2025年中考数学压轴题专练：二次函数综合（角度问题）
1．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点是抛物线对称轴上一点，点是平面内任意一点，当以、、、为顶点的四边形是矩形时，求点的坐标；
(3)过点的直线交直线于点，连接，当直线与直线的夹角等于的2倍时，请直接写出点的坐标．
2．已知抛物线．
(1)若抛物线过点，则它的对称轴是直线 ；
(2)当时，二次函数的最大值为，求的取值范围；
(3)在（1）的条件下将抛物线向下平移个单位后如图所示与轴交于、两点（点位于点的左侧），与轴交于点，连接，抛物线上存在点，使得．请求出直线的解析式．
3．如图，二次函数与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C．已知点，抛物线的对称轴为直线．
(1)求二次函数的表达式；
(2)连接，点P是抛物线上一点，在直线下方移动，过点P分别向x轴，y轴作垂线，与交于E，F两点，求的最大值并求出此时点P的坐标；
(3)将抛物线沿着射线的方向平移个单位，点M是平移后抛物线对称轴上任意一点，若，直接写出点M的坐标．
4．如图1，抛物线与轴分别交于两点（点A在点B的左侧）与轴交于点C，若．
(1)求抛物线的解折式；
(2)如图1，连接是上方抛物线上异于的一点，连交轴于点E，当时，求点D的坐标；
(3)如图2，是抛物线上异于B，C的两个动点，直线与直线交于点T，若直线经过定点，求证：点T的运动轨迹是一条定直线．
5．在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线交轴正半轴于点，，点在此抛物线上．
(1)如图，求抛物线的解析式；
(2)如图，点为第二象限内抛物线上一点，点的横坐标为，连接交轴于点，过点作轴的垂线，点为垂足，连接，求的值；
(3)如图，在的条件下，点在该抛物线上，，连接，点在上，点在该抛物线上，点的横坐标为，连接，，，的面积为，点在轴正半轴上，，连接交轴于点，连接，，若平分，求值．
6．如图，抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，已知．
(1)求m的值和直线对应的函数表达式；
(2)P点是对称轴上的一点，当的值最小时，求点P的坐标；
(3)Q为抛物线上一点，若，求点Q的坐标．
7．在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于A，B两点，点A在y轴上，点B的横坐标为，点P是抛物线上不与A，B重合的一动点，点的横坐标为m．
(1)求c的值．
(2)如图，点A与点C关于抛物线的对称轴对称，当点P在AC上方的抛物线上时，若AC平分，求m的值．
(3)当点P在y轴右侧的抛物线上运动时，过点P作交y轴于点M，作轴交AB于点N，设四边形的周长为l．
①求l关于m的函数解析式；
②若点都在l关于m的函数图象上，当时，直接写出m的取值范围．
8．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于，两点，与轴交于点D，直线与抛物线相交于A，C两点．
(1)求抛物线的解析式．
(2)设点P是直线上方抛物线上的一动点，过点P作平行x轴，交抛物线于点N，垂直于点M，当P在对称轴左方时，求的最大值，并求出此时点P的坐标．
(3)抛物线上是否存在一点Q，使，若存在，请求出点Q的坐标；若不能，请说明理由．
9．如图，在直角坐标系中，二次函数的图象与x轴、y轴的公共点分别为、B，点C在这个二次函数的图象上，且横坐标为3．
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)求的正切值；
(3)如果点D在这个二次函数的图象上，且，求点D的坐标．
10．如图1，在平面直角坐标系xOy中，物物线与y轴交于点A，与x轴交于点B、C（点B在点C左侧），且，连接．
(1)求a，b的值；
(2)若点P为上方抛物线上一动点，过点P作轴于点D，交于点E，连接．
① 求的最大值：
② 如图2，过点E作的垂线，分别与y轴和抛物线的对称轴交于点M、N，连接、，若，请直接写出所有符合条件的点P的坐标．
11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与轴交于两点，与轴交于点，抛物线的对称轴是直线．
(1)求抛物线的表达式
(2)点是直线上方抛物线上的一动点，过点作轴，交于点，点是轴上的一动点，连接，当线段长度取得最大值时，求周长的最小值；
(3)点E坐标为，将原抛物线沿射线方向平移个单位长度，得到新抛物线，在抛物线是否存在点，满足，若存在，直接写出点的坐标，若不存在请说明理由．
12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于O，A两点，顶点P的坐标为，点B为抛物线上一动点，连接，，过点B的直线与抛物线交于另一点C．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)若点B在直线上，且，求点C的坐标；
(3)设抛物线的对称轴与x轴相交于点Q，过Q作直线分别与抛物线相交于点M、N（M在对称轴左侧抛物线上），求的值．
13．如图，已知抛物线与轴交于两点，与轴交于点，．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图2，已知点为第一象限内抛物线上的一点，点的坐标为，，求点的坐标；
(3)如图3，将抛物线平移到以坐标原点为顶点，记为，点在抛物线上，过点作分别交抛物线于两点，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．
14．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线（）与轴交于、两点，与轴交于点，若满足．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)连接、，
①求证：；
②在抛物线上找一点，使得，请求出点的坐标．
15．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点和点B，与轴交于点，经过点的射线与轴相交于点，与抛物线的另一个交点为，且．
(1)求这条抛物线的表达式，并写出它的对称轴；
(2)求点的坐标；
(3)点是点关于抛物线对称轴的对称点，点是轴上一点，且，求点的坐标．
16．如图，抛物线交轴于，两点，与轴交于点，为抛物线上的一个动点，且点的横坐标为．
(1)直接写出抛物线的解析式及顶点的坐标；
(2)若，当抛物线在点和点之间的部分（包括、两点）的最高点与最低点的纵坐标之差为时，求的值；
(3)在第一象限的抛物线上是否存在点，使，若存在，请求出点的坐标；若不存在，说明理由．
17．如图，抛物线的顶点为点A，与x轴交于点O和点B．
(1)点A坐标为 ，点B坐标为 ；
(2)如图1，将线段绕抛物线顶点A逆时针旋转得到线段，若平分交抛物线于点Q．求点C和Q的坐标；
(3)如图2，过点作轴交抛物线于点P，E，F为抛物线上的两动点（点E在点P左侧，点F在点P右侧），直线，分别交x轴于点M，N．若，求证：直线过一个定点．
18．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，B（A在B的左侧），与y轴交于点，其对称轴为直线．
(1)求该抛物线的函数解析式；
(2)已知点D为第二象限抛物线上一点，连接，若，求点D的坐标；
(3)将抛物线关于x轴作轴对称变换，得到图象G，现将图象G沿直线平移，得到新的图象M，图象M与线段只有一个交点，求图象M顶点横坐标m的取值范围．
19．如图，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C，连接，点D在抛物线上．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，点D在第一象限内的抛物线上，连接，，请求出面积的最大值及此时点D的坐标；
(3)点D在抛物线上移动，连接，是否存在点D，使得，若存在求出点D的坐标；不存在请说明理由．
20．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，点在抛物线上，其横坐标分别为，连接．
(1)求抛物线的解析式．
(2)当点与抛物线顶点重合时，求点的坐标．
(3)当的边与轴垂直时，求点与点的纵坐标．
(4)设，，，探索之间的等量关系，请直接写出结论．
21．如图，抛物线与x轴交于点、两点，与y轴交点C，连接，顶点为M．
(1)求抛物线的解析式及顶点M的坐标；
(2)已知点P是抛物线上的一点，连接，若，求点P的坐标；
(3)如图2，若D是直线上方抛物线上一动点，连接交于点E，当的值最大时，求点D的坐标．
22．综合与实践：
如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，连结，点在抛物线上．
(1)求抛物线的解析式；
(2)小明探究点位置时发现：如图1，点在第一象限内的抛物线上，连结，，面积存在最大值，请帮助小明求出面积的最大值；
(3)小明进一步探究点位置时发现：点在抛物线上移动，连结，存在，请帮助小明求出时点的坐标．
23．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线交x轴于点，．交y轴于点C，点D为抛物线顶点．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)连接 求的面积；
(3)如图2，在y轴上取一点，抛物线沿射线方向平移个单位得新抛物线，新抛物线与x轴交于点E，F，交y轴于点H，点P在线段上运动，线段关于线段的对称线段是，若直线与直线所成夹角为，请写出所有符合条件的点的坐标，并写出求其中一个点的坐标的过程．
24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于点，点（点在点的左侧），与轴相交于点，，，连接．
(1)求抛物线解析式；
(2)点P在为抛物线上第一象限一动点，连接，，设点横坐标为t，面积为，求与之间的函数关系式（不要求写出的取值范围）；
(3)在（2）的条件下，点为抛物线的顶点，连接，，，与相交于点，若，求的值．
《2025年中考数学压轴题专练：二次函数综合（角度问题）》参考答案
1．(1)
(2)或或或
(3)或
【分析】（1）由抛物线与轴交于两点，设，再把代入利用待定系数法求解即可；
（2）分两种情况讨论：如图，当为矩形边时，当为矩形对角线时，如图，再结合图形求解即可．
（3）作的垂直平分线，垂足为，交于点，作于点，作点关于点的对称点符合条件，根据题意分别画图求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于两点，
∴设，
把代入得：，
解得：，
∴抛物线为：；
（2）解：根据题意可得抛物线的对称轴为直线，
设，则，
当为矩形边时，可得或，
当时，则，即，
解得：，
则；
当时，则，即，
解得：，
则；
如图，当为矩形对角线时，
，四边形是矩形，
，
则，即，
解得：或，
则或；
综上：或或或．
（3）解：设直线的解析式为，则，解得：，
故直线的解析式为，
设，
作的垂直平分线，垂足为，交于点，如图所示．
根据题意可得，
当时，，，故符合条件．
此时，，
解得：，
∴点的坐标为．
作于点，作点关于点的对称点．如图所示．
此时，则，故点符合条件．
根据题意，
∴，
∵，
∴，
过点作于H，
则，
∴，
∵点关于点N对称，
即点为线段的中点，
∴点的坐标为．
∴点的坐标为或．
【点睛】本题考查的是利用待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数解析式，矩形的性质，线段垂直平分线的性质及等腰三角形的性质，利用数形结合和分类讨论的方法解题是关键．
2．(1)
(2)
(3)和
【分析】本题考查了二次函数的性质及平移，熟练掌握性质定理是解题的关键．
（1）根据待定系数法求出解析式，再根据对称轴公式即可得出答案；
（2）根据二次函数的性质分三种情况讨论即可得出答案；
（3）分两种情况：当点在轴下方的抛物线上时；当点在轴上方的抛物线上时；先画出图形再根据二次函数的性质即可得出答案．
【详解】（1）解：过点，
，
解得：，
抛物线，
它的对称轴是直线；
（2）解：函数的开口向上，对称轴为直线，当时，取得最小值；当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；
当时，二次函数的最大值为，
若时，则当时，取得最大值，有，
解得：，不符合题意；
若且即时，则当时，取得最大值，有，
解得：，符合题意；
若且即时，则当时，取得最大值，有，等式恒成立；
若时，则当时，取得最大值，有，等式恒成立；
综上所述，的取值范围为；
（3）解：由已知可得二次函数解析式为：，
则点，点，，
当点在轴下方的抛物线上时：
在的延长线上取一点，使，连接，若与抛物线有交点，设与抛物线交于点，过点作轴于轴于，
，
，
，
轴，
，
，
，
，
，
，
，
设的解析式为：，
，
解得：，
的解析式为：，
当点在轴上方的抛物线上时，
延长到，使，连接并延长交轴于，若与抛物线有交点
设交抛物线于点，
轴，，
，
同理可得，直线的解析式为：，
综上所述直线BQ的解析式为：和．
3．(1)二次函数的表达式为
(2)，此时点P的坐标为
(3)点M的坐标为或
【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的的关键：
（1）待定系数法求出函数解析式即可；
（2）求出的坐标，设，将转化为二次函数求最值即可；
（3）求出平移后的解析式，进而求出平移后的对称轴，分点在的上方和下方两种情况进行讨论求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线过，对称轴为直线，
∴，解得：，
∴；
（2）∵点关于直线对称，，
∴，
∵，
∴当时，，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为：，把代入，得：，
∴，
设，
∵轴，轴，
∴，轴，，
∴，，
∴，
∴，
∴当时，有最大值为，此时；
（3）∵，由（2）知：为等腰直角三角形，
∴将抛物线沿着射线的方向平移个单位，即向右，向上各平移1个单位，
∴新的抛物线的解析式为：，
∴新的抛物线的对称轴为直线，
延长交轴于点，
∵，，
∴①当点在直线上方时，，
∴，
∴，
∴，
∴
∴同（2）法可得：直线的解析式为：，
∴当时，，即：；
②当点在直线下方时，，则：，
∴，
∴
同理：直线的解析式为：，
∴当时，，即：；
综上：或．
4．(1)
(2)
(3)见解析
【分析】（1）分别令，得出，根据，进而得出的坐标，待定系数法求解析式即可求解；
（2）根据题意得出，根据得出的坐标，进而求得直线的解析式，联立抛物线解析式，解方程，即可求解．
（3）设，分别表示出直线的解析式，进而联立抛物线解析式，得出，，依题意，直线的解析式为，即，联立抛物线解析式，根据一元二次方程根与系数的关系可得，，进而得出关于的恒等式，即可求解．
【详解】（1）解：对于抛物线，当时，，则，则，
∵
∴,，
∴
代入得，
，解得：，
∴；
（2）解：∵，，
∴，,，
过点作于点，
∵，
∴，
∴
∴
∵
∴
∴，
∴
设直线的解析式为，代入
解得：，
∴ ，
联立抛物线解析式
解得：或（舍去）
∴；
（3）解：设，
∵，，
设直线的解析式分别为
∴，
解得：，
∴
联立，
消去得：，
∴，即
由可得
依题意，直线的解析式为
即
联立
则
∴，，
∴
消去得：
解得：（与直线重合，故舍去）或
即点的运动轨迹是一条定直线．
【点睛】本题考查了二次函数综合运用，一次函数与二次函数交点问题，一元二次方程根与系数的关系，正切的定义，二次函数与坐标轴交点问题，熟练掌握以上知识是解题的关键．
5．(1)；
(2)；
(3)．
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2），，，，在内， 在内，，故，那么在内，；
（3）先求，由，则设，代入，求得 ，联立直线和抛物线表达式得：，求得，可求，，设，过点作轴于点R，交于点K，可求直线：，设，则，由于，故，解得：，则，可得，那么，求得，同理可求：，则,过点作，垂足分别为，可证明，则，同理可得：，则，故，解方程即可求解．
【详解】（1）解：抛物线交轴正半轴于点，，
抛物线经过，
可得： ，
解方程组得： ，
抛物线的解析式为 ；
（2）解：点在抛物线上，且点的横坐标为，
当时，
点在第二象限，
，
，，，
，，
在内，
在内，，
，
在内，，
的值为；
（3）解：设，则代入
得：，
∴，
∵，
∴设，
代入，得：，
解得：，
∴，
联立直线和抛物线表达式得：，
∴，
解得：或，
∴，
把代入得：，
∴，
∵，
∴设直线表达式为：，
则，
解得：，
∴，
设，
过点作轴于点R，交于点K，连接，
∵，，
∴同理可求直线：，
∴设，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
而，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
同理可求：，
当，
∴,
过点作，垂足分别为
∴
∵平分，，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
同理可得：，
∴，
∵
∴，
∴，
整理得：，
解得：或（舍）．
所以．
【点睛】本题考查了二次函数与几何的综合问题，涉及解直角三角形，待定系数法求函数解析式，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质定理等知识点，两点间距离公式，难度较大．
6．(1)，
(2)
(3)
【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键：
（1）待定系数法求出函数解析式，进而求出点坐标，再利用待定系数法求出直线的解析式即可；
（2）根据对称性得到，进而得到当点在线段上时，的值最小，进行求解即可；
（3）过点作且，过点作轴，证明，求出点坐标，进而求出的解析式，联立直线和抛物线的解析式，求出点坐标即可．
【详解】（1）解：把代入，得：
，
解得：或（舍去）；
∴，
∴当时，，
∴，
设直线的解析式为：，把代入，得：，
∴；
（2）∵，
∴对称轴为直线，
∵关于对称轴对称，
∴，
∴当点在线段上时，最小，
∵点在对称轴上，
∴，
把代入，得：，
∴；
（3）∵，
∴当时，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
过点作且，过点作轴，
则：，，
∴，点在直线上，
∴，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为：，
则：，解得：；
∴直线的解析式为：，
联立，解得：或；
故．
7．(1)
(2)
(3)①；②
【分析】本题主要考查求二次函数解析、二次函数与几何的综合、二次函数的性质等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键．
（1）根据题意求得点，再代入即可求得c的值；
（2）先求出，再运用待定系数法求得直线的解析式为，由点A与点C关于抛物线的对称轴对称，可得轴，的解析式为；如图：过P作交于E、D，根据等腰三角形的性质可得，点的横坐标为m，则、，进而得到，然后根据列关于m的方程求解即可；
（3）①分两种情况，当P点位于、B之间时，当P点位于B点右侧时，由题意可得四边形是平行四边形，即、；由题意可得、，进而得到，然后根据平行四边形的周长公式即可解答；②根据函数图像分成五种情况，然后根据二次函数的性质列关于m的方程解答即可．
【详解】（1）解：当时，，即，
将代入，可得：．
∴．
（2）解：∵点B的横坐标为，
∴，即点，
设直线的解析式为，
则，解得：，
∴直线的解析式为，
∵点A与点C关于抛物线的对称轴对称，
∴轴，的解析式为，
如图：过P作交于E、D，
∵AC平分，
∴，
∵点的横坐标为m，
∴，，
∴，
∴，解得：（舍弃）或．
（3）解：①如图：当P点位于、B之间时，过点P作交y轴于点M，作轴交AB于点N，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∵点的横坐标为m，
∴，，
∴，
，
∴l关于m的函数解析式为，即．
如图：当P点位于B点右侧时，过点P作交y轴于点M，作轴交AB于点N，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∵点的横坐标为m，
∴，，
∴，
，
∴l关于m的函数解析式为，即，
l关于m的函数解析式为．
②∵，
．，函数图形开口向上，对称轴为
两点都在函数对称轴左侧时，，
两点分别在函数对称轴左右两侧时，，
即，比较到对称轴的距离，
；
两点都在函数对称轴右侧时，，
不等式无解，不符合题意；
当两点分别在函数上时，
，即时，
，或，
则，
当两点都在函数上时，，
综上所述，m的取值范围或或．
8．(1)
(2)，
(3)存在，
【分析】本题考查了一次函数与二次函数的综合问题，涉及待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，解直角三角形等知识，难度较大，熟练掌握知识点是解题的关键．
（1）运用待定系数法直接求解即可；
（2）过点作轴交于点， 为等腰直角三角形，则，而，，故，即可求解；
（3）连接，过点D作于点K，过点Q作轴于点L，将问题化为，继而利用等角的正切值相等，建立方程，求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于，两点，
，
解得：，
∴解析式为：
（2）解：过点作轴交于点，
对于直线，当，
时，，
解得：，
∴，而
∴，
而轴，
∴，
而垂直于点M，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵对称轴为：直线，
∴设，
∵平行x轴，
∴关于直线对称，
∴，
∴，
而，
∴，
∴，
∵，且，
∴当时，取得最大值为，
∴
（3）解：存在，理由如下：
连接，过点D作于点K，过点Q作轴于点L，
由上知，
∴，
∴，
联立，
解得：或，
∴，
而对于抛物线，当，
∴，
∴轴，
∴，
∴同上可得：，
而，
∴，
∴，
∴，
设，
∴，
解得：或（舍）
∴．
9．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可；
（2）求出两点的坐标，进而求出的长，勾股定理逆定理推出为直角三角形，再利用正切的定义，进行求解即可；
（3）设，过点D作轴，垂足为点E，证明，得到，再根据点在抛物线上，得到，进行求解即可．
【详解】（1）解：把代入，得：，
解得：，
∴；
（2）∵，
∴当时，．当时，得 ，
∴，．
∵，
∴，，，
∴．
∴．
∴．
（3）设．
过点D作轴，垂足为点E．则，．
∵ ，，
∴．
又∵，
∴ ，
∴．
又∵，即，
∴．
又∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
∵ 点D在二次函数的图象上，
∴ ．
解得 ，（不合题意，舍去）．
∴．
∴．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法求函数解析式，勾股定理逆定理，求角的正切值，相似三角形的判定和性质等知识点，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键．
10．(1)，
(2)①；②或
【分析】（1）先求出，再用待定系数法即可求解；
（2）解：先求直线表达式为，设（），则，那么，而，则，转化为二次函数求最值；
（3）过点作对称轴的垂线，垂足为，，过点E作的垂线，过点D作的垂线，交对称轴于点，可证明共圆，则点为圆心，半径为，可求直线解析式为，则，由，得到，代入得到，解方程即可求解．
【详解】（1）解：当，
∴，
∴，
∵，
∴，
将点代入
得：，
解得：，
∴解析式为：；
（2）解：设直线表达式为：，
代入点坐标得：，
解得：，
∴直线表达式为：
∵点P为上方抛物线上一动点，
∴设（）
∵轴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴当时，取到最大值为；
②过点作对称轴的垂线，垂足为，
∵，
∴，
∵过点E作的垂线
∴，
∵，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
过点D作的垂线，交对称轴于点，
∵，
∴，
∴共圆，
∴点为圆心，半径为，
设，而
∵，同理可得为等腰直角三角形，
则，
∴，
∴，
设直线解析式为：，
则代入点得：，
解得：，
∴直线解析式为，
当时，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得：或，
∴或．
【点睛】本题考查了二次函数与角度和面积的综合性问题，涉及待定系数法求函数解析式，二次函数的最值问题，圆周角定理，两点间距离公式等知识点，难度较大，熟练掌握知识点是解题的关键．
11．(1)抛物线的表达式为；
(2)周长的最小值为；
(3)点的坐标为或．
【分析】（）利用待定系数法解答即可；
（）利用抛物线的解析式求得点，，的坐标，利用待定系数法求得直线的解析式，设，则，表示的长并配方，利用二次函数的性质求得的最大值为； 取点关于轴的对称点，连接，交轴于点，连接，由轴对称可知此时最小，，再利用勾股定理解答即可得出结论；
（）求得的坐标，利用待定系数法求得平移后的抛物线的解析式，利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答：当在的上方时，如图,设交轴于，当在的下方时，如图，分别解答即可．
【详解】（1）解：∵抛物线经过点，抛物线的对称轴是直线，
∴，
解得：
∴抛物线的表达式为；
（2）解：令，则，
∴或，
∴，，
令，则，
∴，
设直线的解析式为，
∴
∴，
∴直线的解析式为，
设，
∵轴，
∴，
∴，
∵，
∴当时，取得最大值，此时，，
∴，
取点关于轴的对称点，连接，交轴于点，连接，如图，
∵点是轴上的一动点，
∴此时最小，，
∴，
∵，，
∴，
∴周长的最小值为；
（3）解：由，
∵，，
∴。
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵将原抛物线沿射线方向平移个单位长度，得到新抛物线，就是将原抛物线向下平移个单位，再向右平移个单位，
∴，
分两种情况：
当在的上方时，如图,设交轴于，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，
由勾股定理得：，
∴，
∴，
∴，
同理得：的解析式为，
∴，
解得：（舍去），，
∴点的坐标为；
当在的下方时，如图，
∵，
∴，
当时，，
解得：（舍去），，
∴点的坐标为；
综上，点的坐标为或．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，抛物线上点的坐标的特征，待定系数法，轴对称的最短路径问题，勾股定理，全等三角形的性质和判定等知识，分类讨论的思想方法，掌握知识点的应用是解题的关键．
12．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据题意得出，，将点坐标代入求得的值；
（2）作轴于，作轴于，可求得，进而得出，根据，得出，进一步得出点和点重合；
（3）将轴向左平移4个单位，作于，作于，可得出抛物线的解析式为：，设，，可计算得出，，由得到，代入整理得到，然后计算即可．
【详解】（1）解：抛物线的顶点的坐标为，
抛物线的解析式为：，
抛物线过点，
，
，
抛物线的函数表达式为：；
（2）解：如图1，
作轴于，作轴于，
由得，
，，
，
，
，
，
，
，，，
，
，，
，
，
，
点和点重合，
；
（3）解：如图2，
将轴向左平移4个单位，的值保持不变，此时原点是点，作于，作于，
抛物线的解析式为：，
设，，
，，，，，，
∵于，作于，
∴，
∴，
∴，
∴，整理得，
∴，
∴
．
【点睛】本题考查了求二次函数的解析式，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，图象的平移等知识，解决问题的关键是作辅助线，将线段转化．
13．(1)
(2)点的坐标为
(3)直线过定点，证明见解析
【分析】（1）先求出点的坐标，从而得到两点的坐标，利用待定系数法即可求出解析式；
（2）连接，过点作轴交于点，过点作交于点，利用等腰直角三角形的性质求出和的长，再设，通过证明得出，列出方程求出的值即可解答；
（3）由题意得，抛物线的解析式为，过点作轴的平行线，分别过点、作的垂线，垂足为分别为、，通过证明得出，设直线的解析式为，，，联立直线和抛物线的解析式得到，，再结合整理得出，最后代入直线的解析式即可求出定点．
【详解】（1）解：令，则，
，
，
，，
，，
代入，到得，，
解得：，
抛物线的解析式为．
（2）解：如图，连接，过点作轴交于点，过点作交于点，
则，
点的坐标为，
，
设，则，，
，，
是等腰直角三角形，，
，，
，，
，
，
是等腰直角三角形，，
，
，
，
，
，
，
，即，
解得：，（舍去），
，
点的坐标为．
（3）证明：将抛物线平移到以坐标原点为顶点，记为，
抛物线的解析式为，
过点作轴的平行线，分别过点、作的垂线，垂足为分别为、，
由作图可得，，则，
，
，
，
，
，
，
，
，
设直线的解析式为，，，
联立得：，
由一元二次方程根与系数的关系得，，，
，
，
整理得：，
，即，
，
直线的解析式为，
当时，恒成立，
直线过定点，该定点坐标为．
【点睛】本题为二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式、相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质与判定、一元二次方程根与系数的关系等知识，综合性强，难度较大，熟知相关知识并根据题意灵活应用是解题关键．
14．(1)
(2)①见解析；②
【分析】（1）令，可求出A、B的坐标，然后求出C的坐标，最后把C的坐标代入函数解析式求解即可；
（2）①证明，然后根据相似三角形的性质即可得证；
②取中点G，过G作交于H，连接，设点E满足，则，根据等边对等角和三角形外角的性质可得出，结合已知可得出，则，根据平行线分线段可得出H是中点，则，待定系数法求出直线解析式为，直线解析式为，联立方程组，即可求出E的坐标．
【详解】（1）解：令，则，
解得，，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴（负值舍去），
∴，
代入，得，
解得，
∴；
（2）①证明：∵，
∴，
又，
∴，
∴，即；
②如图，取中点G，过G作交于H，连接，设点E满足，
则，
∴，
∴，
又，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴H是中点，
又，，
∴即，
设直线解析式为，
则，
解得，
∴直线解析式为，
∵，
∴设直线解析式为，
把代入，得，
解得，
∴直线解析式为，
联立方程组，
解得或（舍去），
∴E的坐标为．
【点睛】本题考查了二次函数与相似三角形，待定系数法，相似三角形的判定与性质等知识，明确题意，添加合适的辅助线，构造相似三角形，合理分类讨论是解题的关键．
15．(1)，对称轴
(2)
(3)或．
【分析】（1）把和点的坐标代入抛物线的解析式可求得、的值，从而可得到抛物线的解析式，然后，依据抛物线的对称轴公式可得到抛物线的对称轴；
（2）过点作轴，垂足为．设，则，则，将点的坐标代入抛物线的解析式可求得的值，进行求解即可；
（3）先求得，则．当点在的上方时可证明，从而可求得点的坐标；当点在的下方时，设与轴交点为，则，可得到，从而可求得的值，然后再求得的解析式，从而可得到点的坐标．
【详解】（1）解：把代入得：，
抛物线的解析式为．
将代入得：，解得，
抛物线的解析式为．
抛物线的对称轴为．
（2）解：过点作轴，垂足为．
设，则．
，
．
．
将点代入得：，解得．
．
（3）解：抛物线的对称轴为，，点是点关于抛物线对称轴的对称点，
．
，
．
如图所示：
当点在的上方时，，
，
．
由（1）可知：，．
．
点的坐标为．
当点在的下方时，如图所示：
设与轴交点为，则，可得到，
，解得：，
，．
设的解析式为，将点和点的坐标代入得：
，
解得：，．
．
综上所述，点的坐标为或．
【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求一次函数、二次函数的解析式、锐角三角函数的定义，平行线分线段成比例定理，平行线的性质，两点间的距离公式，正确进行分类讨论是解答本题的关键．
16．(1)，顶点D坐标为
(2)m＝或
(3)存在，
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）首先求出，然后表示出P的坐标为，然后分三种情况：①当点P在x轴上方时；②当点P在x轴下方时；③当点P在x轴上时，然后根据题意分别列方程求解即可；
（3）如图所示，在x轴的正半轴上取点，连接，过点B作交抛物线于点P，根据题意得到，然后求出直线的解析式为，直线的解析式为，然后和抛物线联立求解即可．
【详解】（1）将点代入抛物线中
得
解得：
∴抛物线解析式为
∴顶点D坐标为；
（2）令
解得，
∴
∵P的横坐标为且
∴
∴将代入
∴点P一定在对称轴右侧，且P的坐标为；
①如右图所示，当点P在x轴上方时，
则，即
此时：，
解得：，符合题意；
②如右图所示，当点P在x轴下方时，
则，即
此时：
解得：，（舍去）
③当点P在x轴上时，
则，即
此时：（或），解得：（舍去）
综上所述，或；
（3）存在点P，使，点P的坐标为
理由如下：
如图所示，在x轴的正半轴上取点，连接，过点B作交抛物线于点P
∵，，
∴
∵，
∴，
∴
∵，
∴
∴
设直线的解析式为，过，
∴直线的解析式为
∵
∴设直线的解析式为
将代入得
解得：
∴直线的解析式为
由
解得：，（舍去）
∴．
【点睛】本题考查了二次函数解析式，一次函数解析式，二次函数与角度综合等知识．熟练掌握二次函数解析式，一次函数解析式是解题的关键．
17．(1)，
(2)；
(3)，理由见解析
【分析】（1）对抛物线配方得顶点式，即可得A点坐标，令，可得点B坐标；
（2）过点A作轴，过点B作于点M，过点C作于点N，连接交直线于点D，先利用一线三垂直证明，从而可推出，再证明，得到D点为中点，求出直线的解析式，再联立抛物线解析式，即可求得Q点坐标；
（3）设点，，先求出，直线的解折式，得到，同理求出直线的解折式为，得到，在根据，得到，最后设直线的解折式为，联立得到，代入计算即可．
【详解】（1）解：令，则或，
故点B坐标为，
对抛物线配方得：，
故可得A点坐标为．
故答案为：，
（2）解：过点A作轴，过点B作于点M，过点C作于点N，连接交直线于点D，
B是抛物线与x轴的另一交点，
当时，，
解得：，，
，
∵轴，，，，
，，
，，
，
将线段绕地物线顶点A逆时针旋转得到线段，
，，
，
，
，
，
，
，
，，
∵轴，，，
，
抛物线与x轴交于原点，B点，且顶点坐标为，
，
，
，
平分，
点D是的中点，
，，
，
设直线的解析式为，
把，代入得，
，
解得，
直线的解析式为，
联立，
解得或，
；
（3）解：由题意设点，，
轴，，
当时，，
，
设直线的解折式，
把，得，
，
解得，
直线的解折式，
直线交x轴于点M，
当时，，
，
，
设直线的解折式，
把，代入得，
，
解得，
直线的解折式为，
当时，，
，
，
，，，
，，
，
，
，
设直线的解折式为，
，，
，
解得，
直线的解折式为，
，
，
，
，
当时，，
直线过一个定点，该定点为．
【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，全等三角形的判定与性质，韦达定理，二次函数的性质，函数与方程的联系，掌握以上知识并熟练运用是解题的关键．
18．(1)
(2)
(3)m的范围是或
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）证明，得到，进而求解；
（3）当顶点为时，图象恰好过点、，当抛物线与直线相切时，联立抛物线与直线解析式，即可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点，其对称轴为，
∴，
解得，
∴抛物线的函数解析式为；
（2）解：点为第二象限抛物线上一点，设交轴于，如图：
在中，令 得，
解得：或，
，，
，，
，
，
，
，
又，
，即，
，
，
，
，
由，设直线解析式为：，
则，
∴，
∴直线解析式为；
联立，
解得：或舍去，
；
（3）解：抛物线的函数解析式为：，顶点为，
将图象沿直线平移，由，同上可得直线解析式为；
将抛物线沿轴翻折后顶点为，
顶点运动的轨迹为，
图象的顶点坐标为，
则图象对应的函数解析式为：，
当图象过点时，
，解得 或；
当图象过点时，
，解得或；
当顶点为时，图象恰好过点、；
当抛物线与线段相切时，
联立和抛物线的表达式得：，
即；
令得：，此时，
的范围是或．
【点睛】本题考查了二次函数综合问题，待定系数法求二次函数解析式，角度问题，全等三角形的判定与性质，二次函数与一次函数综合．
19．(1)
(2)4，
(3)或
【分析】本题属于二次函数综合题，主要考查二次函数的图象与性质，等腰三角形的性质、面积的计算等，分类求解是解题的关键．
（1）由抛物线与x轴交于点和点，设交点式计算即可求解；
（2）过点作轴交于点，由面积，即可求解；
（3）当点在上方时，则点和点关于抛物线对称轴对称，即可求解；当点在下方时，由，求出点，即可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点和点，
∴抛物线的表达式为：，
则，
解得：，
则抛物线的表达式为：；
（2）解：过点作轴交于点，
当时，，
∴，
由设直线的表达式为：，代入点得：，解得：，
∴直线的表达式为：，
设点，则点，
则面积，
，
∴面积有最大值，
当时，面积的最大值为4，此时点D的坐标为；
（3）解：存在．
如图2，
当点在上方时，
，
平行于轴，
则点和点关于抛物线对称轴对称，
则点；
当点在下方时，
设交轴于点，设点，
，
，
，
解得：，
即点，
由设直线的表达式为：，代入点得：，解得：，
∴直线的表达式为：，
联立，得到
解得：（舍去）或，
即点的坐标为：，
综上，点的坐标为或．
20．(1)
(2)
(3)当的边与y轴垂直时，E的纵坐标为12，F的纵坐标为26或E的纵坐标为26，F的纵坐标为44；
(4)．
【分析】（1）用待定系数法可得抛物线的解析式为；
（2）求出抛物线的顶点为，对称轴为直线，根据点E与抛物线顶点重合，E，F在抛物线上，横坐标分别为，知，故，在中，令得；
（3）分两种情况：当轴时，由A，D关于抛物线的对称轴对称，，抛物线的对称轴为直线，可得；即知，故，，在中，令求出y值即得E，F的纵坐标；当轴时，同理可得答案；
（4）根据点C，D，E，F在抛物线上，其横坐标分别为m，，，，可得，，，，而，，，可求出，，，观察即可得答案．
【详解】（1）解：把代入得：
，
解得
∴抛物线解析式为；
（2）解：，
∴抛物线的顶点为，
∵点E与抛物线顶点重合，E，F在抛物线上，横坐标分别为，，
，
，
在中，令得：，
；
（3）解：当轴时，如图：
∴A，D关于抛物线的对称轴对称，
，抛物线的对称轴为直线，
；
∵D在抛物线上，横坐标分别为，
，
，
在中，令，
得，
，
在中，令，
得，
；
当轴时，如图：
同理可得，
，
，
在中，令，
得，
；
在中，令，
得，
；
综上所述，当的边与y轴垂直时，
E的纵坐标为12，F的纵坐标为26或E的纵坐标为26，F的纵坐标为44；
（4）解：，理由如下：
∵点C，D，E，F在抛物线上，
其横坐标分别为m，，，，
，，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，二次函数图象上坐标的特征，整式的加减等知识，解题的关键是用含m的代数式表示相关点坐标和分类讨论思想的应用．
21．(1)抛物线的解析式为，顶点的坐标为
(2)当时，点P的坐标为或
(3)
【分析】（1）利用待定系数法即可求出抛物线解析式，再化为顶点式即可得出顶点M的坐标；
（2）分两种情况：当点在上方时，连接；当点在下方时，连接，交轴于；分别求解即可得解；
（3）待定系数法求出直线的解析式为，作轴，交于，设，则，求出，证明，得出，结合，得出，再由二次函数的性质即可得解．
【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点、两点，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为，
∵，
∴顶点的坐标为；
（2）解：在中，当时，，则，
如图，当点在上方时，连接，
∵，
∴，
∴，
在中，令，则，
解得：或（不符合题意，舍去），
∴此时；
如图，当点在下方时，连接，交轴于，
，
∵，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理可得：，
∵，，
∴，
∴，
解得：，
∴，
设直线的解析式为，
将，代入解析式为，
解得：，
∴直线的解析式为，
联立得，
解得：或（不符合题意，舍去）
当时，，
∴此时；
综上所述，当时，点P的坐标为或；
（3）解：设直线的解析式为，
将，代入解析式可得，
解得：，
∴直线的解析式为，
如图，作轴，交于，
设，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴当时，取得最大值，此时，即．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数综合—角度问题、相似三角形的判定与性质、求一次函数解析式，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键．
22．(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）将点和点代入得到关于、的二元一次方程组，求解即可；
（2）先确定直线的解析式，设点，则点，根据三角形的面积公式列出函数解析式求解即可；
（3）分两种情况求解：当点在轴上方时和当点在轴下方时．
【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点和点，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）如图1，过点作轴交线段于点，垂足为点，
∵抛物线与轴交于点，
当时，，
∴，
设直线的表达式为，过点，，
∴，
解得：，
∴直线的表达式为，
设点，则点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴当时，的面积有最大值，面积的最大值为；
（3）如图2，当点在直线的上方的抛物线上时，
∵，
∴，
∴点，的纵坐标相等，即点的纵坐标为，
当时，则，
解得，，，
∴，
如图3，当点在直线的下方的抛物线上时，
设交轴于点，
∵，
∴，
设，
∴，
在中，，
∴，
解得：，
∴，
∴，
设直线的解析式为，过点，，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为，
联立，
解得：， ，
∴，
综上所述，点D的坐标为或．
【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式，二次函数与坐标轴的交点，平行线的判定，勾股定理，等腰三角形的判定，二次函数与几何综合，数形结合是解题的关键．
23．(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）先求出，，过点D作轴交于点H，再求出的函数关系式为，进而求出，则，则；
（3）由题意知，，则，由抛物线沿方向平移个单位，可知抛物线沿x轴负半轴平移2个单位，沿y轴正方向平移2个单位，则平移后的函数解析式为，求出，；进而求出直线的解析式为；设，当轴时，直线与直线所成夹角为，如图2，由对称与平行的性质可得，，则，，由，解得或（舍去），则；当于时，直线与直线所成夹角为，如图3，则，，由勾股定理得，，证明，得到，即，可得，则，再由，得到，解得或（舍去），则．
【详解】（1）解：∵抛物线交x轴于点，，
∴把点，分别代入，得，
解得，
∴抛物线解析式为；
（2）解：在中，当时，，
∴，
∵抛物线解析式为，
∴点D的坐标为．
过点D作轴交于点H，如图所示：
设的函数关系式为，
把，代入得：，
解得，
∴的函数关系式为，
∵轴
∴，
在中，当时，，
∴，
∴，
∴；
（3）解：由题意知，，
∴，
∵抛物线沿方向平移个单位，
∴抛物线沿x轴负半轴平移2个单位，沿y轴正方向平移2个单位，
∴平移后的函数解析式为，
在中，当时，，
解得，，
∴，
在中，当时，，即；
设直线的解析式为，
将代入得，，
解得，
∴直线的解析式为；
设，
当轴时，直线与直线所成夹角为，如图2，
由对称与平行的性质可得，，
∴，
∴，
∴，
解得，或（舍去），
∴；
当于时，直线与直线所成夹角为，如图3，
∴，，
由勾股定理得，，
∵，
∴，
∴，即，
解得，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得或（舍去），
∴，
综上所述，或．
【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，勾股定理，相似三角形的性质与判定，平行线的性质与判定，折叠的性质，二次函数图象的平移等知识，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
24．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据待定系数法，把点，，代入，求出b、c即可；
（2）过点P作交直线于点H，根据，代入相应点的坐标即可求出答案；
（3）过点C作交轴于点K，将转化为，证明，得到，点坐标为，由此可得直线解析式为，进而得出，联立抛物线与直线解析式求出点，即可求解
【详解】（1）解：将点，，代入得
解得，
∴抛物线的解析式为．
（2）∵时，，，
∴点，设直线解析式，得，解得，
∴直线解析式，
∵点Р在抛物线上，
∴，
过点P作轴，交延长线于点H，则，
∴．
．
（3）过点C作交轴于点K，
∴，
又∵，，
∴，
∵，
∴顶点坐标为，
设直线解析式，得，解得，
∴直线的解析式为，
∴直线与x轴的交点为，
∴，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴点坐标为，设直线解析式，得，解得，
∴直线解析式为，
设直线解析式为，把得，解得，
∴设直线解析式为，
联立抛物线与直线解析式得：
，解得，，
∴点，
∴
【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数的解析式、函数图象上点的坐标特点、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质，综合性较强，熟练掌握上述知识、合理添加辅助线、灵活应用数形结合思想是解题的关键．
