7．某商店店庆，每个在店内消费到一定额度的顾客都可以参与抽奖活动.组织方准备了个盲盒，其中有个盲盒内有奖品.抽奖规则为：抽奖者从这n个盲盒中随机抽取1个盲盒，兑奖后组织方会再补回一个相同的盲盒，充分混合后，再由下一位抽奖者抽奖.抽奖者甲先拿起了一个盲盒，在犹豫是否打开时，组织方拿走了一个没有奖品的盲盒，最终甲选择了另外一个盲盒打开，记甲中奖的概率为.抽奖者乙在选盲盒时不小心碰掉了一个盲盒，并且发现摔裂的盲盒内没有奖品，随后乙从剩下的盲盒中选定一个盲盒打开，记乙中奖的概率为，则( )
A. B.
C. D.无法确定与的大小关系
8．已知平面向量,,,当最小时,,则,的夹角为( )
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，不选或有选错的得0分。
9．已知抛物线的焦点为F,过F的直线l交抛物线于,两点,且A,B在其准线上的射影分别为,,则下列结论正确的是( )
A.若直线轴,则 B.
C. D.
10．若随机变量X服从正态分布，且，，则( )
A. B.
C. D.
11．设等比数列的公比为q,其前n项和为,前n项积为,并且满足条件,,,则下列结论正确的是( )
A. B.
C.的最大值为 D.的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．某中学高一 高二 高三的学生人数比例为,假设该中学高一 高二 高三的学生阅读完《红楼梦》的概率分别为,,若从该中学三个年级的学生中随机选取1名学生,则这名学生阅读完《红楼梦》的概率不大于0.233,已知该中学高三的学生阅读完《红楼梦》的概率不低于高一的学生阅读完《红楼梦》的概率,则p的取值范围是______________。
13．已知函数,曲线在点处的切线方程为__________。
14．在正六棱柱中,,M,N分别为,的中点,则点A到平面的距离为________。
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15．（本小题满分13分）已知锐角三角形ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足.
(1)求A;
(2)若,求的取值范围.
16．（本小题满分15分）已知O为坐标原点，直线与双曲线的渐近线交于A，B两点，与椭圆交于E，F两点.当时，.
（1）求双曲线C的方程；
（2）若直线l与C相切，证明：的面积为定值.
17．（本小题满分15分）如图,在四棱锥中,平面,,,,,点E在棱上,且不与S和D重合,平面交棱SC于点F.
（1）求证:;
（2）若E为棱的中点,求二面角的正弦值;
（3）记点D,S到平面的距离分别为,,求的最大值.
18．（本小题满分17分）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施,游客坐在摩天轮的座舱里慢慢往上转,可以从高处俯瞰四周景色.位于滨海的“渤海之眼”摩天轮是世界上最大的无轴摩天轮,该摩天轮轮盘直径为124米,设置有36个座舱.游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱,当到达最高点距地面145米时大约需要15分钟.当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时.
（1）经过t分钟后游客甲距离地面的高度为H米,已知H关于t的函数关系式满足（其中,,）,求摩天轮转动一周的解析式;
（2）游客甲坐上摩天轮后多长时间,距离地面的高度第一次恰好达到52米
（3）若游客乙在游客甲之后进入座舱,且中间间隔5个座舱,从游客甲坐上摩天轮后开始计时,多长时间游客乙和游客甲距离地面的高度首次恰好相同
19．（本小题满分17分）某市为繁荣地方经济，大力实行人才引进政策，为了解政策的效果，统计了2018-2023年人才引进的数量y（单位：万人），并根据统计数据绘制了如图所示的散点图（x表示年份代码，年份代码1-6分别代表2018-2023年）.
（1）根据散点图判断与（a，b，c，d均为常数）哪一个适合作为y关于x的回归方程类型；（给出结论即可，不必说明理由）
（2）根据（1）的结果及表中的数据，求出y关于x的回归方程，并预测该市2025年引进人才的数量；
（3）从这6年中随机抽取4年，记引进人才数量超过4万人的年数为X，求X的分布列和数学期望.
参考数据：
5.15 1.55 17.5 20.95 3.85
其中，，，.
参考公式：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，.
参考答案
1．答案：B
解析：依题意,新数据组有6个数,其中位数是,
显然原数据组有7个数,因此删除的数是中位数30.
故选:B
2．答案：C
解析：因为集合,集合
,
.
故选:C.
3．答案：D
解析：因为,即,
则,整理得,
又因为,即,则,所以.
故选：D.
4．答案：D
解析：法一：
,
,
令,则或,
即：或或,
如图所示：
由图像可知,
函数共8个零点.
法二：因为,
由,得,或,
所以,或,即,或,,
因为,
所以,或,,,,,,共8个零点.
故选：D.
5．答案：B
解析：
∵，，
∴上、下底面的面积分别为
，
设正四棱台的高为h，
连接，分别取，的中点O，，
由正四棱台性质可知：面，
面，∴，
过作交于E，
则，面，
∴，为与底面所成的角，
∵
，
由，
可得：，即，
所以
.
故选：B.
6．答案：C
解析：对于A,,,
由,得,解得,
所以函数存在“二倍阶值点”;
对于B,,,
由,得,
因为,,解得,
所以函数存在“二倍阶值点”;
对于C,,,
由,得,
令,,
当时,,单调递减,
当时,,单调递增,
所以当时,有极小值也是最小值,且,
所以无解,
所以函数不存在“二倍阶值点”;
对于D,,,
由,得,
令,,
所以在R上单调递增,
又,,
根据零点存在性定理可知在上存在零点,
所以方程有解,
所以函数存在“二倍阶值点”.
故选：C.
7．答案：A
解析：设事件A为“抽奖者甲中奖”，事件B为“甲选中的盲盒有奖”，
则，在组织方拿走无奖的盲盒后，若先选中的有奖，
则剩余个盲盒中有个奖品，甲更换盲盒后，
若甲先选中的盲盒无奖，则剩余个盲盒中有m个奖品，
则更换盲盒后，
因此，
由乙碰掉的盲盒无奖，则所有个盲盒中有m个奖品，
且每个盲盒被抽到的可能性相同，则，
于是，所以.
故选：A.
8．答案：D
解析：设,的夹角为,由,
由二次函数的图象可知,当且仅当时,取最小值,此时值最小,
将代入即得：,因,故.
故选：D.
9．答案：CD
解析：抛物线C的焦点,准线方程,显然l不垂直于y轴,
设l的方程为,由得：,,是此方程的二根,
选项A,直线轴,,,,则,即选项A错误;
选项B,,则,即选项B错误;
选项C,,即选项C正确;
选项D,如图中,由抛物线的定义知,,,
又轴,,,同理可得,,
,即选项D正确.
故选：CD.
10．答案：ABC
解析：随机变量X服从正态分布，则，.
对于A，，A正确；
对于B，，则，B正确；
对于C，由，，得，，
所以，C正确；
对于D，，则，D错误.故选ABC.
11．答案：AD
解析：因为等比数列的公比为q,由得,所以数列为等差数列,公差为,
由于,,则且,得,,
由 ,得,,
若,则,而,则,则,,此时 不成立,所以,所以,所以A正确;
由,,得,,又因为,所以数列为递减数列,
从第10项开始小于零,故前9项和最大,即可的最大值为,所以D正确,
因为,所以,所以B不正确,
因为,,所以数列各项均为正数,所以没有最大值,所以C不正确,
故选：AD.
12．答案：
解析：若从该中学三个年级的学生中随机选取1名学生,
则这名学生阅读完《红楼梦》的概率为,解得.
因为该中学高三的学生阅读完《红楼梦》的概率不低于高一的学生阅读完《红楼梦》的概率,所以.
故p的取值范围是.
故答案为：.
13．答案：
解析：由题设,且,则,
所以曲线在点
的切线方程为,即.
故答案为：.
14．答案：/
解析：连接,,设其交点为O.由正六棱柱的性质知,,且,取的中点P,连接,则平面.
以O为坐标原点,,,所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.
因为,M,N分别为,的中点,
所以,,,,
则,,.
设平面的法向量为,
则令,则.
故点A到平面的距离.
故答案为:
15
．答案：(1)
(2)
解析：(1)由,
根据正弦定理,得：,
由,,则,
即,而,故,
又,所以.
(2)由正弦定理,且,则,,
由,
则
,
由,则,即,
可得,
令,则,
易知函数在上单调递增,在上单调递减,,,,所以.
16．答案：（1）
（2）证明见解析
解析：（1）设，，
，.
若，则.
易知双曲线的渐近线方程为，不妨设A在直线上，B在直线上.
由得，
同理可得，
所以.
由得，
所以，
所以，即.
又，所以，解得，
所以双曲线C的方程为.
（2）由（1）得，，
所以，，
所以.
由得.
因为直线l与双曲线C相切，
所以，
所以，
所以，为定值.
17．答案：（1）证明见解析
（2）
（3）
解析：（1）因为,且平面,平面,
所以平面,
又因为平面,平面平面,
所以;
（2）取的中点P,连接,则,又,
所以四边形为平行四边形,
因为平面,平面,所以,故四边形为矩形,
在中,,又,
所以在中,,所以.
因为平面,平面,所以,
又因为,平面,且,所以平面,
以为x轴,为y轴,为z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
则,,,,,.
,,,,
设平面的法向量为,则,
即,可取.
设平面的法向量为,则,
即,可取.
设二面角的大小为,
则
则二面角的正弦值为;
（3）设,,则,
设平面的法向量为,
则,即,可取.
因为,,
所以,,
故,设,,则,
令,得,解得（舍去）,,
故时,,时,,
所以,
故的最大值为.
18．答案：（1）,;
（2）5分钟
（3）17.5分钟
解析：（1）由题意知,,,解得,
又,所以,
时,,解得,
因为,所以,
所以,;
（2）令,得,解得,
即,因,依题意,需使,解得,
所以游客甲坐上摩天轮后5分钟,距离地面的高度第一次恰好达到52米;
（3）由题意知,,
因中间间隔5个座舱,则有,
依题意,,即,
即,所以,解得,;
所以,;时,,不合题意;当时,,
即从游客甲坐上摩天轮后开始计时,17.5分钟游客乙和游客甲距离地面的高度首次恰好相同.
19．答案：（1）选择更合适.
（2），12.68万人
（3）分布列见解析，2
解析：（1）根据散点图可知，选择更合适.
（2）因为，所以两边同时取常用对数，得.
设，则，先求w关于x的线性回归方程.
因为，，
，所以.
把代入上式，得，
故预测该市2025年引进人才的数量为12.68万人.
（3）这6年中，引进人才的数量超过4万人的年数有3个，
所以X的所有可能取值为1，2，3.
，，，
所以X的分布列为
X 1 2 3
P
所以.
