第3课时 三角形全等的判定
A组·基础达标 逐点击破
知识点1 利用“”证明三角形全等
1．在和中，如果，，，那么（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，下列三角形中，与全等的图形是_ _ （填序号）.
3．如图，，，根据“”可判定_ _ _ _ _ _ _ _ 和_ _ _ _ _ _ _ _ .
4．［2024德州]如图，是的中点，且，请添加一个条件_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ，使得.
5．如图，在中，，是边上的中线.求证：.
知识点2 利用尺规作图：已知三角形的三边，作一个三角形
6．［2024贵州]如图，在中，以点为圆心，线段的长为半径画弧，交于点，连接.若，则的长为_ _ .
7．如图，以的顶点为圆心，以的长为半径作弧;再以顶点为圆心，以的长为半径作弧，两弧交于点;连接，.若 ，则的度数为_ _ _ _ _ _ .
8．如图，已知，求作，使（尺规作图，保留作图痕迹）.
B组·能力提升 强化突破
9．如图，，，， ， ，则下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．
10．如图，已知线段,用尺规作出，使,.
作法：（1）作一条线段_ _ _ _ ;
（2）分别以点_ _ _ _ 、_ _ _ _ 为圆心，以_ _ _ _ _ _ 的长为半径画弧，两弧交于点;
（3）连接，，则就是所求作的三角形.
11．如图，已知，，.
（1） 图中有几对全等三角形？请分别写出来.
（2） 请选择一对全等三角形进行证明．
12．如图，点，，，在同一条直线上，，，.
（1） 求证：;
（2） 若 ， ，求的度数.
C组·核心素养拓展 素养渗透
13．【几何直观、推理能力】[2024淄博]如图，已知，点，在线段上，且.
请从;;中，选择一个合适的选项作为已知条件，使得.
你添加的条件是：_ _ _ _ _ _ （只填写一个序号）.
添加条件后，请证明.
第3课时 三角形全等的判定
A组·基础达标 逐点击破
知识点1 利用“”证明三角形全等
1．D
2．③
3．；
4．（答案不唯一）
5．证明：是边上的中线，
.
在和中，
.
知识点2 利用尺规作图：已知三角形的三边，作一个三角形
6．5
7．
8．解：如答图，作法：
第8题答图
（1）画线段;
（2）分别以点，为圆心，线段，的长为半径画弧，两弧交于点;
（3）连接线段，即为所求作.
B组·能力提升 强化突破
9．C
10．； ； ；
11．（1） 解：一共有3对全等三角形:
，
，
.
（2） 证明：在和中，
．(答案不唯一)
12．（1） 证明：，
，即.
在和中，
.
（2） 解： 在中， ， ，
.
又，
.
C组·核心素养拓展 素养渗透
13．①（或②）
解：当选择①时，证明如下：
在和中，
，
.
，
，
即.
在和中，
，
，
.
当选择②时，证明如下：
在和中，
,
，，
同理可证，
，
.第4课时 尺规作角及其应用
A组·基础达标 逐点击破
知识点1 基本常用的尺规作图
1．在作一条线段等于已知线段的过程中，圆规的作用是（ ）
A．画圆 B．画圆弧
C．画直线 D．量取已知线段的长
2．[［2024沈阳模拟］]下列尺规作图的语句正确的是（ ）
A．延长射线到点
B．以点为圆心，任意长为半径画弧
C．作直线
D．延长线段至点，使
3．[2024北京]下面是“作一个角使其等于”的尺规作图方法.
（1）如图，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，; （2）作射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点;以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点; （3）过点作射线，则.
上述方法通过判定得到，其中判定的依据是（ ）
A． B． C． D．
知识点2 利用基本的尺规作图作平行线
4．[2024本溪模拟]如图，已知与射线上的点，小亮用尺规过点作的平行线，步骤如下:
①取射线上的点，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点;
②以点为圆心，的长为半径画弧，交于点;
③以点为圆心，的长为半径画弧，在射线下方交第②步中所画的弧于点，直线即为所求作.
小亮作图的依据是（ ）
A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行
C．同旁内角互补，两直线平行 D．以上结论都不正确
5．已知及射线上的点（如图），请用尺规过点作的平行线，不写作法，保留作图痕迹.
知识点3 利用基本的尺规作图作三角形
6．用尺规作图，下列条件能作出唯一的三角形的有（ ）
①已知两锐角;②已知两边及夹角;③已知三边;④已知两角及一边.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．如图，已知线段,, ，求作，使得,, .
（1） 合理的作法顺序为_ _ ;
①在射线上截取线段,在射线上截取线段;
②连接，则就是所求作的三角形;
③作 .
（2） 请用尺规作图作出（不写作法，保留作图痕迹）.
B组·能力提升 强化突破
8．尺规作图：已知三角形的两角及其夹边，求作这个三角形.
已知：如图， ， ，线段.
求作：，使得 ， ，.
9．[2024东阳模拟]如图①，在中，过点作，且，小聪与小慧尝试用尺规作图法作，为边上一点.
小聪：如图②，以点 为圆心，的长为半径作弧，交 于点，连接，则.
小慧：以点 为圆心，的长为半径作弧，交 于点，连接，则.
小聪：“小慧，你的作法有问题.”
小慧：“哦……我明白了!”
（1） 如图②,求证：;
（2） 指出小慧作法中存在的问题.
C组·核心素养拓展 素养渗透
10．【模型观念】下面是小明设计的“已知两线段及一角作三角形”的尺规作图过程.
已知：线段,及.
求作：，使得线段,及分别是它的两边和一角.
作法：
①以点为圆心，的长为半径画弧，分别交的两边于点，;
②画一条射线，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点;
③以点为圆心，的长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点;
④画射线;
⑤以点为圆心，的长为半径画弧，交于点;
⑥连接，则即为所求作的三角形.
请回答：
（1） 步骤③得到两条线段相等，即_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ;
（2） 的作图依据是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ;
（3） 小红说小明的作图不全面，原因是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
第4课时 尺规作角及其应用
A组·基础达标 逐点击破
知识点1 基本常用的尺规作图
1．D 2．B 3．A
知识点2 利用基本的尺规作图作平行线
4．B
5．解：如答图所示,即为所求作.
第5题答图
知识点3 利用基本的尺规作图作三角形
6．C
7．（1） ③①②
（2） 解：如答图，即为所求作.
第7题答图
B组·能力提升 强化突破
8．解：如答图，①作射线;②在射线上截取,作 ， ，射线交射线于点，则即为所求作.
第8题答图
9．（1） 证明：，
.
在和中，
.
（2） 解：小慧作法中存在的问题是：以点为圆心，的长为半径作弧，交于点，这个点不唯一，三角形不一定全等.
C组·核心素养拓展 素养渗透
10．（1） ；
（2） 三边对应相等的两个三角形全等，全等三角形的对应角相等
（3） 小明没有对已知中的边和角的位置关系分类讨论第2课时 三角形全等的判定
A组·基础达标 逐点击破
知识点1 利用“”判定三角形全等
1．下列所给条件中，能画出唯一的的是（ ）
A． ，
B． ， ，
C． ，
D．，，
2．［2024北京模拟］如图，某人将一块三角形玻璃打碎成两块，带_ _ （填序号）块能到玻璃店配一块完全一样的玻璃．
3．如图,已知,, ,则的面积是_ _ .
4．如图，点在上，点在上，，.求证：.
知识点2 利用“”判定三角形全等
5．［2023凉山州］如图，点,在上，，，添加一个条件，不能证明的是（ ）
A． B．
C． D．
6．[2024牡丹江]如图，在中，是上一点，，，，三点共线，请添加一个条件_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ，使得.（只添一种情况即可）
7．如图，已知点，，，在同一直线上，，，.求证：.
B组·能力提升 强化突破
8．[2024昆明模拟]如图，要测量河两岸相对的两点，的距离，可在河的一侧取的垂线上两点，，使，再画出的垂线，使点在的延长线上.若,,,则，两点的距离是（ ）
A． B． C． D．
9．[2024长沙模拟]如图，点，，，在一条直线上，，，.求证：.
10．如图，在和中，，，.求证：.
11．[2024镇江]如图， ，.
（1） 求证：;
（2） 若 ，则_ _ _ _ _ _° .
C组·核心素养拓展 素养渗透
12．【推理能力】在中， ，，过点作直线，于点，于点.
（1） 若直线在外（如图①），求证：;
（2） 若直线与线段相交（如图②），且2.6， =1.1，则_ _ .
第2课时 三角形全等的判定
A组·基础达标 逐点击破
知识点1 利用“”判定三角形全等
1．B
2．②
3．6
4．证明：在和中，
，
.
知识点2 利用“”判定三角形全等
5．D
[解析]，，即， 当时，利用“”可得，故不符合题意;当时，利用“”可得，故不符合题意;当时，利用“”可得，故不符合题意;当时，无法证明，故符合题意.故选.
6．或（答案不唯一）
7．证明：，
.
在和中，
,
.
,即.
B组·能力提升 强化突破
8．C
9．证明：，
.
，
，即，
.
在和中，
.
10．证明：，
，
即.
在和中，
，
.
11．（1） 证明：在和中，
.
（2）
C组·核心素养拓展 素养渗透
12．（1） 证明：，，
.
， ，
， ，
.
在和中，
，
，.
，
.
（2） 1.5第5课时 直角三角形全等的判定（HL）
A组·基础达标 逐点击破
知识点1 利用“HL”判定三角形全等
1．[2024杭州模拟]如图，，，垂足分别为，，要根据“”证明，应添加的条件是_ _ _ _ _ _ _ _ .
2．如图，在中，是的中点，，，垂足分别是，，且.求证：.
3．如图，，分别是的高，且.求证：.
知识点2 直角三角形全等判定方法的选用
4．如图，在和中，已知 ，添加一个条件，不能使得的是（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，和都是直角三角形， .
（1） 若，，则的依据是_ _ _ _ _ _ ;
（2） 若，，则的依据是_ _ _ _ _ _ ;
（3） 若，，则的依据是_ _ _ _ _ _ ;
（4） 若，，则的依据是_ _ _ _ _ _ ;
（5） 若，，则的依据是_ _ _ _ _ _ .
易错点 错用“HL”判定三角形全等
6．如图，于点，于点，且，.求证：.
小明的证明过程如下：
证明：在 和 中，
,
.
小明的证明过程正确吗？如果不正确，请说明错在哪里，并写出正确的证明过程.
B组·能力提升 强化突破
7．如图，在和中，点,,,在同一条直线上，点和点重合, ，.若添加一个条件后可使，添加的条件不可以是（ ）
A． B．
C． D．
8．［2024北京模拟]如图，在四边形中， ，是上的一点，且，连接,，.求证：.
9．如图，已知在中， ，，是上一点，点在的延长线上，且，的延长线与交于点.试通过观察、测量、猜想等方法来探索与有何特殊的位置关系，并证明你猜想的正确性.
C组·核心素养拓展 素养渗透
10．【推理能力】【知识再现】
学完《全等三角形》一章后，我们知道“斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简称“”定理）”是判定直角三角形全等的特有方法.
【简单应用】
（1） 如图①，在中， ，，点,分别在边，上.若，则线段和线段的数量关系是_ _ _ _ _ _ _ _ .
【拓展延伸】
（2） 如图②，在中，为钝角，，点，分别在边，上.若，则线段和线段相等吗？如果相等，请给出证明；如果不相等，请说明理由.
第5课时 直角三角形全等的判定（HL）
A组·基础达标 逐点击破
知识点1 利用“HL”判定三角形全等
1．
2．证明：，，
.
是的中点，
.
在和中，
.
3．证明：，分别是的高，
.
在和中，
.
知识点2 直角三角形全等判定方法的选用
4．D
5．（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
易错点 错用“HL”判定三角形全等
6．解:不正确，错用了“”.
证明：，，
.
在和中，
,
.
B组·能力提升 强化突破
7．C
8．证明： ，
和均为直角三角形.
在和中，
.
9．解：猜想：.
证明： ，
.
又，，
.
.
又 ，
，
，即.
C组·核心素养拓展 素养渗透
10．（1）
（2） 解：.证明如下：
如答图，过点作交的延长线于点，过点作交的延长线于点, .
第10题答图
，，
，
，.
，，，
，
.
，
，即.14.2 三角形全等的判定
第1课时 三角形全等的判定
A组·基础达标 逐点击破
知识点1 利用“”判定三角形全等
1．下图中全等的三角形有（ ）
A．①和② B．②和③ C．②和④ D．①和③
2．如图，在和中，，，能直接应用“”判定的条件是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，，， ， ，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，与相交于点，，，不添加辅助线，判定的依据是_ _ _ _ _ _ .
5．［2024西藏］如图，是线段的中点，，.求证：.
知识点2 利用“”判定三角形全等解决实际问题
6．如图，有一个池塘，要测量池塘两端，的距离，可先在平地上取一点，从点不经过池塘可以直接到达点和，连接并延长到点，使，连接并延长到点，使，连接，那么量出的长就是，之间的距离，为什么？请结合解题过程，完成本题的证明.
证明：在和中，
.
_ _ _ _ _ _ _ _ .
易错点 误用“”判定三角形全等
7．如图，平分，，则与相等吗？为什么？
解:相等.理由如下：
平分，
.
在 和 中，
.
.
以上解答是否正确？若不正确，请说明理由.
B组·能力提升 强化突破
8．［2024云南］如图，在和中，，，.求证：.
9．［2023宜宾］如图，，，.求证：.
10．如图，在中，是边上的中点，连接并延长到点，使，连接.
（1） 求证：;
（2） 若的面积为12，求的面积.
C组·核心素养拓展 素养渗透
11．【几何直观、推理能力】［2024遂宁改编］如图①，与满足，，，，我们称这样的两个三角形为“伪全等三角形”.如图②，在中，，,点，在线段上，且，则图中“伪全等三角形”共有（ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
14.2 三角形全等的判定
第1课时 三角形全等的判定
A组·基础达标 逐点击破
知识点1 利用“”判定三角形全等
1．D 2．A 3．C
4．
5．证明：是线段的中点，
.
在和中，
，
.
知识点2 利用“”判定三角形全等解决实际问题
6．CA ∠DCE=∠ACB CB
易错点 误用“”判定三角形全等
7．解:不正确.使用“”的前提条件：已知的对应元素（边或角）必须都是两个三角形中的元素（边或角），且其中一个三角形的两边及其夹角必须对应相等.本题错误的原因是列的条件和使用方法不对应，错用“”来证明两个三角形全等.
B组·能力提升 强化突破
8．证明：，
，
即.
在和中，
.
9．证明：，
，即.
，.
在和中，
，
.
10．（1） 证明：是的中点，.
在和中，
.
（2） 解：，
.
是的中点，
.
，,
.
C组·核心素养拓
拓展 素养渗透
11．D
