2025年中考数学压轴题专练：二次函数综合（线段周长问题）
1．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点D是抛物线的顶点，连接，求的面积；
(3)若点P是抛物线上的动点，过点P作轴于点E，交直线于点F，过点F作轴于点G，是否存在一点P，使得线段的长度最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
2．如图，抛物线与轴交于、两点（左右），交轴于点，直线分别交抛物线于、，连接，且，．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点为第二象限抛物线上一点，过点作轴的平行线交直线于．设点的横坐标为，线段的长力；求与的函数关系式；（不要求写出自变量取值范围）．
(3)在（2）的条件下，过点作，垂足为，过点作，垂足为，若．求点的坐标．
3．如图，已知抛物线与轴交于A，B两点，与轴交于点，，顶点为．
(1)求抛物线的解析式．
(2)在对称轴上找一点，使的周长最小，求出此时点的坐标及的周长．
(3)抛物线上是否存在一点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，连接．
(1)求抛物线的解析式；
(2)判定的形状；
(3)点是直线上方抛物线上一动点，过点作轴交于点，作交于点，求的最大值及此时点P的坐标．
5．已知抛物线与轴交于点（点A在点B左侧），与y轴负半轴交于点C．
(1)如图1，若
①求点A、点C的坐标．
②若抛物线上有一点，，求点的坐标
(2)如图2，经过点的直线交抛物线于两点，连接，分别交y轴于点，求的值．
6．如图，抛物线交轴于点和点，交轴于点．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)如图，若点是线段上的一动点，作轴，交抛物线于点，当最大时，在抛物线对称轴上找一点，使的值最小，求出此时点的坐标；
(3)若点在直线上的运动过程中，是否存在点，使为等腰三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
7．如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，与y轴交于点．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)点C是直线上方抛物线上的一个动点（不与A，B重合），过点C作x轴的垂线交直线于点D，当，求此时C点的坐标；
(3)将抛物线沿射线平移个单位，得到新的抛物线，点E为点B的对应点，点F为的对称轴上任意一点，在上确定一点G，使得以点B，E，F，G为顶点的四边形是平行四边形，直接写出所有符合条件的点G的坐标．
8．【综合探究】
如图，抛物线 与轴交于， 两点，与轴交于点， 作直线， 其中点， 点． 若点在线段上运动（点 不与点，重合）， 过点作轴的垂线，交抛物线于点，交轴于点．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)若，求此时点的坐标；
(3)是否存在点使得为等腰直角三角形？ 若存在，请求出点的坐标； 若不存在，请说明理由．
9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，经过点A的直线与抛物线交于点，与y轴交于点E．
(1)求抛物线的函数解析式和顶点P的坐标；
(2)连接，求的面积；
(3)若M是线段上一动点，N是线段上一动点，且，请直接写出的最小值．
10．如图1，在平面直角坐标系中，直线与抛物线（b，c是常数）交于A、B两点，点A在x轴上，点B在y轴上．设抛物线与x轴的另一个交点为点C．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)如图1，直线上方抛物线上是否存在点M，使得的面积等于3，若存在，写出点M的坐标，若不存在，请说明理由．
(3)P是抛物线上一动点（不与点A、B重合），如图2，若点P在直线上方，连接交于点D，记，的面积分别为，，求的最大值．
11．如图，二次函数的图像与轴交于点、两点，与轴交于点，点为的中点．
(1)求二次函数的表达式；
(2)若点为直线上方抛物线上一点，过点作轴，垂足为，与分别交于点两点，设点的横坐标为．
①用含的代数式表示线段的长度；
②若，求此时点的坐标；
(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点，使，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
12．如图，抛物线与轴交于点，点（在的左侧），与轴相交于点，、的坐标分别为：、，连接、．
(1) 求抛物线的解析式；
(2)如图1，点是第一象限内抛物线上的动点，过点作，交直线于点，过点作轴，交轴于点，点为直线上一动点，当最大时，求的最小值；
(3)将该抛物线沿射线方向平移个单位，点为平移后抛物线对称轴上一动点，连接、，当时，请写出所有符合条件的的坐标，并写出其中一个点的求解过程．
13．在平面直角坐标系中，抛物线经过，两点，与轴交于点，点是抛物线上一动点，且在直线的上方．
(1)求抛物线的表达式．
(2)如图1，过点作轴，交直线于点，若，求点的坐标．
(3)如图2，连接，，，与交于点，过点作交于点．记，，的面积分别为，，．求的最大值．
14．如图,抛物线与x轴交于两点．点P为抛物线上任意一点,其横坐标为,过点P作轴,点Q的横坐标为．
(1)求a,b的值；
(2)当点Q在抛物线上时,求m的值；
(3)当线段与抛物线有两个公共点时,直接写出m的取值范围；
(4)过点P作轴,点M的纵坐标为,且点M与点P不重合．连接 ,当抛物线在内的部分对应的函数值y随x的增大而减小时,直接写出m的取值范围．
15．已知抛物线与轴相交于A、B两点，并与直线交于B、C两点，其中点是直线与轴的交点，连接．
(1)点的坐标是______，点的坐标是______．
(2)求抛物线的解析式；
(3)设点是线段上的一个动点（不与点B、C重），直线轴，交抛物线与点，问点运动到何处时，线段的长最大？并求出的长的最大值，
16．已知抛物线交轴于，两点，顶点为点，点为的中点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，连接，点为线段的中点，过点作，垂足为点，交抛物线于点，求线段的长；
(3)点为线段上一动点（点除外），在右侧作平行四边形．
①如图2，当点落在抛物线上时，求点的坐标；
②如图3，连接，，直接写出的最小值．
17．如图1，已知抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点．
(1)求该抛物线所对应的函数关系式；
(2)已知点是抛物线的顶点，点是线段上的一个动点（与点、不重合），过点E作轴于点，交抛物线于点．
①求四边形的面积；
②求的边上的高的最大值；
③如图2，在②的条件下，在x轴上是否存在点G，使得的值最小？若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由．
18．在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于，两点，与y轴交点C．
(1)求抛物线与直线的解析式；
(2)若点P是直线上方抛物线上的一动点，过点P作轴于点F，交直线于点D，求线段的最大值；
(3)点M为抛物线上一动点，在x轴上是否存在点Q，使以A、C、M、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．
19．如图，抛物线交轴于点和点，交轴于点．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)若点在抛物线上，且，求点的坐标；
(3)若点为该拋物线对称轴上一点，当最小时，求点的坐标．
20．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点P是直线下方对称轴右侧抛物线上一动点，过点P作轴交抛物线于点D，作于点E，求的最大值及此时点P的坐标；
(3)将抛物线沿射线方向平移个单位，在取得最大值的条件下，连接交y轴于点M，平移后的抛物线上是否存在一点N，使得，若存在，直接写出符合条件的N点坐标，若不存在，请说明理由．
21．已知直线分别交x轴、y轴于点A、B，抛物线过A，B两点，交x轴负半轴于点G．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在该抛物线对称轴上找一点H，使周长最小，求出点H的坐标和周长的最小值；
(3)如图，点P是直线上一动点，过点P作轴于点C，交抛物线于点D，设抛物线顶点为M，抛物线对称轴交于点N，是否存在点P，使四边形为菱形？并说明理由；
(4)如图2，点在y轴上，连接，抛物线上若存在一点F，使与互补，请直接写点F的横坐标．
22．如图，已知抛物线的图象与x轴交于A和两点，与y轴交于，直线经过点B，且与y轴交于点D，与抛物线交于点E，与对称轴交于点F．
(1)求抛物线的解析式和m的值；
(2)在抛物线的对称轴上找一点P，使的值最小，求满足条件的点P的坐标．
(3)在x轴上有M、N两点（M在N的右侧），且，若将线段在x轴上平移，当它移动到某一位置时，四边形的周长会达到最小，请求出周长的最小值（结果保留根号）．
《2025年中考数学压轴题专练：二次函数综合（线段周长问题）》参考答案
1．(1)
(2)3
(3)或
【分析】本题主要考查了求抛物线解析式、二次函数的性质、二次函数与图形面积的综合、二次函数与线段的综合等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键．
（1）直接运用待定系数法求解即可；
（2）根据（1）所得的解析式可得，再运用待定系数法求得直线的解析式为，再求得抛物线的顶点坐标为，如图：过点D作轴，交直线于点H，则，即；然后再求的面积即可；
（3）设，由题意可得四边形是矩形，则；当线段的长度最小时，只需最短即可，进而得到，然后根据二次函数的性质可得点，进而得到点P、F的纵坐标相同，即，解得，然后求得点P的坐标．
【详解】（1）解：将、两点代入可得：
，解得：，
∴抛物线的解析式为：．
（2）解：∵抛物线与y轴交于点C．
∴，
设直线的解析式为，
∴，解得：，
∴直线的解析式为：，
∵，
∴顶点D的坐标为，
如图：过点D作轴，交直线于点H，
∴，
∴，
∴；
（3）解：存在，
∵点F在直线上，
∴设，
由题意得，四边形是矩形，
∴，
∴当线段的长度最小时，只需最短即可，
∴，
∵，
∴存在最小值（即最小），
∵抛物线的对称轴为，
∴点，
∵过点P作轴于点E，交直线于点F，
∴点P、F的纵坐标相同，
∴，解得：，
∴点P的坐标为或．
综上所述，满足条件的P点坐标为或．
2．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）首先确定两点坐标，利用待定系数法即可解决问题；
（2）表示出利点坐标，即可解决问题；
（3）延长交于，作轴交于，交于，作轴交于，得到是等腰三角形，得出，直线的解析式为，首先证明，得出，，得出，推出，解方程即可解决问题．
【详解】（1）解：∵在上，，
设，
则，
解得：（舍去）或，
∴，
∵，
，
把、坐标代入抛物线得，
解得：，，
∴抛物线解析式为．
（2）解：如图，作轴交于，交于，交轴于，
由题意可得，，
∴．
（3）解：延长交于，作轴交于，交于，作轴交于，
∵，，
设直线的解析式为，
则，解得：，
∴直线的解析式为：，
∵在上，，，
∴是等腰直角三角形，
又，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴为中点，
∵轴，
∴，
∴，，
∵的横坐标为2，且在直线上，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
解得：，
∵在第二象限，
∴正值舍去，
∴，
∴．
【点睛】本题考查二次函数综合题，一次函数的应用，直角三角形的性质，相似三角形的性质和判定等知识，解题关键是学会添加常用辅助线，学会利用参数解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
3．(1)
(2)，
(3)存在，或或
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数综合—周长问题、二次函数综合—面积问题，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用数形结合与分类讨论的思想是解此题的关键．
（1）由题意可得，，再利用待定系数法求解即可；
（2）连接交抛物线对称轴于，此时，的周长最小，求出直线的解析式和抛物线的对称轴，从而可得点的坐标，再求出，即可得解；
（3）设，由题意并结合可得，分情况求解即可．
【详解】（1）解：由题图及，得，．
把A，C坐标带入中，，
解得：，
故．
（2）解：连接交抛物线对称轴于，此时，
∴，此时的周长最小，
∵，
∴对称轴为直线，
∴由二次函数对称性可得，
设直线的解析式为，
将，代入解析式可得：，
解得：，
∴直线的解析式为，
当时，，即，
由，，，得，．
故的周长最小值为．
（3）解：在中，边上的高为，又，则在抛物线上到的距离为3的点均满足条件．如图，设，由在轴上，得．
①当时，即，解得；
②当时，即，解得或0（与点重合，舍去）．
故点存在，其坐标为或或．
4．(1)
(2)直角三角形
(3)，
【分析】（1）先求出点C的坐标，再利用待定系数法即可解答；
（2）解直角三角形，求出，，进而求出，即可得出结论；
（3）求出直线BC的解析式为，求出，设，则，得到，利用二次函数的性质即可解答．
【详解】（1）解：当时，，得
又抛物线过点
设抛物线表达式
得
抛物线的解析式为；
（2）解：在中，
在中，
为直角三角形；
（3）解：设直线BC的解析式为，则，
解得，
直线BC的解析式为
，
，
，
设，则
，
∴当时，有最大值为，此时点P坐标为．
【点睛】本题考查二次函数的综合题，涉及解析式，二次函数的性质，解直角三角形，熟练运用数形结合的思想是解题的关键．
5．(1)①，②；
(2)．
【分析】（）将代入抛物线得，分别令，，即可得出、、三点的坐标；
过作交于点，作轴于点，证明，可得，用待定系数法求出直线的解析式，与抛物线联立解即可得出的坐标；
（）由题意，可得，，设，，因为直线过点，可得其解析式为，与抛物线联立并消去，得：，所以，，作轴于点，作轴于点，证明，可得，同理，代入计算，即可得出是一个定值；
本题考查二次函数的性质，用待定系数法求一次函数的解析式，相似三角形的判定和性质，一元二次方程根与系数的关系，解题的关键的是通过相似三角形用坐标表示出线段，的长．
【详解】（1）当时，，
当时，，
当时，，
解得：或，
∴，
如图，过作交于点，作轴于点，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
联立，解得（舍去），或，
则，
∴；
（2）由，
当时，，
解得或，
∴，，
∵过点作一直线交抛物线于、两点，
设直线的解析式为，，，
∴，，
∴直线的解析式为，
联立，
消去，得：，
∴，，
如图，作轴于点，作轴于点，
则，
∴，即，
∴，
同理，，
∴．
6．(1)
(2)
(3)存在，点的坐标为或或或
【分析】（）利用待定系数法解答即可；
（）利用待定系数法求出直线的解析式为，设，则，可得，得到当时，取最大值，即得，连接，与对称轴相交于点，则此时的值最小，再利用待定系数法求出直线的解析式为，最后把代入计算即可求解；
（）设，根据等腰三角形的定义，利用两点间距离公式分三种情况解答即可求解；
本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的几何应用，等腰三角形的定义，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
【详解】（1）解：把、代入得，
，
解得，
∴抛物线的函数表达式为；
（2）解：设直线的解析式为，把、代入得，
，
∴，
∴直线的解析式为，
设，则，
∴，
∵，
∴当时，取最大值，
∴，
连接，与对称轴相交于点，则此时的值最小，
∵，
∴对称轴为直线，
∵，
∴，
设直线的解析式为，把、代入得，
，
解得，
∴直线的解析式为，
把代入得，，
∴；
（3）解：存在．
设，
当时，，
解得或，
∴或；
当时，，
解得或（不合舍去），
∴；
当时，，
解得，
∴；
综上，点的坐标为或或或．
7．(1)
(2)或
(3)或或
【分析】本题考查二次函数的图像和性质，掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键．
（1）由待定系数法即可求解；
（2）先求出直线的解析式，设 则点即可得到，即可求解；
（3）当为对角线时，由中点坐标公式得：；当或为对角线时，列方程求出值解题．
【详解】（1）解：由题意得：，
解得：，
故抛物线的表达式为：；
（2）解：设直线AB的解析式为，
则，解得，
∴直线的表达式为：
设则点
∴，
解得：
则点或
（3）解：将抛物线沿射线平移个单位，即向左平移个单位向上平移个单位，则，
∴点对应的点，
设点， 点，
当为对角线时，由中点坐标公式得：， 则，
即点；
当或为对角线时，
同理可得： 或，
解得：或，
即点或；
综上， 或或．
8．(1)；
(2)；
(3)存在，点的坐标为或．
【分析】（）把点， 点代入即可求解；
（）由抛物线的解析式为，求出，再利用待定系数法求出直线解析式为，设，则，，故有，，再通过列出方程，然后解方程即可；
（）分当时和当时两种情况分析即可；
本题考查了二次函数的图象与性质，一次函数的性质，一元二次方程，掌握这些知识点的应用是解题的关键．
【详解】（1）解：∵抛物线过点，点，
∴，解得：，
∴该抛物线的解析式为；
（2）解：由（）得：抛物线的解析式为，
当时，，
解得：，，
∴，
设直线解析式为，
∴，解得：，
∴直线解析式为，
设，则，，
∴，，
∵，
∴，整理得：，
解得：，（舍去），
当时，，
∴点的坐标为；
（3）解：存在，理由：
∵，，
∴，
∴，
∵轴，
∴，
∴；
当时，，如图，
∴，解得：，（舍去），
∴此时；
当时，如图，作于点，则有，
∴，解得：，（舍去），
∴此时；
综上可知：点的坐标为或．
9．(1)，顶点；
(2)的面积；
(3)的最小值为．
【分析】本题主要考查了二次函数的解析式的求法，函数与几何的综合，函数与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系，解决相关问题．
（1）由待定系数法求出函数表达式，进而求解；
（2）先求得直线的表达式，得到点，再求得点，根据三角形面积公式即可求解；
（3）过点E作轴且使，证明，得到，即可求解．
【详解】（1）解：由题意得：，
解得：，
则抛物线的表达式为：，
则顶点；
（2）解：设直线的表达式为：，
由点A、D的坐标得，，
解得，
∴直线的表达式为：，则点，
令，即，
解得或，
∴点，
∴，，
∴的面积；
（3）解：过点E作轴且使，
则，
∵，
则，
则，
则，
故当O、N、H共线时，最小，
则，
的最小值为．
10．(1)
(2)存在，，
(3)
【分析】（1）由直线与两坐标的交点可得，，然后利用待定系数法求解即可；
（2）在图1中，过点M作交直线于点N，设，则，，利用坐标与图形可得，由求得t值，进而可求解；
（3）过点P作交直线于点E，则，所以，设点 ，利用坐标与图形可得，利用二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解： 直线与坐标轴交于A、B两点，
当时，，当时，，
，，
将A、B代入抛物线，得
，解得 ，
抛物线的解析式为：．
（2）解：存在．
在图1中，过点M作交直线于点N，
依题意，设，则，，
，
∴，
由得，
解得，，
当时，，则；
当时，，则，
综上，存在点M，使得的面积等于3，此时，；
（3）解：在图2中，过点P作交直线于点E，则，
，则，
设点 ，
，
，
，
∵，，
∴当时，有最大值，最大值为．
【点睛】本题是二次函数与一次函数的交点问题，考查了用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，坐标与图形，相似三角形的判定与性质，解一元二次方程等知识，解题的关键是添加合适的辅助线构造．
11．(1)
(2)① ②
(3)存在，，
【分析】（）利用交点式解答即可求解；
（）①先求出直线的表达式，设点的坐标为，可表示点的坐标，再把纵坐标相减即可表示线段的长度；②先求出直线的表达式，表示出点的坐标，进而表示出线段的长，利用等式建立方程，求解即可；
（）先得出抛物线的对称轴为直线，取的中点为，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半可得，，由此建立方程，求解即可．
【详解】（1）解：∵与轴交于点，两点，
∴抛物线的表达式为，
即；
（2）解：①∵二次函数，
∴，
设直线的解析式为，
把、代入得，
，
∴，
∴直线的表达式为，
∵，
∴，
∴；
②∵为的中点，
∵，
∴，
设的表达式为，把、代入得，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴（舍去），，
∴；
（3）解：存在．
∵，，
∴对称轴为直线，
设，
∵，，
∴的中点，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的几何应用，中点坐标公式，两点间距离公式，直角三角形斜边中线等于斜边的一半，利用待定系数法求出函数解析式是解题的关键．
12．(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）运用待定系数法把点代入解析式，求二元一次方程组的解，即可求解；
（2）过作轴交于，交于，延长交于，由三角函数得 ，，可求，由待定系数法得直线的解析式为，设，，表示出、，由，，，由二次函数的性质求出；如图，过作轴，过作，过作轴交于，作交于，由相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质得，可求，从而可得 ，当、、三点共线时，的值最小，即可求解；
（3）由，该抛物线沿射线方向平移个单位，该抛物线向左平移个单位长度，由平移的性质得平移后的对称轴为直线，①当在轴上方时，过作轴交于，过作轴交于，交于，
由相似三角形的判定方法得，由相似三角形是性质得，可求
，设，则，同理可证，由相似三角形是性质得
，由勾股定理得，即可求解；②当在轴下方时，同理可求．
【详解】（1）解：抛物线与轴交于，，
∴，
解得，，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：如图，过作轴交于，交于，延长交于，
轴，
，
当时，，
∴，
∴，，
，
在中，
，
，
，
，
，
，
设直线的解析式为，则有
，
解得：，
直线的解析式为，
设，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
当时，
取最大值，
，
，
如图，过作轴，过作，过作轴交于，作交于，
轴，
四边形、、均是矩形，
，
，
，
，
在中，
，
，
，
，
，
如图，
当、、三点共线时，的值最小，
此时，
的最小值为；
（3）解：，
该抛物线沿射线方向平移个单位，
该抛物线向左平移个单位长度，
，
平移后的对称轴为直线，
①当在轴上方时，
如图，过作轴交于，过作轴交于，交于，
，
四边形、、是矩形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
设，则，
，
，
，
，
，
，
，
，
解得：，（舍去），
，
设，
，
，
在中
，
，
解得：，（舍去），
；
②当在轴下方时，如图，
同理可求： ，
，
解得：，（舍去），
；
综上所述：的坐标为或．
【点睛】本题考查了二次函数综合，待定系数法，二次函数的性质，勾股定理，相似三角形的判定及性质，三角函数等；能根据题意构建相似三角形，并能熟练利用二次函数的性质，勾股定理，相似三角形的判定及性质，三角函数进行求解是解题的关键．
13．(1)
(2)
(3)的最大值为
【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）由（1）可知，则有，然后求出直线的解析式为，然后可设，则有，进而根据可建立方程进行求解；
（3）由题意易得，则有，然后可得，作交y轴于N，作轴交于Q，则有，即，设，则，进而根据相似三角形的性质建立函数关系式，最后根据二次函数的性质可进行求解．
【详解】（1）解：由题意得：，
解得：，
∴抛物线的表达式为；
（2）解：由（1）可知，则令时，，
∴，
设直线的解析式为，则有：
，解得：，
∴直线的解析式为，
设点，
∵轴，
∴轴，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：（此时B，P重合，不合题意舍去），
∴；
（3）解：∵，
∴，
∴，
∴，
，
作交y轴于N，作轴交于Q，
∵直线的解析式为，，
∴直线的解析式为，
将代入，得：，
解得：，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴，
∴，
∵，轴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴，
，
∵，
∴当时，有最大值．
【点睛】此题是二次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数和二次函数解析式、相似三角形的判定和性质、二次函数的图象和性质等知识，数形结合和准确计算是解题的关键．
14．(1)
(2)
(3)或
(4)或
【分析】（1）把，代入，得到关于、的二元一次方程组，求得和即可；
（2）根据点与点的位置，由题意可知它们关于对称轴对称，从而求出的值；
（3）先求出点关于对称轴的对称点的坐标，线段与图象有两个交点，再结合图象，确定的取值即可；
（4）分情况进行讨论，按照m的取值范围，画出图形，根据二次函数的性质，进行判定即可．
【详解】（1）解：把，代入，得：
，
解得：；
（2）解：∵抛物线的解析式，
抛物线的对称轴是：，
轴，且点在抛物上，
点和点关于抛物线对称轴对称，
，
解得：；
的值为；
（3）解：点的横坐标为，
点关于对称轴的对称点的横坐标为；
①当时，，
解得：，
；
②当时，只有一个交点，显然不符合题意；
③当时，，
解得：，
；
综上分析可知：或；
（4）解：当点与点重合时，，解得：或
当时，点M在x轴下方，
由解析（3）可知，当时，线段与抛物线有两个交点，如图所示：
此时抛物线在内有两部分，对称轴右侧部分，不符合题意；
当时，如图所示：
此时抛物线在内的部分在对称轴左侧，随x的增大而减小，符合题意；
当时，P与M重合，不符合题意；
当时，如图所示：
此时在内没有抛物线；
当时，如图所示：
此时抛物线在内的部分在对称轴左侧，随x的增大而减小，符合题意；
当时，如图所示：
此时抛物线在内的部分在对称轴左侧，随x的增大而减小，符合题意；
当时，
此时抛物线在内有两部分，不符合题意；
综上分析可知，当或时，抛物线在内的抛物线，随x的增大而减小．
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，求二次函数的解析式，数形结合，分类讨论是解题的关键．
15．(1)；
(2)
(3)当点E运动到点时，有最大值，最大值为2
【分析】本题主要考查了二次函数与一次函数综合：
（1）在中分别求出自变量为0时的函数值，函数值为0时的自变量的值即可得到答案；
（2）根据（1）所求利用待定系数法求解即可；
（3）设出点E的坐标，进而表示出点F的坐标，则可表示出线段的长，利用二次函数的性质求出线段最长时点E的坐标即可得到答案．
【详解】（1）解：在中，当时，，当时，，
∴，；
（2）解：把，代入中得：，
∴，
∴抛物线解析式为；
（3）解：设，
∵直线轴，
∴，
∴，
∵，
∴当，即时，有最大值，最大值为2，
∴此时点E的坐标为，
∴当点E运动到点时，有最大值，最大值为2．
16．(1)；
(2)
(3)①点；②最小值为
【分析】本题考查了待定系数法求函数的解析式，中点坐标公式，平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理，利用轴对称的性质求线段和的最小值，熟练掌握平行四边形的性质，轴对称的性质是解题的关键．
（1）根据顶点为，设抛物线，把代入解析式，计算求解即可；
（2）根据顶点为．点为的中点，得到，当时，，得到，结合，垂足为，得到．
（3）①根据题意，得，结合四边形是平行四边形，，所以点的纵坐标和点相同，结合点落在抛物线上，得到，解得即可；②设点，则点，过点作直线轴，作点F关于直线l的对称点，连接，利用平行四边形的判定和性质，勾股定理，矩形判定和性质，计算解答即可．
【详解】（1）解：由题意得，，
将点的坐标代入得，
，
解得，，
∴抛物线的解析式为，
即；
（2）解：如图1，∵，，点是的中点，
∴点的坐标为，
当时，，
∴点，
∵点的坐标为，
则；
（3）解：①如图2，∵四边形是平行四边形，
∴，
∵点，
∴当时，，
解得：，（舍），
∴点；
②设点，则点，
如图3，过点作直线轴，
作点F关于直线l的对称点，连接，
则，
当，，三点共线时，为最小，
由定点，的坐标得，直线的表达式为：，
将点的坐标代入上式得：，
解得，，
则点，点，
则最小值为：，
即最小值为．
17．(1)
(2)①12；②．③
【分析】（1）根据抛物线与x轴交于，两点，设函数解析式为，再将点代入求解即可．
（2）①先求出抛物线的顶点坐标为，再根据四边形的面积计算即可；
②求出直线的解析式为：，求出，设的边上的高为，设点E为，则，在中，，即可求出答案；
③以点A为顶点作，过点G作于点M，得到三点共线时，有最小值，即为的长，此时点G在点的位置，利用解直角三角形求出答案即可．
【详解】（1）∵抛物线与x轴交于，两点，
∴设该抛物线的解析式为：．
∵过点，
∴，
解得，
∴该抛物线的解析式为：．
（2）∵，
∴抛物线的顶点坐标为
∴四边形的面积；
即四边形的面积
②设直线的解析式为：，
把点，代入，得
，解得，
∴直线的解析式为：．
∵， ，
∴，
∵，
∴，
∴，
设的边上的高为，如图，
设点E为，则，
则，
在中，，
∵，
∴当时，有最大值，最大值为；
③以点A为顶点作，过点G作于点M，
∴，
∴，即三点共线时，有最小值，即为的长，此时点G在点的位置，
如图：
由可知，当时，，
∴有最大值时，点E的坐标为， 则，
在中，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
即的最小值为
【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，等腰直角三角形的判定和性质，二次函数求最值，解直角三角形，矩形的判定和性质等知识，解题关键是在求等腰直角三角形的存在性时，注意分类讨论的思想的运用，要把所有符合条件的点求全．
18．(1)；；
(2)；
(3)，，，．
【分析】本题主要考查了待定系数法求解析式、二次函数的图象及性质、平行四边形的性质扥知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键．
（1）利用待定系数法即可求得抛物线与直线的函数解析式即可；
（2）设点，则，再得出，然后利用二次函数的性质求最值即可；
（3）分平行于x轴和不平行于x轴两种情况，分别根据平行四边形的判定定理求解即可．
【详解】（1）解：∵二次函数的图象与x轴交于，两点，
∴，解得：，
∴这个二次函数的解析式为；
∵二次函数与y轴交于点C，
∴点C的坐标为
设直线的解析式为，
∵直线经过点
∴，解得：，
∴直线的解析式为．
（2）解：由（1）得，
设点，则，
∴
∴当时，最大，最大值是．
（3）解：存在点Q，使以A、C、M、Q为顶点的四边形是平行四边形．
假设存在点Q，使以A、C、M、Q为顶点的四边形是平行四边形．
①若平行于x轴，如图所示，有符合要求的两个点，，此时．
∵轴，
∴点M、点关于对称轴对称，
∴，
∴，
由，得到，；
②若不平行于x轴，如图：过点M作轴于G，
∵，
∴，
∴，，即，
设，则有，解得：，
又∵，
∴，
∴，．
综上所述，存在点Q，使以A、C、M、Q为顶点的四边形是平行四边形．Q点坐标为：，，，．
19．(1)
(2)点的坐标为或或
(3)
【分析】（）利用待定系数法解答即可；
（）由抛物线解析式可得，即得，设点是纵坐标为，可得，求出的值，再代入抛物线解析式求出点的横坐标即可求解；
（）由抛物线解析式可得抛物线对称轴为直线，连接交对称轴于点，由点关于对称轴对称可得，即得，由两点之间线段最短，可知此时的值最小，利用待定系数法求出直线的解析式，进而即可求解；
本题考查了二次函数的综合应用，待定系数法求二次函数解析式，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
【详解】（1）解：把、代入抛物线得，
，
解得，
∴抛物线的函数表达式为；
（2）解：当时，，
解得，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
设点是纵坐标为，则，
∵，
∴，
解得，
当点是纵坐标为时，，
解得，
∴；
当点是纵坐标为时，，
解得，，
∴或；
综上，点的坐标为或或；
（3）解：∵抛物线，
∴抛物线对称轴为直线，
连接交对称轴于点，
∵点关于对称轴对称，
∴，
∴，
由两点之间线段最短，可知此时的值最小，最小值即为线段的长，
设直线的解析式为，把、代入得，
，
解得，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴．
20．(1)
(2)最大值为 11，
(3)存在，或
【分析】本题主要考查了求二次函数解析式、二次函数与线段的综合、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，灵活运用所学知识成为解题的关键．
（1）直接运用待定系数法求解即可；
（2）如图：过P作轴交直线于H，由二次函数的性质可得点，对称轴为；再通过证明是等腰直角三角形，即，进而得到；再运用待定系数法求得直线的解析式为，设点，则，进而得到，然后运用配方法求最值即可解答；
（3）先直线的解析式为，再求得，然后确定平移后的抛物线解析式为；设，再用两点间距离公式表示出，然后再运用勾股定理列方程求得n即可解答．
【详解】（1）解：将两点代入可得：
，解得：，
∴抛物线的表达式为；
（2）解：如图：过P作轴交直线于H，
∵抛物线的表达式为，
∴点，对称轴为，
∴，
∵，
∴，
∴，即是等腰直角三角形，
∴，
∵轴，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，即，
∴，
设直线的解析式为，
则，解得：，
∴直线的解析式为，
设点，则，
∴，，
∴
，
∴当，即时，的最大值为11．
∴的最大值为11，．
（3）解：如图：设直线的解析式为，
则，解得：，
∴直线的解析式为，
∵连接交y轴于点M，
∴，
∵，抛物线沿射线方向平移个单位，
∴将抛物线向左平移两个单位，向上平移两个单位得到平移后的函数解析式为：，
设，
∵，，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
整理得：，解得：或，
将、代入分别得到，2，
∴ 或．
21．(1)
(2)，
(3)不存在，理由见解析
(4)或
【分析】（1）先由直线分别交轴、轴于点，得出点和点的坐标，再用待定系数法求解抛物线的解析式即可；
（2）二次函数的对称轴直线，对称轴交于点H，点H为所求．求出，由A，G关于直线对称，可得，再求解即可；
（3）不存在点，使四边形为菱形．求得抛物线顶点的坐标，则可求得的长度；设点坐标为，则用含的式子表示出，根据平行四边形的性质可知，由此求得的值，再由两点距离公式求得，由可得答案；
（4）过点作轴于点，则，当时，，结合，可判定，从而可得比例式，再分两种情况：当点在轴右侧时，；当点在轴左侧时，，分别将相关线段的长代入比例式计算即可．
【详解】（1）解：在一次函数中，当时，，
当时，即，得，
点，点，
把，分别代入中得，
，
解之得，
抛物线解析式为：；
（2）解：二次函数的对称轴直线，
对称轴交于点H，点H为所求．
将代入一次函数中，得，
，
∵点A，G关于直线对称，
，
，
，，
；
（3）解：不存在．理由如下：
，
抛物线的顶点，
当时，，
，
，
设P点坐标为，则，
，
，
∴当时，四边形为平行四边形，
即，
解得：（舍去），或
当时，P点坐标为，
，
，
平行四边形不为菱形，
当时，同理可得平行四边形不为菱形，
不存在点P，使四边形为菱形；
（4）解：存在，过点F作轴于点H，则，
当时，，
，
设点，
则，
①当点F在y轴右侧时，，
解之得：，
∵点F在y轴右侧，
②当点F在y轴左侧时，，
，
解之得：，
点F在y轴左侧，
，
综上所述：当点F的横坐标为或时，与互补．
【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了一次函数和二次函数的图象与性质、相似三角形的判定与性质、待定系数法求函数的解析式、平行四边形和菱形的判定等知识点，数形结合、分类讨论以及熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
22．(1)，m的值是3
(2)
(3)
【分析】（1）用待定系数法可得抛物线的解析式，然后代入一次函数解析式即可得m的值；
（2）连接交对称轴于P，点P就是所求的点．根据点B和点C的坐标求出直线的解析式，进而求出点P的坐标即可；
（3）由E，F为定点，可得当的和最小时，四边形的周长最小，将点F向右平移2个单位得到F′，作点E关于x轴的对称点，连接与x轴交于点M，过点F作交x轴于点N，则，，而，M，三点共线，故此时的值最小，可得，，，，从而求出E'F'，，即知四边形周长的最小值为．
【详解】（1）解：把，代入得：
，
解得，
∴；
把代入得：
，
解得，
∴抛物线的解析式为，m的值是3；
（2）如图1，连接交对称轴于P，
∵A，B关于对称轴对称，
∴，
∴，
∴的最小值为，
∴点P就是所求的点．
∵抛物线解析式为，
∴抛物线的对称轴为直线，
设直线的解析式为，将，代入得：
，
解得：，
∴直线的解析式为，
把代入得：，
∴点P的坐标为；
（3）∵E，F为定点，
∴线段的长为定值，
∴当的和最小时，四边形的周长最小，
将点F向右平移2个单位得到，作点E关于x轴的对称点，连接与x轴交于点M，过点F作交x轴于点N，如图2：
作图可知，，，
∵，M，三点共线，
∴，此时的值最小，
∵，
∴抛物线对称轴为直线，
∵点F为直线与的交点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴四边形周长的最小值为．
【点睛】此题考查二次函数的图象与性质、待定系数法求函数解析式、勾股定理、轴对称最短问题，掌握待定系数法，利用轴对称图形的性质添加辅助线，构造线段和的最小值，是解题的关键．
