2024-2025 学年广东省肇庆六中高一（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列关于向量说法正确的是( )
A.零向量没有方向 B. 所有的单位向量都相等
C.若| | = 2，| | = 1，则| | ≤ 3 D.若| | = | |，则 = 或 =
2.已知角 的终边过点(2, 3)，则 2 =( )
A. 32 B.
3
2 C.
4
7 3 D.
4
7 3
3.在△ 中， = 30°， = 2， = 2 2，则角 的大小为( )
A. 45° B. 105°或 15° C. 15° D. 135°或 45°
4.函数 ( ) = | |的最小正周期为( )
A. 2 B. 3 2 C. D. 2
5.若向量 = ( ,2)， = (1,3)，且( )/ / ，则 =( )
A. 43 B.
4 C. 23 3 D.
2
3
6 1.如图所示，△ 中，点 是线段 的中点， 是线段 上的动点，若 = + 2
，则 + 的值
为( )
A. 1
B. 3
C. 5
D. 8
7.如图，从无人机 上测得正前方的峡谷的两岸 ， 的俯角分别为 75°，30°，若无人机的高度 是 15( 3 +
1)，则此时峡谷的宽度 是( )
A. 60 B. 60( 3 + 1) C. 30 D. 30( 3 + 1)
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8.在△ 中，角 + 11 + 10， ， 的对边分别是 ， ， ，且 + = 9， + = 9，则△ 的形状是( )
A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.不确定的
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.如图，在正六边形 中，下列说法正确的是( )
A. | + | = | |
B. | | + | | = | | | |
C. + =
D.向量 + 与向量 是平行向量
10.已知 ( ) = ( + )( > 0, > 0,0 < < 2 )的部分图象如图所示，则
( )
A. ( )的最小正周期为
B. ( ) 的图像可由 = 2 2 的图象向左平移6个单位得到
C. ( ) 5 的对称轴为 = 12 + ( ∈ )
D. ( ) 11 在区间[ 6 , 2 ]上的最大值为 3
11.对于△ ，有如下判断，其中错误的是( )
A.若 > ，则 >
B.若 = ，则△ 是等腰三角形
C.若 = 30°， = 4， = 3，则符合条件的△ 有两个
D.若sin2 + sin2 < sin2 ，则△ 是锐角三角形
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知 ∈ (0, 2 )， =
5
5 ，则 tan( +
4 )的值为 ．
13.已知向量 3 ， 的夹角为 4，| | = 2，|
| = 3，若 在 方向上的投影向量为 ，则 = ______．
14.在△ 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 = 3 ，∠ 的平分线交 于点 ，
且 = 3，则 + 3 的最小值为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知向量 = (1,2)， = (3, 2)．
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(1)求| |；
(2)已知| | = 10，且(2 + ) ⊥ ，求向量 与向量 的夹角．
16.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = 2 [cos( + 3 ) + ]．
(1)求 ( )的最小正周期；
(2)求 ( ) 在 ∈ [0, 2 ]上的最大值，并求此时的 值．
17.(本小题 15 分)
已知在△ 中， + = 2 ．
(1)求 的大小；
(2)若角 的角平分线交边 于点 ， = 7，△ 的周长为 15，求 的长．
18.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = ( + )( > 0, > 0, | | < 2 )的部分图象如图所示．
(1)求函数 ( )的解析式．
(2)将 ( ) 1 图象上各点纵坐标保持不变，横坐标伸长为原来的2倍，再将所得图象上各点向右平移6个单位长
度，得到 ( )的图象，求 ( )图像的对称中心及单调增区间．
19.(本小题 17 分)
△ = 1 在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ， ， = sin( + )， ≠ ．
(1)求△ 的外接圆半径；
(2)若△ 为锐角三角形，求△ 周长的取值范围．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.3
13. 23
14.4 + 2 3
15.解：(1) = (1,2)， = (3, 2)
所以 = ( 2,4)，
所以| | = 4 + 16 = 2 5；
(2)由题知， = (1,2)，| | = 10，(2 + ) ⊥ ，
所以| | = 5，(2 + ) = 0，
所以 2 + 2 = 0，
所以 2 × 5 × 10 × cos , + 10 = 0，
所以 cos < , >= 22 ，
因为< , >∈ [0, ]，
3
所以向量 与向量 的夹角为 4．
16.(1)因为 ( ) = 2 [cos( + 3 ) + ]
1 3
= 2 (2 2 + )
= 3 3sin2
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3 1 2
= 2 2 3 2
3 1 3
= 3( 2 2 + 2 2 ) 2
= 3sin(2 + 6 )
3
2 ，
( ) 2 所以 的最小正周期为 = 2 = ；
(2) ∈ [0, 2 ]时，2 +
6 ∈ [
, 7 ] 2 + 6 6 ，令 6 =
= 2，解得 6，
即 = 6时， ( )取得最大值为 3
3 = 32 2 ．
17.解：(1)因为 + = 2 ，
由正弦定理可得 + = 2 ，
即 sin( + ) = 2 ，
又 + + = ，则 sin( + ) = ，
所以 = 2 ，
又 ∈ (0, )，所以 > 0，
则有 = 12，又 ∈ (0, )，
所以 = 3；
(2)因为 = 7， + + = 15，所以 + = 8，
由余弦定理得 2 = 2 + 2 2 ，
即 49 = ( + )2 2 2 3，解得 = 5，
因为 为角 的角平分线，所以∠ = ∠ = 6，
由 △ + △ = △ ，
1 1 1 可得2 6 + 2 6 = 2 3，
整理得( + ) = 3 ，
则 = 3 + =
5 3
8 ．
18. 2 1 2 解：(1)由图形可知 = 1， 3 6 = 2 = 2 × ，得 = 2，
由题意可得 sin(2 × 6 + ) = 1，即3 + = 2 + 2 ( ∈ )，
所以 = 6 + 2 ( ∈ )，
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因为| | < 2，
所以 = 6，
可得函数 ( )的解析式 ( ) = sin(2 + 6 )；
(2)将 ( ) 1图象上各点纵坐标保持不变，横坐标伸长为原来的2倍，
得到 = sin(4 + 6 )的图象，再将所得图象上各点向右平移6个单位长度，
得到 ( ) = sin(4( ) + 6 6 )的图象，
( ) = sin(4 可得 2 ) = 4 ，
由 4 = 2 + ( ∈ )
，得 = 8 + 4 ( ∈ )，
所以 ( ) 的对称中心为( 8 + 4 , 0)( ∈ )，
令 2 ≤ 4 ≤ 2 + ，得 2 ≤ ≤
+ 4 2 ( ∈ )，
所以 ( )的单调递增区间为[ 2 , 4 + 2 ]( ∈ )．
19.解：(1) = 1 因为 ， = sin( + )， ≠ ，
可得 = ，
由正弦定理可得 2 2 = ( ) = 2，
即 2 + 2 2 = ，
由余弦定理可得： 2 + 2 2 = 2 ，
1
可得 = 2，而 ∈ (0, )，
可得 = 3，
3
所以 = 2 ，
设△ 的外接圆的半径为 ，
由正弦定理可得 = 2 ，即 =
1 = 3，
2 3 32
3
所以△ 的外接圆的半径为 3 ；
(2) 1 2由正弦定理可得 = = = 3 = 3，
2
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2 2
所以 = 3 ， = 3 ，
所以△ 2的周长为 + + = 3 ( + ) + 1
= 23 [ + sin(
3 + )] + 1
= 2 3 ( + sin 3 + cos 3 ) + 1
= 2 ( 33 2 +
3
2 ) + 1
= 2 ( + 6 ) + 1，
∈ (0, 2 )
在锐角△ 中， 2 ，可得 ∈ ( , )， = 3 ∈ (0,
6 2
2 )
+ ∈ ( , 2 可得 6 3 3 )，
所以 sin( + 6 ) ∈ (
3
2 , 1]，
所以 + + ∈ ( 3 + 1,3]．
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