第16讲 三角形的概念和性质
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三角形中的重要线段 理解三角形及其内角、外角、中线、高线、角平分线等概念，了解三角形的稳定性；探索并证明三角形的内角和定理，掌握它的推论；证明三角形的任意两边之和大于第三边；了解三角形重心的概念；探索并证明角平分线的性质定理；理解线段垂直平分线的概念，探索并证明线段垂直平分线的性质定理.
三角形的三边关系
三角形的内角和外角
三角形的垂直平分线
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考点一 三角形的基础
一、三角形的相关概念
三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.
三角形的表示：用符号“”表示，顶点是A、B、C的三角形记作“ABC”，读作“三角形ABC”.
二、三角形的分类
1）三角形按边分类：三角形
2）三角形按角分类：三角形
三、三角形的稳定性
三角形的稳定性: 三角形三条边确定之后，三角形的形状和大小就确定不变了，这个性质叫做三角形的稳定性.
【补充】四边形及多边形不具有稳定性，要使多边形具有稳定性，方法是将多边形分成多个三角形，这样多边形就具有稳定性了.
三角形三边关系：三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边．
三角形三边关系的应用：
1）判断三条已知线段能否组成三角形，只需检验最短的两边之和大于第三边，则可说明能组成三角形．
2）已知三角形两边的长度分别为a，b，求第三边长度的范围：|a-b|＜c＜a＋b
3）所有通过周长相加减求三角形的边，求出两个答案的，要注意检查每个答案能否组成三角形．
【典例1】（2025·江苏连云港·中考真题）下列长度（单位：）的3根小木棒能搭成三角形的是（ ）
A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，5，8 D．4，5，10
【答案】B
【分析】本题考查的是三角形的三边关系的应用，根据三角形三边关系定理，任意两边之和必须大于第三边．只需验证每组数中较小的两数之和是否大于最大数即可．
【详解】A． 1、2、3：，不满足两边之和大于第三边，不符合题意；
B． 2、3、4：，满足条件，能构成三角形，符合题意；
C． 3、5、8：，不满足两边之和大于第三边，不符合题意；
D． 4、5、10：，不满足条件，不符合题意；
故选：B．
【典例2】（2025·河北·中考真题）平行四边形的一组邻边长分别为，，一条对角线长为．若为整数，则的值可以为 ．（写出一个即可）
【答案】（答案不唯一）
【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形三边关系，不等式组的整数解，根据题意得出，进而写出一个整数解即可求解．
【详解】解：依题意，
∴，
∵为整数，
∴可以是，，，，
故答案为：（答案不唯一）．
【典例3】（2025·湖南·中考真题）已知，，，是的三条边长，记，其中为整数．
（1）若三角形为等边三角形，则 ；
（2）下列结论正确的是 （写出所有正确的结论）
①若，，则为直角三角形
②若，，，则
③若，，，，为三个连续整数，且，则满足条件的的个数为7
【答案】 2 ①②/②①
【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，解一元一次不等式组，三角形三边的关系，等边三角形的性质等等，熟知相关知识是解题的关键．
（1）根据等边三角形的性质可得，据此求解即可；
（2）当，时，可证明，由勾股定理的逆定理可判断①；当，，时，可得；当时，可得，当时，可得，则可求出，据此求出t的取值范围即可判断②；当时，则，则可得到；根据题意不妨设，则剩下两个数分别为（n为正整数），则可得，解不等式组求出整数n即可判断③．
【详解】解：（1）∵，，是的三条边长，且是等边三角形，
∴，
∴
，
故答案为；2；
（2）①当，时，∵，
∴，
∴，
∴，
∴为直角三角形，故①正确；
②当，，时，
∵，
∴；
当时，
∵，
∴，
∴；
当时，
∵，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴t随b的增大而增大，
当时，，
当时，，
∴，故②正确；
③当时，则，
∵，
∴，
∴；
∵a、b、c是三个相邻的正整数，，
∴不妨设，则剩下两个数分别为（n为正整数），
∵，
∴，
解得，
∴符合题意的n的值有2、3、4、5、6、7，共6个，
∴符合题意的a、b、c的取值一共有6组，
∴满足条件的的个数为6，故③错误；
故答案为：①②．
考点二 三角形中有关线段
类型 三角形的高 三角形的中线 三角形的角平分线
文字语言 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段． 三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段． 三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段．
图形语言
性质 ∵AD是 ABC中BC边的高∴∠ADB=∠ADC=90° ∵AD是 ABC中BC边的中线∴BD=CD S△ABD=S△ADC=S△ABC ∵AD是 ABC中∠BAC的角平分线∴∠BAD=∠DAC=∠BAC
用途举例 1）线段垂直．2）角度相等． 1）线段相等．2）面积相等． 角度相等．
类型 三角形的中位线 三角形的垂直平分线
文字语言 连接三角形两边中点的线段 经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线
图形语言
性质 ∵DE是 ABC的中位线∴DE=BC DE∥BC ∵直线l是AB的垂直平分线∴PA=PB, AC=BC, ∠PCA=∠PCB=90°
用途举例 1）线段平行．2）线段关系． 1）线段相等．2）角度相等．
【典例1】（2025·山东东营·中考真题）如图，在中，，，的平分线交于点，、分别是和上的动点，则的最小值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了角平分线的性质，含角的直角三角形，垂线段最短，解题的关键是正确作出辅助线．
作于点，根据垂线段最短可知，的最小值是线段的长度，根据解含角的直角三角形即可．
【详解】解：如图，作于点，
∵平分，
作点关于的对称点，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴的最小值是，
故答案为：．
【典例2】（2025·辽宁·中考真题）如图，在中，，，，的平分线与相交于点．在线段上取一点，以点为圆心，长为半径作弧，与射线相交于点和点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线，与相交于点，连接．则的周长为（ ）
A．12 B．14 C．16 D．18
【答案】B
【分析】本题考查尺规作图作垂线，全等三角形的判定和性质，中垂线的判定和性质，根据作图可知，证明，得到，，进而求出的长，得到垂直平分，得到，进而推出的周长等于的长即可．
【详解】解：由作图可知，，设交于点，则：，
∵平分，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴垂直平分，，
∴，
∴的周长为；
故选B
【典例3】（2025·吉林长春·中考真题）图①、图②、图③均是的网格，其中每个小方格都是边长相等的正方形，其顶点称为格点．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作，使的顶点均在格点上．
(1)在图①中，是面积最大的等腰三角形；
(2)在图②中，是面积最大的直角三角形；
(3)在图③中，是面积最大的等腰直角三角形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题主要考查了格点作图，勾股定理及其逆定理，网格中求三角形面积，熟知相关知识是解题的关键．
（1）根据面积最大，且为等腰三角形，顶点均在格点上；
（2）根据面积最大，且为直角三角形，顶点均在格点上；
（3）作个腰长为的等腰直角三角形，顺次连接A、B、C，则即为所求．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解；如图所示，即为所求；
（3）解：如图所示，即为所求．
考点三 与三角形有关的角
三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°．
推论：直角三角形的两个锐角互余.
三角形的内角和定理的应用：
1)在三角形中,已知两个内角的度数,可以求出第三个内角的度数；
2)在三角形中,已知三个内角的比例关系,可以求出三个内角的度数；
3)在直角三角形中,已知一个锐角的度数,可以求出另一个锐角的度数.
三角形的外角和定理：三角形的外角和等于360°．
三角形的外角的性质：1）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；
2）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．
【典例1】（2025·辽宁·中考真题）如图，点在的边上，，垂足为，，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查平行线的性质，三角形的外角，根据平行线的性质，得到，再根据三角形的外角的性质，求出的度数即可．
【详解】解：∵，，，
∴，
∴；
故选C．
【典例2】（2025·山东烟台·中考真题）如图是一款儿童小推车的示意图，若，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了平行线的性质，三角形外角定理，解答此题的关键是准确识图，熟练掌握平行线的性质．首先根据平行线的性质得出，再根据三角形的外角性质即可求出．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
，
∴；
故选：A．
【典例3】如图，D是△ABC边BA延长上一点．
(1)①若BC＝3，AC＝6，则AB的长在什么范围？
②若AC＝6，则△ABC的周长可能是( )
A．8 B．10 C．12 D．14
(2)①若∠CAB＝36°，∠B＝∠ACB，则∠ACB＝72°；
②若∠CAB∶∠B∶∠ACB＝3∶5∶7，求∠CAD的度数；
③若CE是△ABC的角平分线，∠CAD＝∠CEA，∠BCA＝80°，求∠CEA的度数．
【点拨】(1)可利用三角形三边大小关系来解；(2)①可利用三角形内角和为180°，通过方程(组)来求解；②设每份为x，利用三角形内角和，求出∠CAB，再利用互补求∠CAD；③需要利用外角与内角之间的数量关系，再结合已知条件求解．
【解答】解：(1)①由三角形任意两边和大于第三边，任意两边之差小于第三边，可得，AC－BC＜AB＜BC＋AC，所以3＜AB＜9.
(2)②∵∠CAB∶∠B∶∠ACB＝3∶5∶7，
∴设∠CAB＝3x°，∠B＝5x°，∠ACB＝7x°.
∵∠CAB＋∠B＋∠ACB＝180°，
∴3x＋5x＋7x＝180，解得x＝12.∴∠CAB＝36°.
∴∠CAD＝180°－∠CAB＝144°.
③∵∠CAD＝∠CEA＋∠ECA，∠CAD＝∠CEA，
∴∠CEA＝3∠ECA.
∵CE是△ABC的角平分线，∴∠CEA＝∠BCA＝120°.
专项训练·深度理解
专项训练十六：三角形的概念和性质
（时间：60分钟，总分100分）
一、选择题（本题共10题，每题3分，共30分）
1. 如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠B＝50°，AD∥BC，则∠1的度数为（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
【考点】三角形内角和定理；平行线的性质．.
【专题】三角形；推理能力．
【答案】C
【分析】由三角形内角和定理求出∠C，再根据平行线的性质解答即可．
【解答】解：∵∠BAC＝60°，∠B＝50°，
∴∠C＝180°﹣∠BAC﹣∠B＝180°﹣60°﹣50°＝70°，
∵AD∥BC，
∴∠1＝∠C＝70°，
故选：C．
【点评】本题考查了三角形内角和定理和平行线的性质，掌握三角形内角和定理是解题的关键．
2. （2021·湖南娄底·统考中考真题）是某三角形三边的长，则等于（ ）
A． B． C．10 D．4
【答案】D
【分析】先根据三角形三边的关系求出的取值范围，再把二次根式进行化解，得出结论．
【详解】解：是三角形的三边，
，
解得：，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式的性质及化简，解题的关键是：先根据题意求出的范围，再对二次根式化简．
3. （2025·山东威海·中考真题）如图，直线，，．若．则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】此题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，解题的关键是掌握以上知识点．
首先求出，然后由平行线的性质得到，然后利用三角形外角的性质求解即可．
【详解】如图所示，
∵，
∴
∵
∴
∵
∴．
故选：A．
4. （2024商洛市二模）在中，是钝角，下列图中画边上的高线正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了三角形的高，根据三角形的高的定义可知，边上的高线是经过点向边所作的垂线段，依此求解即可，解题的关键是正确理解定义：从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．
【详解】由题意可得，在中，是钝角，画边上的高线是，
故选：．
5. （2025·陕西·中考真题）如图，在中，，，为边上的中线，，则图中与互余的角共有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【分析】该题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，根据三角形内角和定理求出，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出，根据等边对等角得出，再结合根据三角形内角和定理求出，最后根据余角的性质求解即可．
【详解】解：∵在中，，，
∴，
∵为边上的中线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴图中与互余的角是，共有4个，
故选：C．
6. 如图，直线a∥b，将一块含30°角（∠BAC＝30°）的直角三角尺按图中方式放置，其中A和C两点分别落在直线a和b上．若∠1＝20°，则∠2的度数为（ ）
A．20° B．30° C．40° D．50°
【分析】直接利用平行线的性质结合三角形内角和定理得出答案．
【解答】解：∵直线a∥b，
∴∠1+∠BCA+∠2+∠BAC＝180°，
∵∠BAC＝30°，∠BCA＝90°，∠1＝20°，
∴∠2＝40°．
故选：C．
7. （2025·山东威海·中考真题）如图，的中线交于点F，连接．下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了三角形的中位线定理、三角形中线的性质以及相似三角形的判定和性质等知识；
根据三角形的中位线定理结合三角形中线的性质可得，可得，再根据相似三角形的性质进一步判断即可.
【详解】解：∵的中线交于点F，
∴，
∴，，故D选项结论正确；
∴，，
∴，，，故A、C选项结论正确，B选项结论错误；
故选：B.
8. （2024贵州省模拟）如图是由边长为1的小正方形组成的网格，的顶点，，均在格点上．若于点，则线段的长为（ ）
A． B．2 C．1 D．2
【答案】D
【分析】此题主要考查了勾股定理以及三角形面积求法，利用勾股定理得出的长，再利用等面积法得出的长．
【详解】解：由图可知：，，
∵，
∴ ，
解得：．
故选：D．
9. 如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A.B.C.D.E.F、G在小正方形的顶点上，则△ABC的重心是（ ）
A．点D B．点E C．点F D．点G
【分析】根据三角形三条中线相交于一点，这一点叫做它的重心，据此解答即可．
【解答】解：根据题意可知，直线CD经过△ABC的AB边上的中线，直线AD经过△ABC的BC边上的中线，
∴点D是△ABC重心．
故选：A．
10. （2025·北京·中考真题）如图，，点A在射线上，以点O为圆心，长为半径画弧，交射线于点B．若分别以点A，B为圆心，长为半径画弧，两弧在内部交于点C，连接，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键．
连接，则由作图可得，那么为等边三角形，可证明，再根据全等三角形性质以及三角形内角和定理即可求解．
【详解】解：如图，连接，
由作图可得，，
∴为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
故选：B．
二、填空题（本题共6题，每题3分，共18分）
11. （2024·吉林白城·模拟预测）如图，在生活中，为了保证儿童的安全，通常儿童座椅主体框架成三角形，这是利用了 ．
【答案】三角形的稳定性
【分析】本题考查了三角形稳定性的特性，理解三角形的稳定性即可解题．
【详解】解：为了保证儿童的安全，通常儿童座椅主体框架成三角形，是利用了三角形的稳定性，
故答案为：三角形的稳定性．
12. （ 2025·福建）某房梁如图所示，立柱AD⊥BC，E，F分别是斜梁AB，AC的中点．若AB＝AC＝8m，则DE的长为 4 m．
【解答】解：∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∵E是AB的中点，
∴DEAB8＝4（m）．
故答案为：4．
13. （2024·上海浦东新·一模）如图，在中为中点，为的角平分线，的面积记为，的面积记为，则 ．
【答案】
【分析】此题考查角平分线的性质，关键是根据三角形中线的性质和角平分线的性质得出面积关系解答．根据三角形中线的性质和角平分线的性质解答即可．
【详解】解：过点D作，
为的角平分线，
∵为中点，
∴
设，则
则，
故答案为：．
14. （2024·陕西西安·二模）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点都在格点上，若是的高，则 ．
【答案】/
【分析】本题主要考查了求三角形的高，割补法求三角形面积，勾股定理，先利用割补法求出的面积，再利用勾股定理求出的长，再利用三角形面积公式求出即可．
【详解】解：，
由勾股定理得，
∵是的高，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
15. （2025·四川广安·中考真题）如图，在中，按以下步骤作图：（1）以点A为圆心，的长为半径画弧，交于点D；（2）分别以点C和点D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点F；（3）画射线交于点E．若，，，则的长为 ．
【答案】12
【分析】本题考查了尺规作线段的垂线、等腰三角形的判定和性质、三角形的外角性质以及勾股定理等知识，读懂作图信息、熟练掌握相关图形的性质定理是解题的关键；
易得，连接，如图，据题意可得：，垂直平分，可得，，证明，再利用勾股定理即可求出答案.
【详解】解：∵，，
∴,
连接，如图，据题意可得：，垂直平分，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
则在直角三角形中，根据勾股定理可得；
故答案为：12.
16. （2025·四川成都·中考真题）如图，在中，，，．以点A为圆心，以长为半径作弧；再以点C为圆心，以长为半径作弧，两弧在上方交于点D，连接，则的长为 ．
【答案】/
【分析】本题考查线段垂直平分线的判定与性质、勾股定理，根据作图过程得到垂直平分是解答的关键．连接，，设与相交于O，先根据线段垂直平分线的判定与性质得到根据作图过程，，再利用勾股定理求得，然后利用三角形的面积求得即可解答．
【详解】解：连接，，设与相交于O，
根据作图过程，得，，
∴垂直平分，则，，
∵在中，，，，
∴，
由得
，
∴，
故答案为：．
三、解答题（本题共7题，共52分）
17. （6分）（23-24九年级下·吉林白城·阶段练习）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，，，均为小正方形的顶点，仅用无刻度的直尺按要求画图，保留作图痕迹．
(1)在图①中，画出边上的中线．
(2)在图②中，画出边上的点，使得．
(3)在图③中，画出边上的高．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，画三角形的高和中线等等：
（1）取于格线的交点D，连接，线段即为所求；
（2）如图所示，取格点G、H，连接交于E，点E即为所求；
（3）如图所示，取格点D，连接交于F，线段即为所求．
【详解】（1）解：如图所示，线段即为所求；
（2）解：如图所示，取格点G、H，连接交于E，点E即为所求；
易证明，则；
（3）解：如图所示，取格点I，连接交于F，线段即为所求．
18. （6分）（2025·重庆·中考真题）学习了角平分线和尺规作图后，小红进行了拓展性研究，她发现了角平分线的另一种作法，并与她的同伴进行交流．现在你作为她的同伴，请根据她的想法与思路，完成以下作图和填空：
第一步：构造角平分线．
小红在的边上任取一点E，并过点E作了的垂线（如图）．请你利用尺规作图，在边上截取，过点F作的垂线与小红所作的垂线交于点P，作射线即为的平分线（不写作法，保留作图痕迹）．
第二步：利用三角形全等证明她的猜想．
证明：，，
．
在和中，
，
．
③ ．
平分．
【答案】第一步：作图见解析；第二步：①；②；③
【分析】本题考查了作图-复杂作图，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题．
第一步：根据题意作出图形即可；
第二步：利用证明，得出即可解答．
【详解】解：第一步：作图如下：
；
第二步：证明：，，
．
在和中，
，
．
,
平分．
19. （6分）（2024·广东广州·二模）如图，已知中，，，，，为边上的中线．
(1)求的长；
(2)求的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了解直角三角形及勾股定理，熟知余弦的定义及三角形中线的性质是解题的关键．
（1）先根据的余弦求出的长，再利用勾股定理即可解决问题．
（2）根据为边上的中线可知，的面积是面积的一半，据此可解决问题．
【详解】（1），
．
在中，
，
，
．
（2）为边上的中线，
．
又，
．
20. （8分）如图，在△ABC中，∠ABC=40°，∠ACB=80°，AD是BC边上的高，AE平分∠BAC．
（1）求∠BAE的度数；
（2）求∠DAE的度数．
【分析】（1）由∠ABC、∠ACB的度数结合三角形内角和定理，可求出∠BAC的度数，再根据角平分线的性质可求出∠BAE的度数；
（2）利用三角形的外角性质可求出∠AEB的度数，结合∠ADE=90°即可求出∠DAE的度数．
【解答】解：（1）∵∠ABC=40°，∠ACB=80°，
∴∠BAC=180°﹣∠ABC﹣∠ACB=60°．
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠BAC=30°．
（2）∵∠CAE=∠BAE=30°，∠ACB=80°，
∴∠AEB=∠CAE+∠ACB=110°，
∵AD是BC边上的高，
∴∠ADE=90°，
∴∠DAE=∠AEB﹣∠ADE=20°．
21. （8分）（2025·山东·中考真题）在中，，，的平分线交于点．如图1．
(1)求的度数；
(2)已知，分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，，作直线交于点，交的延长线于点F．如图2，求的长．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】本题考查了三角形的外角性质，垂直平分线的作法和性质，解直角三角形，全等三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
（1）由角平分线的定义求得，再利用三角形的外角性质求解即可；
（2）由作图知是线段的垂直平分线，求得，求得，，再证明，据此求解即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴；
（2）解：由作图知是线段的垂直平分线，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，，
∵，，
∴，
∴．
22. （8分）如图1，在△ABC中，CD，CE分别是△ABC的高和角平分线，∠BAC＝α，∠B＝β(α＞β)．
图1 图2 图3
(1)若∠BAC＝70°，∠B＝40°，求∠DCE的度数；
(2)若∠BAC＝α，∠B＝β(α＞β)，则∠DCE＝(用含α，β的代数式表示)；
(3)若将△ABC换成钝角三角形，如图2，其他条件不变，试用α，β的代数式表示∠DCE的度数并说明理由；
(4)如图3，若CE是△ABC外角∠ACF的平分线，交BA的延长线于点E.且α－β＝30°，则∠DCE＝75°．(直接写出结果)
【解析】：(1)∵∠BAC＝70°，∠B＝40°，
∴∠ACB＝180°－(∠BAC＋∠B)＝70°.
又∵CE是∠ACB的平分线，
∴∠ACE＝∠ACB＝35°.
∵CD是高线，∴∠ADC＝90°.
∴∠ACD＝90°－∠BAC＝20°.
∴∠DCE＝∠ACE－∠ACD＝15°.
(3)∠DCE＝(α－β)．理由：
∵∠ACB＝180°－(∠BAC＋∠B)＝180°－(α＋β)，CE是∠ACB的平分线，
∴∠ACE＝∠ACB＝90°－(α＋β)．
∵CD是高线，∴∠ADC＝90°.
∴∠ACD＝∠BAC－90°＝α－90°.
∴∠DCE＝∠ACE＋∠ACD
＝90°－(α＋β)＋α－90°＝(α－β)．
23. （10分）如图：已知AB∥CD，∠ABE与∠CDE两个角的角平分线相交于F．
（1）如图1，若∠E=80°，求∠BFD的度数．
（2）如图2：若写出∠M和∠E之间的数量关系并证明你的结论．
（3）若设∠E＝m°,直接用含有n、m°的代数式写出∠M＝(不写过程)
【分析】（1）首先作EG∥AB，FH∥AB，利用平行线的性质可得∠ABE+∠CDE=280°，再利用角平分线的定义得到∠ABF+∠CDF=140°，从而得到∠BFD的度数；
（2）先由已知得到∠ABE=6∠ABM，∠CDE=6∠CDM，由（1）得∠ABE+∠CDE=360°-∠E，∠M=∠ABM+∠CDM，等量代换，即可得；
（3）由（2）的方法可得到2n∠M+∠E=360°，将∠E=m°代入可得∠M=.
【解析】（1）作EG∥AB，FH∥AB，
∵AB∥CD，∴EG∥AB∥FH∥CD，
∴∠ABF=∠BFH，∠CDF=∠DFH，∠ABE+∠BEG=180°，∠GED+∠CDE=180°，
∴∠ABE+∠BEG+∠GED+∠CDE=360°，
∵∠BED=∠BEG+∠DEG=80°，∴∠ABE+∠CDE=280°，
∵∠ABF和∠CDF的角平分线相交于E，∴∠ABF+∠CDF=140°，
∴∠BFD=∠BFH+∠DFH=140°；
（2）∵∠ABM=∠ABF，∠CDM=∠CDF，
∴∠ABF=3∠ABM，∠CDF=3∠CDM，
∵∠ABE与∠CDE两个角的角平分线相交于点F，
∴∠ABE=6∠ABM，∠CDE=6∠CDM，∴6∠ABM+6∠CDM+∠E=360°，
∵∠M=∠ABM+∠CDM，∴6∠M+∠E=360°；
（3）由（2）的结论可得，
2n∠ABN+2n∠CDM+∠E=360°，∠M=∠ABM+∠CDM，
解得：∠M=，
故答案为：.
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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第16讲 三角形的概念和性质
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三角形中的重要线段 理解三角形及其内角、外角、中线、高线、角平分线等概念，了解三角形的稳定性；探索并证明三角形的内角和定理，掌握它的推论；证明三角形的任意两边之和大于第三边；了解三角形重心的概念；探索并证明角平分线的性质定理；理解线段垂直平分线的概念，探索并证明线段垂直平分线的性质定理.
三角形的三边关系
三角形的内角和外角
三角形的垂直平分线
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分类研究·深度理解
考点一 三角形的基础
一、三角形的相关概念
三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.
三角形的表示：用符号“”表示，顶点是A、B、C的三角形记作“ABC”，读作“三角形ABC”.
二、三角形的分类
1）三角形按边分类：三角形
2）三角形按角分类：三角形
三、三角形的稳定性
三角形的稳定性: 三角形三条边确定之后，三角形的形状和大小就确定不变了，这个性质叫做三角形的稳定性.
【补充】四边形及多边形不具有稳定性，要使多边形具有稳定性，方法是将多边形分成多个三角形，这样多边形就具有稳定性了.
三角形三边关系：三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边．
三角形三边关系的应用：
1）判断三条已知线段能否组成三角形，只需检验最短的两边之和大于第三边，则可说明能组成三角形．
2）已知三角形两边的长度分别为a，b，求第三边长度的范围：|a-b|＜c＜a＋b
3）所有通过周长相加减求三角形的边，求出两个答案的，要注意检查每个答案能否组成三角形．
【典例1】（2025·江苏连云港·中考真题）下列长度（单位：）的3根小木棒能搭成三角形的是（ ）
A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，5，8 D．4，5，10
【典例2】（2025·河北·中考真题）平行四边形的一组邻边长分别为，，一条对角线长为．若为整数，则的值可以为 ．（写出一个即可）
【典例3】（2025·湖南·中考真题）已知，，，是的三条边长，记，其中为整数．
（1）若三角形为等边三角形，则 ；
（2）下列结论正确的是 （写出所有正确的结论）
①若，，则为直角三角形
②若，，，则
③若，，，，为三个连续整数，且，则满足条件的的个数为7
考点二 三角形中有关线段
类型 三角形的高 三角形的中线 三角形的角平分线
文字语言 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段． 三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段． 三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段．
图形语言
性质 ∵AD是 ABC中BC边的高∴∠ADB=∠ADC=90° ∵AD是 ABC中BC边的中线∴BD=CD S△ABD=S△ADC=S△ABC ∵AD是 ABC中∠BAC的角平分线∴∠BAD=∠DAC=∠BAC
用途举例 1）线段垂直．2）角度相等． 1）线段相等．2）面积相等． 角度相等．
类型 三角形的中位线 三角形的垂直平分线
文字语言 连接三角形两边中点的线段 经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线
图形语言
性质 ∵DE是 ABC的中位线∴DE=BC DE∥BC ∵直线l是AB的垂直平分线∴PA=PB, AC=BC, ∠PCA=∠PCB=90°
用途举例 1）线段平行．2）线段关系． 1）线段相等．2）角度相等．
【典例1】（2025·山东东营·中考真题）如图，在中，，，的平分线交于点，、分别是和上的动点，则的最小值是 ．
【典例2】（2025·辽宁·中考真题）如图，在中，，，，的平分线与相交于点．在线段上取一点，以点为圆心，长为半径作弧，与射线相交于点和点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线，与相交于点，连接．则的周长为（ ）
A．12 B．14 C．16 D．18
【典例3】（2025·吉林长春·中考真题）图①、图②、图③均是的网格，其中每个小方格都是边长相等的正方形，其顶点称为格点．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作，使的顶点均在格点上．
(1)在图①中，是面积最大的等腰三角形；
(2)在图②中，是面积最大的直角三角形；
(3)在图③中，是面积最大的等腰直角三角形．
考点三 与三角形有关的角
三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°．
推论：直角三角形的两个锐角互余.
三角形的内角和定理的应用：
1)在三角形中,已知两个内角的度数,可以求出第三个内角的度数；
2)在三角形中,已知三个内角的比例关系,可以求出三个内角的度数；
3)在直角三角形中,已知一个锐角的度数,可以求出另一个锐角的度数.
三角形的外角和定理：三角形的外角和等于360°．
三角形的外角的性质：1）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；
2）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．
【典例1】（2025·辽宁·中考真题）如图，点在的边上，，垂足为，，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2025·山东烟台·中考真题）如图是一款儿童小推车的示意图，若，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【典例3】如图，D是△ABC边BA延长上一点．
(1)①若BC＝3，AC＝6，则AB的长在什么范围？
②若AC＝6，则△ABC的周长可能是( )
A．8 B．10 C．12 D．14
(2)①若∠CAB＝36°，∠B＝∠ACB，则∠ACB＝72°；
②若∠CAB∶∠B∶∠ACB＝3∶5∶7，求∠CAD的度数；
③若CE是△ABC的角平分线，∠CAD＝∠CEA，∠BCA＝80°，求∠CEA的度数．
专项训练·深度理解
专项训练十六：三角形的概念和性质
（时间：60分钟，总分100分）
一、选择题（本题共10题，每题3分，共30分）
1. 如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠B＝50°，AD∥BC，则∠1的度数为（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
2. （2021·湖南娄底·统考中考真题）是某三角形三边的长，则等于（ ）
A． B． C．10 D．4
3. （2025·山东威海·中考真题）如图，直线，，．若．则等于（ ）
A． B． C． D．
4. （2024商洛市二模）在中，是钝角，下列图中画边上的高线正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5. （2025·陕西·中考真题）如图，在中，，，为边上的中线，，则图中与互余的角共有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
6. 如图，直线a∥b，将一块含30°角（∠BAC＝30°）的直角三角尺按图中方式放置，其中A和C两点分别落在直线a和b上．若∠1＝20°，则∠2的度数为（ ）
A．20° B．30° C．40° D．50°
7. （2025·山东威海·中考真题）如图，的中线交于点F，连接．下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．
8. （2024贵州省模拟）如图是由边长为1的小正方形组成的网格，的顶点，，均在格点上．若于点，则线段的长为（ ）
A． B．2 C．1 D．2
9. 如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A.B.C.D.E.F、G在小正方形的顶点上，则△ABC的重心是（ ）
A．点D B．点E C．点F D．点G
10. （2025·北京·中考真题）如图，，点A在射线上，以点O为圆心，长为半径画弧，交射线于点B．若分别以点A，B为圆心，长为半径画弧，两弧在内部交于点C，连接，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本题共6题，每题3分，共18分）
11. （2024·吉林白城·模拟预测）如图，在生活中，为了保证儿童的安全，通常儿童座椅主体框架成三角形，这是利用了 ．
12. （ 2025·福建）某房梁如图所示，立柱AD⊥BC，E，F分别是斜梁AB，AC的中点．若AB＝AC＝8m，则DE的长为 m．
13. （2024·上海浦东新·一模）如图，在中为中点，为的角平分线，的面积记为，的面积记为，则 ．
14. （2024·陕西西安·二模）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点都在格点上，若是的高，则 ．
15. （2025·四川广安·中考真题）如图，在中，按以下步骤作图：（1）以点A为圆心，的长为半径画弧，交于点D；（2）分别以点C和点D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点F；（3）画射线交于点E．若，，，则的长为 ．
16. （2025·四川成都·中考真题）如图，在中，，，．以点A为圆心，以长为半径作弧；再以点C为圆心，以长为半径作弧，两弧在上方交于点D，连接，则的长为 ．
三、解答题（本题共7题，共52分）
17. （6分）（23-24九年级下·吉林白城·阶段练习）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，，，均为小正方形的顶点，仅用无刻度的直尺按要求画图，保留作图痕迹．
(1)在图①中，画出边上的中线．
(2)在图②中，画出边上的点，使得．
(3)在图③中，画出边上的高．
18. （6分）（2025·重庆·中考真题）学习了角平分线和尺规作图后，小红进行了拓展性研究，她发现了角平分线的另一种作法，并与她的同伴进行交流．现在你作为她的同伴，请根据她的想法与思路，完成以下作图和填空：
第一步：构造角平分线．
小红在的边上任取一点E，并过点E作了的垂线（如图）．请你利用尺规作图，在边上截取，过点F作的垂线与小红所作的垂线交于点P，作射线即为的平分线（不写作法，保留作图痕迹）．
第二步：利用三角形全等证明她的猜想．
证明：，，
．
在和中，
，
．
③ ．
平分．
19. （6分）（2024·广东广州·二模）如图，已知中，，，，，为边上的中线．
(1)求的长；
(2)求的面积．
20. （8分）如图，在△ABC中，∠ABC=40°，∠ACB=80°，AD是BC边上的高，AE平分∠BAC．
（1）求∠BAE的度数；
（2）求∠DAE的度数．
21. （8分）（2025·山东·中考真题）在中，，，的平分线交于点．如图1．
(1)求的度数；
(2)已知，分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，，作直线交于点，交的延长线于点F．如图2，求的长．
22. （8分）如图1，在△ABC中，CD，CE分别是△ABC的高和角平分线，∠BAC＝α，∠B＝β(α＞β)．
图1 图2 图3
(1)若∠BAC＝70°，∠B＝40°，求∠DCE的度数；
(2)若∠BAC＝α，∠B＝β(α＞β)，则∠DCE＝(用含α，β的代数式表示)；
(3)若将△ABC换成钝角三角形，如图2，其他条件不变，试用α，β的代数式表示∠DCE的度数并说明理由；
(4)如图3，若CE是△ABC外角∠ACF的平分线，交BA的延长线于点E.且α－β＝30°，则∠DCE＝75°．(直接写出结果)
23. （10分）如图：已知AB∥CD，∠ABE与∠CDE两个角的角平分线相交于F．
（1）如图1，若∠E=80°，求∠BFD的度数．
（2）如图2：若写出∠M和∠E之间的数量关系并证明你的结论．
（3）若设∠E＝m°,直接用含有n、m°的代数式写出∠M＝(不写过程)
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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