七年级（下）开学数学试卷
一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑.
1．（4分）在﹣3，﹣1，0，2这四个数中，最小的数是（ ）
A．﹣3 B．﹣1 C．0 D．2
2．（4分）某个几何体的展开图如图所示，该几何体是（ ）
A． B． C． D．
3．（4分）2022年10月16日党的第二十次代表大会在北京召开，二十大报告中提到国内生产总值增长到1140000亿元，那么1140000用科学记数法可表示为（ ）
A．1.14×104 B．114×104 C．11.4×105 D．1.14×106
4．（4分）对于单项式5πR2，下列说法正确的是（ ）
A．系数为5 B．系数为5π C．次数为1 D．次数为3
5．（4分）下列合并同类项中，正确的是（ ）
A．3a+a＝3a2 B．3mn﹣4mn＝﹣1
C．7a2 +5a2＝12a4 D．xy2﹣y2xxy2
6．（4分）如图所示，由A到B有①、②、③三条路线，最短的路线选①的理由是（ ）
A．两点确定一条直线 B．两点间距离的定义
C．两点之间，线段最短 D．因为它直
7．（4分）中国古代人民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有个问题，原文：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，求共有多少人？设有x人，根据题意可列方程为（ ）
A．2 B．2 C．2 D．2
8．（4分）用大小相同的棋子按如下规律摆放图形，第2022个图形的棋子数为（ ）
A．6069个 B．6066个 C．6072个 D．6063个
9．（4分）如图，点D是线段AB的中点，若AB＝16，AC＝10，则CD的长度为（ ）
A．2 B．3 C．5 D．6
10．（4分）若关于x的方程的解是正整数，且关于y的多项式（a﹣2）y2+ay﹣1是二次三项式，那么所有满足条件的整数a的值之和是（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
二、填空题：（本大题4个小题，每小题4分，共16分）将每小题的答案直接填写在答题卡中对应的横线上.
11．（4分）﹣32＝ ．
12．（4分）若∠α＝35°16′，则∠α的补角的度数为 ．
13．（4分）已知x＝﹣1是方程2x+m＝1的解，则m的值为 ．
14．（4分）如图，钟表中9点30分时，时钟的分针与时针所成角的度数为 ．
15．（4分）若单项式与的和仍然是单项式，则m+n等于 ．
16．（4分）如图，∠AOB＝180°，∠BOC＝80°，OD平分∠AOC，∠DOE＝3∠COE，则∠BOE＝ 度．
17．（4分）已知关于x、y的方程组中，满足x+y＝5，则3x+y的值为 ．
18．（4分）已知两个多项式A＝x2+2x+2，B＝x2﹣2x+2，有以下几个结论：
①若A+B＝12，则x＝±2；
②若A+B+ax2﹣bx的值与x的值无关，则a+b＝﹣2；
③若|A﹣B﹣8|+|A﹣B+4|＝12，则﹣1≤x≤2；
④若关于y的方程（m﹣1）y＝A+B﹣2x2的解为整数，则符合条件的非负整数m有3个．
上述结论中，正确的有 （填序号）．
三、解答题：（本大题2个小题，每小题0分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.
19．计算：
（1）24+（﹣14）+（﹣16）+8；
（2）．
20．（1）解方程：；
（2）解下列方程组：．
21．如图所示，已知线段a，b和线段AF．
（1）尺规作图：在线段AF上截取AC＝a，BC＝b，使B在C的左侧（保留作图痕迹，不写作法）．
（2）在（1）的条件下，若AF＝8，点M、N分别是BC、CF的中点，用含a、b的整式表示线段MN的长，请补充完善下列推理过程．
∵点M是BC的中点，且BC＝b
∴CMBC＝ ．
∵AC＝a，AF＝8
∴CF＝AF﹣AC＝ ．
∵N是CF的中点，
∴CNCF＝ ．
∴MN＝MC+CN＝ ．
22．化简求值：2a2b﹣[ab2﹣2（2a2b﹣ab2）]﹣ab2，其中|a﹣1|+|b+3|＝0．
（1）求a，b的值；
（2）化简并求出代数式的值．
23．已知方程组的解和方程组的解相同，求（2a+b）2024的值．
24．某超市购进甲、乙两种型号的空气加湿器进行销售，已知购进4台甲型号空气加湿器和6台乙型号空气加湿器共用1820元，购进6台甲型号空气加湿器比购进4台乙型号空气加湿器多用520元．
（1）求甲、乙两种型号的空气加湿器每台的进价．
（2）超市根据市场需求，决定购进这两种型号的空气加湿器共60台进行销售，甲种型号每台售价260元，乙种型号每台售价190元，若超市购进的这两种空气加湿器全部售出后，共获利2800元，则该超市本次购进甲、乙两种型号的空气加湿器各多少台？
25．将一副三角板的两个锐角顶点重合，∠AOB＝45°，∠COD＝30°，OM，ON分别是∠AOC，∠BOD的平分线．
（1）如图①所示，当OB与OC重合时，则∠MON的大小为 ；
（2）当∠COD绕着点O旋转至如图②所示，当∠BOC＝14°，则∠MON的大小为多少？
（3）当∠COD绕着点O旋转至如图③所示，当∠BOC＝α时，求∠MON的大小．
26．如图，数轴上有A、B、C、D、O五个点，点O为原点，点C在数轴上表示的数是5，线段CD的长度为6个单位，线段AB的长度为2个单位，且B、C两点之间的距离为13个单位，请解答下列问题：
（1）点D在数轴上表示的数是 ，点A在数轴上表示的数是 ；
（2）若点B以每秒2个单位的速度向右匀速运动t秒运动到线段CD上，且BC的长度是3个单位，根据题意列出的方程是 ，解得t＝ ；
（3）若线段AB、CD同时从原来的位置出发，线段AB以每秒2个单位的速度向右匀速运动，线段CD以每秒3个单位的速度向左匀速运动，把线段CD的中点记作P，求出点P与线段AB的一个端点的距离为2个单位时运动的时间．开学数学试卷
参考答案与试题解析
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B D B D C C A A C
一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑.
1．（4分）在﹣3，﹣1，0，2这四个数中，最小的数是（ ）
A．﹣3 B．﹣1 C．0 D．2
解：这四个数在数轴上的位置如图所示：
由数轴的特点可知，这四个数中最小的数是﹣3．
故选：A．
2．（4分）某个几何体的展开图如图所示，该几何体是（ ）
A． B． C． D．
解：观察几何体的展开图可知，该几何体是圆柱．
故选：B．
3．（4分）2022年10月16日党的第二十次代表大会在北京召开，二十大报告中提到国内生产总值增长到1140000亿元，那么1140000用科学记数法可表示为（ ）
A．1.14×104 B．114×104 C．11.4×105 D．1.14×106
解：1140000＝1.14×106．
故选：D．
4．（4分）对于单项式5πR2，下列说法正确的是（ ）
A．系数为5 B．系数为5π C．次数为1 D．次数为3
解：单项式5πR2的系数是5π，次数是2，
故选：B．
5．（4分）下列合并同类项中，正确的是（ ）
A．3a+a＝3a2 B．3mn﹣4mn＝﹣1
C．7a2 +5a2＝12a4 D．xy2﹣y2xxy2
解：合并同类项的方法：系数要相加，字母及字母的指数不变，
3a+a＝4a≠3a2，因此选项A不符合题意；
3mn﹣4nm＝﹣mn≠﹣1，因此选项B不符合题意；
7a2 +5a2＝12a2≠12a4，因此选项C不符合题意；
xy2﹣y2xxy2，正确，因此选项D符合题意；
故选：D．
6．（4分）如图所示，由A到B有①、②、③三条路线，最短的路线选①的理由是（ ）
A．两点确定一条直线 B．两点间距离的定义
C．两点之间，线段最短 D．因为它直
解：最短的路线选①的理由是两点之间，线段最短，
故选：C．
7．（4分）中国古代人民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有个问题，原文：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，求共有多少人？设有x人，根据题意可列方程为（ ）
A．2 B．2 C．2 D．2
解：设有x人，
依题意，得：2．
故选：C．
8．（4分）用大小相同的棋子按如下规律摆放图形，第2022个图形的棋子数为（ ）
A．6069个 B．6066个 C．6072个 D．6063个
解：第1个图形有6个，第2个图形有9个，第3个图形有12个，第4个图形有15个，……，依次增加3个，
所以第n个图形有（3n+3），
n＝2022时，3×2022+3＝6069，
故选：A．
9．（4分）如图，点D是线段AB的中点，若AB＝16，AC＝10，则CD的长度为（ ）
A．2 B．3 C．5 D．6
解：∵AB＝16，点D是线段BC的中点，
∴ADAB16＝8，
∵AC＝10，
∴CD＝AC﹣AD＝10﹣8＝2．
故选：A．
10．（4分）若关于x的方程的解是正整数，且关于y的多项式（a﹣2）y2+ay﹣1是二次三项式，那么所有满足条件的整数a的值之和是（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
解：，
去分母得：6x﹣（1﹣ax）＝6（x+1）﹣3，
去括号得：6x﹣1+ax＝6x+6﹣3，
移项得：6x+ax﹣6x＝6﹣3+1，
合并同类项得：ax＝4，
系数化为1得：，
∵关于x的方程的解是正整数，
∴是正整数，且a是整数，
∴a＝1或2或4，
∵（a﹣2）y2+ay﹣1是二次三项式，
∴，
∴a≠0且a≠2，
∴所有满足条件的整数a的值为1，4，
∴所有满足条件的整数a的值之和是1+4＝5．
故选：C．
二、填空题：（本大题4个小题，每小题4分，共16分）将每小题的答案直接填写在答题卡中对应的横线上.
11．（4分）﹣32＝ ﹣9 ．
解：﹣32＝﹣9．
故答案为：﹣9．
12．（4分）若∠α＝35°16′，则∠α的补角的度数为 144°44′ ．
解：∵∠α＝35°16′，
∴∠α的补角的度数＝180°﹣35°16′＝144°44′．
故答案为：144°44′．
13．（4分）已知x＝﹣1是方程2x+m＝1的解，则m的值为 3 ．
解：∵x＝﹣1是方程2x+m＝1的解，
∴2×（﹣1）+m＝1，
解得m＝3，
故答案为：3．
14．（4分）如图，钟表中9点30分时，时钟的分针与时针所成角的度数为 105° ．
解：由题意得：
3×30°30°
＝90°+15°
＝105°，
∴如图，钟表中9点30分时，时钟的分针与时针所成角的度数为105°，
故答案为：105°．
15．（4分）若单项式与的和仍然是单项式，则m+n等于 5 ．
解：由同类项定义可知m＝2，n+1＝4，
解得m＝2，n＝3，
∴m+n＝2+3＝5．
故答案为：5．
16．（4分）如图，∠AOB＝180°，∠BOC＝80°，OD平分∠AOC，∠DOE＝3∠COE，则∠BOE＝ 55 度．
解：∵∠AOB＝180°，∠BOC＝80°，
∴∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝100°，
∵OD平分∠AOC，
∴∠DOC∠AOC＝50°，
∵∠DOE＝3∠COE，∠DOE＝∠DOC+∠COE，
∴∠DOC＝2∠COE，
∴∠COE∠DOC＝25°，
∴∠BOE＝∠BOC﹣∠COE＝55°，
故答案为：55．
17．（4分）已知关于x、y的方程组中，满足x+y＝5，则3x+y的值为 11 ．
解：，
①+②得：3x+3y＝2k﹣3，
∴，
∵x+y＝5，
∴，
，
2k＝18，
k＝9，
∴，
①×2﹣①得：y＝2，
把y＝2代入①得：x＝3，
∴方程组的解为：，
∴3x+y
＝3×3+2
＝9+2
＝11，
故答案为：11．
18．（4分）已知两个多项式A＝x2+2x+2，B＝x2﹣2x+2，有以下几个结论：
①若A+B＝12，则x＝±2；
②若A+B+ax2﹣bx的值与x的值无关，则a+b＝﹣2；
③若|A﹣B﹣8|+|A﹣B+4|＝12，则﹣1≤x≤2；
④若关于y的方程（m﹣1）y＝A+B﹣2x2的解为整数，则符合条件的非负整数m有3个．
上述结论中，正确的有 ①②③ （填序号）．
解：A＝x2+2x+2，B＝x2﹣2x+2，
①∵A+B＝12，
∴x2+2x+2+（x2﹣2x+2）＝12，
∴x2﹣4＝0，
∴x＝±2，①正确；
②A+B+ax2﹣bx＝（x2+2x+2）+（x2﹣2x+2）+ax2﹣bx＝（2+a）x2﹣bx+4，
∵A+B+ax2﹣bx的值与x的值无关，
∴（2+a）x2﹣bx+4的值与x的值无关，
∴2+a＝0，﹣b＝0，
∴a＝﹣2，b＝0，
∴a+b＝﹣2，②正确；
③∵|A﹣B﹣8|＝|x2+2x+2﹣（x2﹣2x+2）﹣8|＝|4x﹣8|，|A﹣B+4|＝|x2+2x+2﹣（x2﹣2x+2）+4|＝|4x+4|，
当x＜﹣1时，8﹣4x+（4﹣4x）＝12﹣8x，
当﹣1≤x≤2时，8﹣4x+4x+4＝12，
当x＞2时，4x﹣8+4x+4＝8x﹣4，
若|A﹣B﹣8|+|A﹣B+4|＝12，即|4x﹣8|+|4x+4|＝12，
∴当﹣1≤x≤2时，满足条件，③正确；
④∵（m﹣1）y＝A+B﹣2x2，
∴（m﹣1）y＝4，
∴，
∴若关于y的方程（m﹣1）y＝A+B﹣2x2的解为整数，则符合条件的非负整数m有0、2、3、5，共4个，④错误，
故结论中正确的是①②③，
故答案为：①②③．
三、解答题：（本大题2个小题，每小题0分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.
19．计算：
（1）24+（﹣14）+（﹣16）+8；
（2）．
解：（1）原式＝24﹣14﹣16+8
＝24+8﹣14﹣16
＝32﹣30
＝2；
（2）原式
＝3﹣8﹣6﹣8
＝﹣19．
20．（1）解方程：；
（2）解下列方程组：．
解：（1），
4（3x﹣1）＝12﹣3（x+2），
12x﹣4＝12﹣3x﹣6，
12x+3x＝4+12﹣6，
15x＝10，
；
（2）方程组化简为：，
①×2得：6x+4y＝8③，
②×3得：6x+9y＝18④，
④﹣③得：y＝2，
把y＝2代入①得：x＝0，
∴方程组的解为：．
21．如图所示，已知线段a，b和线段AF．
（1）尺规作图：在线段AF上截取AC＝a，BC＝b，使B在C的左侧（保留作图痕迹，不写作法）．
（2）在（1）的条件下，若AF＝8，点M、N分别是BC、CF的中点，用含a、b的整式表示线段MN的长，请补充完善下列推理过程．
∵点M是BC的中点，且BC＝b
∴CMBC＝ b ．
∵AC＝a，AF＝8
∴CF＝AF﹣AC＝ 8﹣a ．
∵N是CF的中点，
∴CNCF＝ 4a ．
∴MN＝MC+CN＝ ．
解：（1）如图，AC、BC为所作；
（2）∵点M是BC的中点，且BC＝b，
∴．
∵AC＝a，AF＝8，
∴CF＝AF﹣AC＝8﹣a．
∵N是CF的中点，
∴．
∴．
故答案为：，8﹣a，，．
22．化简求值：2a2b﹣[ab2﹣2（2a2b﹣ab2）]﹣ab2，其中|a﹣1|+|b+3|＝0．
（1）求a，b的值；
（2）化简并求出代数式的值．
解：（1）∵|a﹣1|+|b+3|＝0，
∴a﹣1＝0，b+3＝0，
∴a＝1，b＝﹣3．
（2）原式＝2a2b﹣（ab2﹣4a2b+2ab2）﹣ab2
＝2a2b﹣ab2+4a2b﹣2ab2﹣ab2
＝6a2b﹣4ab2．
当a＝1，b＝﹣3时，原式＝﹣18﹣36＝﹣54．
23．已知方程组的解和方程组的解相同，求（2a+b）2024的值．
解：联立得：，
①+②得：5x＝10，即x＝2，
把x＝2代入①得：y＝﹣2，
，
解得：a＝1，b＝﹣3，
则原式＝（2﹣3）2024＝1．
24．某超市购进甲、乙两种型号的空气加湿器进行销售，已知购进4台甲型号空气加湿器和6台乙型号空气加湿器共用1820元，购进6台甲型号空气加湿器比购进4台乙型号空气加湿器多用520元．
（1）求甲、乙两种型号的空气加湿器每台的进价．
（2）超市根据市场需求，决定购进这两种型号的空气加湿器共60台进行销售，甲种型号每台售价260元，乙种型号每台售价190元，若超市购进的这两种空气加湿器全部售出后，共获利2800元，则该超市本次购进甲、乙两种型号的空气加湿器各多少台？
解：（1）设甲种型号的空气加湿器每台的进价为x元，乙种型号的空气加湿器每台的进价为y元，
依题意得：，
解得：．
答：甲种型号的空气加湿器每台的进价为200元，乙种型号的空气加湿器每台的进价为170元．
（2）设该超市本次购进甲种型号的空气加湿器m台，则购进乙种型号的空气加湿器（60﹣m）台，
依题意得：（260﹣200）m+（190﹣170）（60﹣m）＝2800，
解得：m＝40，
∴60﹣m＝20（台）．
答：该超市本次购进甲种型号的空气加湿器40台，乙种型号的空气加湿器20台．
25．将一副三角板的两个锐角顶点重合，∠AOB＝45°，∠COD＝30°，OM，ON分别是∠AOC，∠BOD的平分线．
（1）如图①所示，当OB与OC重合时，则∠MON的大小为 37.5° ；
（2）当∠COD绕着点O旋转至如图②所示，当∠BOC＝14°，则∠MON的大小为多少？
（3）当∠COD绕着点O旋转至如图③所示，当∠BOC＝α时，求∠MON的大小．
解：（1）∵∠AOB＝45°，∠COD＝30°，OM、ON分别是∠AOC、∠BOD的平分线，
∴，，
∴∠MON＝∠BOM+∠CON＝37.5°．
故答案为：37.5°；
（2）当∠BOC＝14°时，∠AOC＝45°﹣14°＝31°，∠BOD＝30°﹣14°＝16°，
∵OM、ON分别是∠AOC、∠BOD的平分线，
∴，，
∴∠MON＝∠MOC+∠BON+∠BOC＝15.5°+8°+14°＝37.5°；
（3）当∠BOC＝α时，∠AOC＝45°+α，∠BOD＝30°+α，
∵OM、ON分别是∠AOC、∠BOD的平分线，
∴，
，
∴．
26．如图，数轴上有A、B、C、D、O五个点，点O为原点，点C在数轴上表示的数是5，线段CD的长度为6个单位，线段AB的长度为2个单位，且B、C两点之间的距离为13个单位，请解答下列问题：
（1）点D在数轴上表示的数是 11 ，点A在数轴上表示的数是 ﹣10 ；
（2）若点B以每秒2个单位的速度向右匀速运动t秒运动到线段CD上，且BC的长度是3个单位，根据题意列出的方程是 2t﹣8﹣5＝3 ，解得t＝ 8 ；
（3）若线段AB、CD同时从原来的位置出发，线段AB以每秒2个单位的速度向右匀速运动，线段CD以每秒3个单位的速度向左匀速运动，把线段CD的中点记作P，求出点P与线段AB的一个端点的距离为2个单位时运动的时间．
解：（1）根据题意得：点D在数轴上表示的数是5+6＝11；
点A在数轴上表示的数是5﹣13﹣2＝﹣10．
故答案为：11，﹣10；
（2）当运动时间为t秒时，点B在数轴上表示的数是2t﹣8，
根据题意得：2t﹣8﹣5＝3，
解得：t＝8．
故答案为：2t﹣8﹣5＝3，8；
（3）当运动时间为t秒时，点A在数轴上表示的数是2t﹣10，点B在数轴上表示的数是2t﹣8，点P在数轴上表示的数是﹣3t3t+8．
当点P在点B右侧时，﹣3t+8﹣（2t﹣8）＝2，
解得：t；
当点P在线段AB上时，﹣3t+8﹣（2t﹣10）＝2或2t﹣8﹣（﹣3t+8）＝2，
解得：t或t；
当点P在点A的左侧时，2t﹣10﹣（﹣3t+8）＝2，
解得：t＝4．
答：当点P与线段AB的一个端点的距离为2个单位时运动的时间是秒或秒或秒或4秒．
