13.3 三角形的内角与外角
13.3.1 三角形的内角
第1课时 三角形的内角和定理
A组·基础达标 逐点击破
知识点1 三角形的内角和定理
1．［2023长沙模拟］在中，已知 ， ，则的形状为（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
2．已知，，为的三个内角.
（1） 若 ， ，则_ _ _ _ _ _ _ _ ;
（2） 若 ，，则_ _ _ _ _ _ ;
（3） 若，则这个三角形是_ _ 三角形.
知识点2 运用三角形的内角和定理进行计算
3．如图，在中，平分， ， ，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，墙上钉着三根木条，，，量得 ， ，则木条，所在直线所夹的锐角的度数是（ ）
A． B． C． D．
5．［2024长沙］如图，在中， ， ，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．写出下列图形中的值：
（1） ；
（2） .
7．［2023长沙模拟］如图，是的边上的高，平分交于点.若 ， ，求和的度数.
B组·能力提升 强化突破
8．一副直角三角板和按如图所示方式叠放在一起，其中点在斜边上，点在的延长线上， ， ， ，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
9．［2023徐州］如图，在中，若，， ， ，则 .
10．如图是可调节躺椅的示意图（数据如图），与的交点为，且，，的度数保持不变.为了舒适，需调整的大小，使 ，则图中应减少_ _ _ _ _ _ _ _ .
11．如图，在中，，.
（1） 求边的取值范围;
（2） 若， ， ，求的度数.
C组·核心素养拓展 素养渗透
12．【创新意识】［2024长沙模拟］在一个三角形中，如果一个内角是另一个内角的3倍，这样的三角形我们称之为“三倍角三角形”.例如，三个内角分别为 ， ， 的三角形是“三倍角三角形”.
（1） 在中， ， ，是“三倍角三角形”吗？为什么？
（2） 若是“三倍角三角形”，且 ，求中最小内角的度数.
13.3 三角形的内角与外角
13.3.1 三角形的内角
第1课时 三角形的内角和定理
A组·基础达标 逐点击破
知识点1 三角形的内角和定理
1．A
2．（1）
（2）
（3） 直角
知识点2 运用三角形的内角和定理进行计算
3．D 4．B 5．C
6．（1） 45
（2） 75
7．解:是的高，
.
又 ， ，
.
平分，
.
， ，
.
B组·能力提升 强化突破
8．C
9．55°
[解析]， ，
.
， ，
，
.
10．
11．（1） 解：，，
，
即.
（2） ， ，
.
又 ，
.
C组·核心素养拓展 素养渗透
12．（1） 解：是“三倍角三角形”.理由如下：
， ，
，
是“三倍角三角形”.
（2） ，
.
设最小的角为.
①当时， ；
②当 时， .
综上所述，中最小内角为 或 .第2课时 直角三角形的性质与判定
A组·基础达标 逐点击破
知识点1 直角三角形的两个锐角互余
1．［2024海南］设直角三角形中一个锐角为，另一个锐角为 ，则用含的代数式表示为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，已知，， ，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在中， ，过点作.若 ，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，， ， ，则的度数是_ _ _ _ _ _ .
5．如图，在中， ，平分，且，求的度数.
知识点2 有两个角互余的三角形是直角三角形
6．［2024长沙模拟］具备下列条件的中，不是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
7．在中，如果，那么是什么特殊的三角形？
易错点 因直角三角形中的直角不确定导致漏解
8．如图，已知 ，是射线上的一个动点.在点的运动过程中，恰好是直角三角形，则此时所有可能的度数为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
B组·能力提升 强化突破
9．［2024长沙模拟］将一副直角三角板按照如图方式摆放，点，，共线， ，则的度数为_ _ _ _ _ _ .
10．［2023株洲］《周礼·考工记》中记载有：“……半矩谓之宣，一宣有半谓之欘 ”意思是：“……直角的一半的角叫作宣，一宣半的角叫作欘……”即1宣矩，1欘宣（其中，1矩）.问题：图①为中国古代的一种强弩，图②为这种强弩的部分组件的示意图，若矩，欘，则_ _ _ _ _ _ _ _ .
11．如图，，均为直角三角形， , ,且 ， ，平分交于点.
（1） 求证：;
（2） 求的度数.
12．如图，，均垂直于，点，是垂足，C为BD上一点，且.求证：是直角三角形.
C组·核心素养拓展 素养渗透
13．【推理能力】［2024怀化模拟］定义：如果一个三角形的两个内角 与 满足 ，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”.
（1） 若是“准互余三角形”， ， ，则_ _ _ _ _ _ .
（2） 若是直角三角形， .
① 如图，若是的平分线，请你判断是不是“准互余三角形”？并说明理由.
② 是边上一点，是“准互余三角形”，若 ，则_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
第2课时 直角三角形的性质与判定
A组·基础达标 逐点击破
知识点1 直角三角形的两个锐角互余
1．D 2．A 3．C
4．
5．解:平分，
.
，，
,
.
.
知识点2 有两个角互余的三角形是直角三角形
6．D
7．解：设 ，则 ， .
根据题意，得 ,
解得，
， ， ,
是直角三角形.
易错点 因直角三角形中的直角不确定导致漏解
8． 或
B组·能力提升 强化突破
9．
10．
11．（1） 证明： ，且平分，
.
又 ，
，
.
（2） 解：由（1）知， .
在中， ，
.
12．证明：，，
，
，
.
，
，
，
，
是直角三角形.
C组·核心素养拓展 素养渗透
13．（1）
（2） ① 解：是“准互余三角形”.
理由如下：是的平分线，
.
，
，
，
是“准互余三角形”.
② 或
[解析]由题意可得 .
是“准互余三角形”，
分两种情况：
当 时， ，
,
,
；
当 时， ，
,
,
，
或 .
