相交线和平行线 单元同步测试卷
（时间：120分钟 满分：120分）
一、单选题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分）
1．如图，下列条件中，能判定的是（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，下列推理不正确的是（ ）
A．∵，∴ B．∵，∴
C．∵，∴ D．∵，∴
3．世界上最早记载潜望镜原理的古书，是公元前二世纪中国的《淮南万毕术》．书中记载了这样的一段话：“取大镜高悬，置水盘于其下，则见四邻矣”．现代潜艇潜望镜是在20世纪初发明的．如图是潜望镜工作原理的示意图，那么它所应用的数学原理是（ ）
A．内错角相等，两直线平行 B．同旁内角互补，两直线平行
C．对顶角相等 D．两点确定一条直线
4．把一副三角尺按如图所示的方式摆放，使 FD∥BC.若点 E 恰好落在 CB的延长线上，则∠BDE的度数为（ ）
A．10° B．15° C．25° D．30°
5．如图，AB⊥直线l，BC⊥直线l，B为垂足，那么A，B，C三点在同一条直线上，其理由是（ ）
A．两点之间，线段最短
B．垂线段最短
C．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D．平行于同一条直线的两直线平行
6．如图，DH∥EG∥BC，EF∥CD，则图中与∠1(不包括∠1)一定相等的角有（ ）个
A．3 B．4 C．5 D．6
7．如图，为判断一段纸带的两边a，b是否平行，小明在纸带两边a，b上分别取点A，B，并连接AB．下列条件中，能得到的是（ ）
A． B．
C． D．
8．如图所示，l1∥l2，∠1＝105°，∠2＝140°，则∠3的度数为( )
A．55° B．60° C．65° D．70°
9．如图，直线与平行，将等腰直角三角板的直角顶点放在直线上，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，已知AB∥CD， ， ．则 与 之间满足的数量关系是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．将一块三角板ABC（∠BAC=90°，∠ABC=30°）按如图方式放置，使A，B两点分别落在直线m，n上，对于给出的五个条件：①∠1=25.5°，∠2=55°；②∠1+∠2=90°；③∠2=2∠1；④∠ACB=∠1+∠3；⑤∠ABC=∠2-∠1．能判断直线mn的有 ．（填序号）
12．如图，有一个含有30°角的直角三角板，一顶点放在直尺的一条边上，若∠2＝65°，则∠1的度数是 ．
13．一张对边互相平行的纸条折成如图，是折痕，若，则：①；②；③；④．以上结论正确的有 (填序号)
14．如图，直线a∥b，将三角尺的直角顶点放在直线b上，∠1＝35°，则∠2＝ ．
15．如图是一款长臂折叠护眼灯示意图，与桌面垂直，当发光的灯管恰好与桌面平行时，，，则的度数为
16．如图，已知的面积为25，，在直线上有一动点P，连接点C、P，则线段的最小值为： ．
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，D、E、F分别在△ABC的三条边上，DE∥AB，∠1+∠2=180°.
（1）试说明：DF∥AC；
（2）若∠1=110°，DF平分∠BDE，求∠C的度数.
18．如图，在∠AOB内部有点P，
（1）按要求作图：①画线段AP；②过点P作直线PM⊥OA于点M；
（2）比较线段PA和PM的长，PA PM（填“>”、“=”或“<”）
19．
（1）如图①，已知直线l1∥l2，且l3和l1，l2分别交于A，B两点，点P在线段AB上，则∠1，∠2，∠3之间的等量关系是 ；
（2）如图②，点A在B处北偏东40°方向，在C处北偏西45°方向，则∠BAC＝ °.
（3）如图③，∠ABD和∠BDC的平分线交于点E，BE交AB于点F，∠1＋∠2＝90°，试说明：AB∥CD，并探究∠2与∠3的数量关系．
20．如图，∠A＝90°，BD平分∠ABC，交AC于点D，DE⊥BC于点E，DF∥AB交BC于点F．
（1）依题意补全图形；
（2）设∠C＝α，
①求∠ABD（用含α的式子表示）；
②猜想∠BDF与∠DFC的数量关系，并证明．
21．已知：如图，.
（1）求证：
（2）若，求的度数.
22．如图，已知AB∥EF∥CD，BC∥DE∥FG.
（1）探索 B与 E、 B与 F分别有怎样的数量关系？并说明理由；
（2）根据已知条件，观察 B的两边与 E、 F的两边的位置关系，再结合（1）的探究，你能发现什么结论，请把你发现的结论用文字表述出来.
23．已知，在三角形ABC中，AD⊥BC于D，F是AB上一点，FE⊥BC于E，∠ADG＝∠BFE
（1）如图1，求证：DG∥AB
（2）如图2，若∠BAC＝90°，请直接写出图中与∠CAD互余的角，不需要证明.
24．已知，点在点的右侧，，的平分线交于点，．
（1）如图1，当点在点的左侧时，
①求的度数；
②若，求的度数；
（2）如图2，将线段沿方向平移，使得点在点的右侧，其它条件不变，若，求：的度数（用含的式子表示）．
25．阅读下面内容，并解答问题
在学行线的性质后，老师请学们证明命题：两条平行线被第三条直线所截，一组同旁内角的平分线互相垂直．小颖根据命题画出图形并写出如下的已知条件．
已知：如图1，，直线分别交，于点E，F，的平分线与的平分线交于点G．
（1）直线，有何关系？请补充结论：求证：“ ▲ ”，并写出证明过程；
（2）请从下列A、B两题中任选一题作答，我选择 ▲ 题，并写出解答过程．
A．在图1的基础上，分别作的平分线与的平分线交于点M，得到图2，求的度数．
B．如图3，，直线分别交，于点E，F．点O在直线，之间，且在直线 右侧，的平分线与的平分线交于点P，请猜想与满足的数量关系，并证明它．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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相交线和平行线 单元同步测试卷
（时间：120分钟 满分：120分）
一、单选题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分）
1．如图，下列条件中，能判定的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
2．如图，下列推理不正确的是（ ）
A．∵，∴ B．∵，∴
C．∵，∴ D．∵，∴
【答案】B
【解析】【解答】解：A、∵AB∥CD，∴∠ABC+∠C=180°（二直线平行，同旁内角互补），故此选项的推理正确，不符合题意；
B、∵∠1=∠2，∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行），故此选项的推理错误，符合题意；
C、∵AB∥CD，∴∠3=∠4（二直线平行，内错角相等），故此选项的推理正确，不符合题意；
D、∵∠A+∠ADC=180°，∴AB∥CD，（同旁内角互补，二直线平行），故此选项的推理正确，不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据二直线平行，同旁内角互补，可判断A选项；根据二直线平行，内错角相等，可判断C选项；根据内错角相等，两直线平行，可判断B选项；根据同旁内角互补，二直线平行，可判断D选项.
3．世界上最早记载潜望镜原理的古书，是公元前二世纪中国的《淮南万毕术》．书中记载了这样的一段话：“取大镜高悬，置水盘于其下，则见四邻矣”．现代潜艇潜望镜是在20世纪初发明的．如图是潜望镜工作原理的示意图，那么它所应用的数学原理是（ ）
A．内错角相等，两直线平行 B．同旁内角互补，两直线平行
C．对顶角相等 D．两点确定一条直线
【答案】A
【解析】【解答】解：∵∠1=∠2，
∴a//b（内错角相等，两直线平行）.
故答案为：A．
【分析】根据内错角相等，两直线平行进行求解．
4．把一副三角尺按如图所示的方式摆放，使 FD∥BC.若点 E 恰好落在 CB的延长线上，则∠BDE的度数为（ ）
A．10° B．15° C．25° D．30°
【答案】B
【解析】【解答】解：∵FD∥BC，
∴∠FDB=∠ABC=60°，
又∵∠FDE=45°，
∴∠BDE=60°-45°=15°，
故答案为：B.
【分析】根据两直线平行，内错角相等可得∠FDB=∠ABC=60°；即可求解.
5．如图，AB⊥直线l，BC⊥直线l，B为垂足，那么A，B，C三点在同一条直线上，其理由是（ ）
A．两点之间，线段最短
B．垂线段最短
C．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D．平行于同一条直线的两直线平行
【答案】C
【解析】【解答】解：∵AB⊥l，BC⊥l，B为垂足，
∴A、B、C三点在同一直线上，
理由是：在同一平面内，根据经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，
故答案为：C．
【分析】依据在同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直可知。
6．如图，DH∥EG∥BC，EF∥CD，则图中与∠1(不包括∠1)一定相等的角有（ ）个
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【解析】【解答】解：如图，
∵EG∥BC，
∴∠1=∠2，
∵DC∥EF，
∴∠1=∠3，∠2=∠4，∠2=∠5，
∴∠1=∠2=∠3=∠4=∠5．
∵DH∥EG，
∴∠6=∠5，
∴∠1=∠2=∠3=∠4=∠5=∠6．
∴与∠1相等的角（不包括∠1）的个数为5；
故答案为：C．
【分析】利用两直线平行同位角相等和内错角相等找出与∠EFB相等的角，再计算个数．
7．如图，为判断一段纸带的两边a，b是否平行，小明在纸带两边a，b上分别取点A，B，并连接AB．下列条件中，能得到的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：∵∠2+∠4=180°，
∴a∥b.
故答案为：D.
【分析】同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行.
8．如图所示，l1∥l2，∠1＝105°，∠2＝140°，则∠3的度数为( )
A．55° B．60° C．65° D．70°
【答案】C
9．如图，直线与平行，将等腰直角三角板的直角顶点放在直线上，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：如图，过点作，
∵直线，，
∴，
∴，
∵等腰直角三角板的直角顶点放在直线上，
∴，
∴，
∴．
故答案为：B．
【分析】过点作，根据平行线的性质可得，再利用角的运算求出，即可得到。
10．如图，已知AB∥CD， ， ．则 与 之间满足的数量关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：如下图所示，作NE∥AB，MF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥MF∥EN
得 ， ， ， ；
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴
故答案为：B.
【分析】过点M和点N分别作NE∥AB，MF∥AB，根据平行于同一直线的两条直线互相平行，可得AB∥CD∥MF∥EN，根据平行线的性质可得∠BMF=∠ABM，∠FMD=∠CDM，∠BNE=180°-(∠ABM+∠NBM)，∠END=180°-(∠CDM+∠MDN)，则∠BMD=∠ABM+∠CDM，∠BND=360°(∠ABM+∠CDM+∠MBN+∠MDN)，结合已知条件可得∠BND=360°-(∠ABM+∠CDM)，化简即可.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．将一块三角板ABC（∠BAC=90°，∠ABC=30°）按如图方式放置，使A，B两点分别落在直线m，n上，对于给出的五个条件：①∠1=25.5°，∠2=55°；②∠1+∠2=90°；③∠2=2∠1；④∠ACB=∠1+∠3；⑤∠ABC=∠2-∠1．能判断直线mn的有 ．（填序号）
【答案】①④⑤
12．如图，有一个含有30°角的直角三角板，一顶点放在直尺的一条边上，若∠2＝65°，则∠1的度数是 ．
【答案】25°
【解析】【解答】解：如图，延长EF交BC于点G，
∵直尺，
∴AD∥BC，
∴∠2＝∠3＝65°，
又∵30°角的直角三角板，
∴∠1＝90°﹣65°＝25°．
故答案为：25°．
【分析】如图，延长EF交BC于点G，根据AD∥BC，得出∠2＝∠3＝65°，因为30°角的直角三角板，即可得出∠1的度数。
13．一张对边互相平行的纸条折成如图，是折痕，若，则：①；②；③；④．以上结论正确的有 (填序号)
【答案】①③④
14．如图，直线a∥b，将三角尺的直角顶点放在直线b上，∠1＝35°，则∠2＝ ．
【答案】55°
【解析】【解答】解：如图，∵∠1＝35°，
∴∠3＝180°﹣35°﹣90°＝55°，
∵a∥b，
∴∠2＝∠3＝55°．
故答案为：55°．
【分析】根据平角的性质求出∠3＝180°﹣35°﹣90°＝55°，再根据平行线的性质可以得到∠2＝∠3＝55°．
15．如图是一款长臂折叠护眼灯示意图，与桌面垂直，当发光的灯管恰好与桌面平行时，，，则的度数为
【答案】
【解析】【解答】解：如图，分别过点D、E作的平行线，
∵，，
∴，
∴，，
∴，；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
故答案为：．
【分析】分别过点D、E作的平行线，即可得到，然后根据平行线的的性质解题即可．
16．如图，已知的面积为25，，在直线上有一动点P，连接点C、P，则线段的最小值为： ．
【答案】5
【解析】【解答】解：当CP⊥AB时，CP的值最小，
此时S△ABC＝AB·CP，
∵△ABC的面积为25，AB＝10，
∴×10·CP＝25，
∴CP＝5，
即线段的最小值为5，
故答案为：5.
【分析】根据垂线段最短，可得当CP⊥AB时线段CP的值最小，再利用三角形的面积公式求出CP的值即可。
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，D、E、F分别在△ABC的三条边上，DE∥AB，∠1+∠2=180°.
（1）试说明：DF∥AC；
（2）若∠1=110°，DF平分∠BDE，求∠C的度数.
【答案】（1）解：∵DE∥AB，∴∠A=∠2，
∵∠1+∠2=180°，∴∠A+∠1=180°，∴DF∥AC
（2）解：∵∠1=110°，
∴∠2=70°，
∵AC∥DF，∴∠FDE=∠2=70°，
∵DF平分∠BDE，
∴∠BDF=70°，∴∠C=∠BDF=70°.
【解析】【分析】（1）根据平行线的性质和等量代换即可证明；（2）先求出∠EDF=∠2=70°，再根据角平分线和平行线的性质即可得出∠C的度数.
18．如图，在∠AOB内部有点P，
（1）按要求作图：①画线段AP；②过点P作直线PM⊥OA于点M；
（2）比较线段PA和PM的长，PA PM（填“>”、“=”或“<”）
【答案】（1）解：如图，①连接AP，线段AP即为所求；
②过点P作直线PM⊥OA于点M，直线PM即为所求；
（2）＞
【解析】【解答】解：（2）根据垂线段最短可得：PA>PM，
故答案为：>．
【分析】（1）根据线段和垂线的定义即可按要求作图；
（2）根据垂线段最短即可比较线段PA和PM的长.
19．
（1）如图①，已知直线l1∥l2，且l3和l1，l2分别交于A，B两点，点P在线段AB上，则∠1，∠2，∠3之间的等量关系是 ；
（2）如图②，点A在B处北偏东40°方向，在C处北偏西45°方向，则∠BAC＝ °.
（3）如图③，∠ABD和∠BDC的平分线交于点E，BE交AB于点F，∠1＋∠2＝90°，试说明：AB∥CD，并探究∠2与∠3的数量关系．
【答案】（1）∠1＋∠2＝∠3
（2）85°
（3）证明：∵BE，DE分别平分∠ABD，∠BDC，
∴∠1＝∠ABD，∠2＝∠BDC.
∵∠1＋∠2＝90°，
∴∠ABD＋∠BDC＝180°，
∴AB∥AB.
∵DE平分∠BDC，
∴∠2＝∠FDE.
∵∠1＋∠2＝90°，
∴∠BED＝∠DAB＝90°，
∴∠3＋∠FDE＝90°，
∴∠2＋∠3＝90°.
【解析】【解答】（1）如答图，作PM∥AC，
∵AC∥BD，
∴PM∥BD，
∴∠1＝∠CPM，∠2＝∠MPD，
∴∠1＋∠2＝∠CPM＋∠MPD＝∠CPD＝∠3.
（2）由题可知∠BAC＝∠B＋∠C.
∵∠B＝40°，∠C＝45°，
∴∠BAC＝40°＋45°＝85°.
【分析】（1）先求出PM∥BD，再求出∠1＝∠CPM，∠2＝∠MPD，最后求解即可；
（2）先求出∠BAC＝∠B＋∠C，再求解即可；
（3）根据角平分线的定义求出 ∠1＝∠ABD，∠2＝∠BDC，再求出∠ABD＋∠BDC＝180°， 最后求解即可。
20．如图，∠A＝90°，BD平分∠ABC，交AC于点D，DE⊥BC于点E，DF∥AB交BC于点F．
（1）依题意补全图形；
（2）设∠C＝α，
①求∠ABD（用含α的式子表示）；
②猜想∠BDF与∠DFC的数量关系，并证明．
【答案】（1）解：如图：
（2）解：①45° α
②∠DFC＝2∠BDF，
证明：∵DF∥AB，
∴∠DFC＝∠ABC．
∠ABD＝∠BDF．
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠ABD．
∴∠DFC＝2∠BDF．
【解析】【解答】解：（2）①∵∠A＝90°，
∴∠ABC＝90° ∠C＝90° α，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝ ∠ABC＝ （90° α）＝45° α，
故答案为45° α；
【分析】（1）过D画DE⊥BC，DF∥AB即可；（2）①根据余角的定义和角平分线的定义可得；②根据角平分线定义可得∠ABC＝2∠ABD，再根据DE∥AB可得∠DFC＝∠ABC，∠ABD＝∠BDF，可得∠DFC＝2∠BDF．
21．已知：如图，.
（1）求证：
（2）若，求的度数.
【答案】（1）证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，，
∵，
∴，
又∵
∴
解得，
∴．
【解析】【分析】（1）由同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行得ED∥AF，由二直线平行，同旁内角互补得∠1+∠EDF=180°，结合∠1=∠E可得∠E+∠EDF=180°，然后由同旁内角互补，两直线平行得EB∥CD；
（2）由平行线的性质得∠C+∠EBC=180°，∠2=∠BDC，由已知得∠CBE=∠2+80°，∠C=∠2+50°，从而代入求解即可.
22．如图，已知AB∥EF∥CD，BC∥DE∥FG.
（1）探索 B与 E、 B与 F分别有怎样的数量关系？并说明理由；
（2）根据已知条件，观察 B的两边与 E、 F的两边的位置关系，再结合（1）的探究，你能发现什么结论，请把你发现的结论用文字表述出来.
【答案】（1）解：∵AB∥EF∥CD，
∴∠B+∠C=180°，∠D+∠E=180°
∵BC∥DE∥FG
∴∠E+∠F=180°，∠D+∠C=180°
∴ B= F、 B+ E=180°
（2）解：由（1）可得：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补.
【解析】【分析】（1）利用平行线的性质可证得∠B+∠C=180°，∠D+∠E=180°∠E+∠F=180°，∠D+∠C=180°，利用同角的补角相等，可证得∠B=∠D=∠F，同时可证得∠B与∠E互补.
（2）观察图形，可得结论.
23．已知，在三角形ABC中，AD⊥BC于D，F是AB上一点，FE⊥BC于E，∠ADG＝∠BFE
（1）如图1，求证：DG∥AB
（2）如图2，若∠BAC＝90°，请直接写出图中与∠CAD互余的角，不需要证明.
【答案】（1）证明：∵AD⊥BC，FE⊥BC
∴∠DAB＝∠FEB＝90°
∴AD∥EF
∴∠BFE＝∠BAD
∵∠ADG＝∠BFE
∴∠BAD＝∠ADG
∴DG∥AB
（2）解：∠BAD，∠BFE，∠ADG，∠C
【解析】【分析】（1）根据∠DAB＝∠FEB＝90°，可得AD∥EF，所以∠BFE＝∠BAD，结合∠ADG＝∠BFE可得∠BAD＝∠ADG，因此DG∥AB；
（2）根据余角的定义求解即可。
24．已知，点在点的右侧，，的平分线交于点，．
（1）如图1，当点在点的左侧时，
①求的度数；
②若，求的度数；
（2）如图2，将线段沿方向平移，使得点在点的右侧，其它条件不变，若，求：的度数（用含的式子表示）．
【答案】（1）解：①∵平分，，
∴；
②如图，过点E作，
∵，
∴，
∴，
∵分别是的平分线，，
∴，
∵，
∴；
（2）解：如图，过点E作，
∵，
∴，
∴，
∵分别是的平分线，，
∴ ，
∴，
∴．
【解析】【分析】（1）①根据角平分线的定义直接得的度数；
②过点E作，根据平行公理的推论得，然后由两直线平行，内错角相等得，
接下来根据角平分线的定义求出，最后进行等量代换求的度数即可；
（2）过E作，根据平行公理的推论得，然后由平行线的性质即可得出，再根据角平分线的定义得 ，最后进行等量代换求的度数即可．
（1）解：①∵平分，，
∴；
②过点E作，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵分别是的平分线，
∴，
∵，
∴．
（2）解：，
理由：过点E作，
∵，
∴，
∴，
∵的平分线交于点E，
∴ ，
∴，
∴．
25．阅读下面内容，并解答问题
在学行线的性质后，老师请学们证明命题：两条平行线被第三条直线所截，一组同旁内角的平分线互相垂直．小颖根据命题画出图形并写出如下的已知条件．
已知：如图1，，直线分别交，于点E，F，的平分线与的平分线交于点G．
（1）直线，有何关系？请补充结论：求证：“ ▲ ”，并写出证明过程；
（2）请从下列A、B两题中任选一题作答，我选择 ▲ 题，并写出解答过程．
A．在图1的基础上，分别作的平分线与的平分线交于点M，得到图2，求的度数．
B．如图3，，直线分别交，于点E，F．点O在直线，之间，且在直线 右侧，的平分线与的平分线交于点P，请猜想与满足的数量关系，并证明它．
【答案】（1）解：EG⊥FG；证明过程如下
∵
∴∠BEF＋∠EFD=180°
平分，平分，
，，
．
在中，，
，
．
（2）解：A；由（1）可知，
∵的平分线与的平分线交于点
∴∠MEG=∠BEG，∠MFG=∠DFG
∴
则，
∴==
B；设，，
∴=，
∵
∴∠BEF＋∠EFD=180°
则
∵的平分线与的平分线交于点
∴，
∴，
∴==，
∵=，
故
（在A、B两题中任选一题即可）
【解析】【分析】（1）利用平行线的性质以及三角形的内角和定理解决问题即可；
（2）A、利用基本结论，则，可求出答案；B、利用基本结论，则，即可得出结论。
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