广东省清远市连州中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题
一、单选题(本大题共 8 小题，每小题 4 分，共 32 分)
1. 已知向量，若，则（ ）
A．2 B． C．-2 D．
2. 设集合，则（ ）
A． B． C． D．
3. 如图中的直线，，的斜率分别为，，，则（ ）
A． B． C． D．
4. 已知空间直角坐标系中，点关于坐标原点的对称点为，则（ ）
A． B． C． D．
5. 已知直线，则下列结论正确的是（ ）
A．直线的倾斜角是钝角 B．的一个方向向量为
C．点到直线的距离为 D．与直线垂直
6. 棱长为的正方体的顶点都在球面上，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
7. 直线：与直线：的距离是（ ）
A． B． C． D．
8. 已知三棱锥平面，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题(本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分)
9. 对于直线，下列选项正确的是（ ）
A．直线l恒过点
B．当时，直线l在y轴上的截距为3
C．若直线l不经过第二象限，则
D．坐标原点到直线l的距离的最大值为
10. 在空间直角坐标系中，已知，则以下正确的是（ ）
A． B．夹角的余弦值为
C．A，B，C，D共面 D．点O到直线的距离是
11. 如图，在棱长为2的正方体中，，分别是棱，的中点，点在上，点在上，且，点在线段上运动，下列说法正确的有（ ）
A．当点是中点时，直线平面；
B．直线到平面的距离是；
C．存在点，使得；
D．面积的最小值是
三、填空题(本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分)
12. 若，则________．
13. 已知一组数据1，2，0，，x，1的平均数是1，则这组数据的中位数为______.
14. 已知点P在直线上，点，则的最小值为________
四、解答题(本大题共 5 小题，每小题 7 分，共 35 分)
15. 已知直线．
(1)求经过点且与直线垂直的直线方程；
(2)求经过直线与的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程．
16. 我国发射的天宫一号飞行器需要建造隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本是6万元，天宫一号每年的能源消耗费用（万元）与隔热层厚度（厘米）满足关系式：，若无隔热层，则每年能源消耗费用为5万元，设为隔热层建造费用与使用20年的能源消耗费用之和.
(1)求值和的表达式；
(2)当隔热层修建多少厘米厚时，最小？请说明理由并求出的最小值.
17. 已知，其中向量，
(1)求的最小正周期以及其在的单调增区间；
(2)在中，角的对边分别为，若，求角的值．
18. 甲、乙二人进行一次围棋比赛，采用5局3胜制，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，同时比赛结束．假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立．已知前2局中，甲、乙各胜1局．
(1)求再赛2局结束这次比赛的概率；
(2)求甲获得这次比赛胜利的概率．
19. 如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，侧棱底面，垂直于和，，．是棱的中点．
（1）求证：面；
（2）求二面角的正弦值；
（3）在线段上是否存在一点使得与平面所成角的正弦值为若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由.
广东省清远市连州中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题
整体难度：适中
考试范围：平面向量、集合与常用逻辑用语、等式与不等式、平面解析几何、空间向量与立体几何、三角函数与解三角形、复数、计数原理与概率统计、函数与导数
试卷题型
题型 数量
单选题 8
多选题 3
填空题 3
解答题 5
试卷难度
难度 题数
容易 5
较易 6
适中 6
较难 2
细目表分析
题号 难度系数 详细知识点
一、单选题
1 0.94 由向量共线（平行）求参数
2 0.85 并集的概念及运算；解不含参数的一元二次不等式
3 0.94 直线的倾斜角；斜率与倾斜角的变化关系
4 0.85 求空间中两点间的距离；关于坐标轴、坐标平面、原点对称的点的坐标
5 0.94 直线的倾斜角；求点到直线的距离；已知直线垂直求参数
6 0.94 球的表面积的有关计算；多面体与球体内切外接问题
7 0.85 求平行线间的距离
8 0.85 余弦定理解三角形；求异面直线所成的角
二、多选题
9 0.65 直线过定点问题；用两点间的距离公式求函数最值；直线截距式方程及辨析；求平面两点间的距离
10 0.65 异面直线夹角的向量求法；求点到直线的距离；空间向量的坐标运算
11 0.4 证明线面平行；求直线与平面的距离；求空间中两点间的距离；空间位置关系的向量证明
三、填空题
12 0.65 共轭复数的概念及计算；复数的除法运算
13 0.94 计算几个数的中位数；计算几个数的平均数
14 0.85 求点关于直线的对称点
四、解答题
15 0.85 直线的点斜式方程及辨析；直线截距式方程及辨析；由两条直线垂直求方程；求直线交点坐标
16 0.65 基本不等式求和的最小值；分式型函数模型的应用
17 0.65 正弦定理边角互化的应用；求sinx型三角函数的单调性；求正弦（型）函数的最小正周期；数量积的坐标表示
18 0.65 利用互斥事件的概率公式求概率；独立事件的实际应用；独立事件的乘法公式
19 0.4 空间位置关系的向量证明；已知线面角求其他量；面面角的向量求法
知识点分析
序号 知识点 对应题号
1 平面向量 1,17
2 集合与常用逻辑用语 2
3 等式与不等式 2,16
4 平面解析几何 3,5,7,9,10,14,15
5 空间向量与立体几何 4,6,8,10,11,19
6 三角函数与解三角形 8,17
7 复数 12
8 计数原理与概率统计 13,18
9 函数与导数 16
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
第9题：
第10题：
第11题：
第12题：
第13题：
第14题：
第15题：
第16题：
第17题：
第18题：
第19题：
