江苏省南京市中华中学2024-2025学年高二上学期期末数学试题
单选题(本大题共 8 小题，每小题 4 分，共 32 分)
1. 直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
2. 在等比数列中，且，则（ ）
A．16 B．8 C．4 D．2
3. 在平面直角坐标系中，双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B．
C． D．
4. 若函数 ，则 （ ）
A． B． C．1 D．3
5. 设函数在上可导，其导函数为，且函数在处取得极小值，则函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
6. 圆和圆的交点为，则有（ ）
A．公共弦所在直线方程为 B．公共弦的长为
C．线段中垂线方程为 D．
7. 已知是圆上的两个动点，且，若，则的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．
8. 已知数列满足，，记数列的前n项和为，若对于任意，不等式恒成立，则实数k的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
多选题(本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分)
9. 在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，直线l：y=x-2与抛物线C交于A，B两点，则（ ）
A．抛物线C的准线方程为
B．点F到直线l的距离为
C．∠AOB
D．
10. 已知函数，则下列说法正确的有（ ）
A．2是函数的极小值点 B．当时，函数取得最小值
C．当时，函数存在2个零点 D．若函数有1个零点，则或
11. 函数的所有极值点从小到大排列成数列，设是的前项和，则（ ）
A．数列为等差数列 B．
C．为函数的极大值点 D．
填空题(本大题共 3 小题，每小题 4 分，共 12 分)
12. 在平面直角坐标系中，若曲线（为常数）过点，且该曲线在点处的切线与直线平行，则______.
13. 设为等差数列的前项和，若公差，且，则当取最大值时，的值为______.
14. 已知椭圆的左焦点为，过作圆的一条切线交椭圆于、两点，若，则椭圆的离心率为______.
解答题(本大题共 5 小题，每小题 8 分，共 40 分)
15. 在平面直角坐标系中，点的坐标为，动点满足
(1)求动点的轨迹的方程
(2)若直线过点且与轨迹相切，求直线的方程
16. 已知数列的前n项和为，且满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)已知，求数列的前n项和为．
17. 设函数，.
(1)当（为自然对数的底数）时，求的极小值；
(2)若对任意，恒成立，求的取值范围.
18. 已知椭圆：()的离心率为，且过点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点且不垂直于轴的直线与椭圆相交于、两点，若点关于轴的对称点为，证明：直线与轴相交于定点.
19. 已知函数.
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）当时，证明: （其中e为自然对数的底数）.
