2025年中考数学压轴题专练：新定义问题
1．对于任意实数a，b，定义一种新运算：，例如：，．根据上面的材料，请完成下列问题：
(1)___________，___________；
(2)若，求x的值．
2．定义两种新运算，规定：，，其中，为实数且．
(1)求的值；
(2)化简．
3．对任意实数定义一种新运算“ ”，规定：．如：．
(1)求的值；
(2)已知x为的整数部分，化简并求值：；
(3)若比小，请直接写出一个满足条件的m值．
4．观察下列各式：定义一种新运算“”：
，
，
，
，
，……
(1)写出一般性结论：________________；
(2)如果，那么__________（填“”或“”）；
(3)先化简，再求值：．其中，．
5．对有理数a，b，定义一种新运算T：规定．例如．
(1)求的值；
(2)求的值．
6．学习情境·新定义观察下列两个等式：，给出定义：我们称使等式成立的一对有理数a，b为“共生有理数对”，记为（a，b），如数对，都是“共生有理数对”．
(1)判断数对是否为“共生有理数对”，并说明理由；
(2)若是“共生有理数对”，且求的值；
(3)若是“共生有理数对”，则是“共生有理数对”吗？请说明理由．
7．对于有理数a，b，定义了一种新运算“※”为
如：．
(1)计算：① ，② ；
(2)若是关于x的一元一次方程，且方程的解为，求m的值；
(3)若，且，求的值．
8．新定义：我们把抛物线（其中）与抛物线称为“关联抛物线”．例如：抛物线的“关联抛物线”为：．已知抛物线的“关联抛物线”为．
(1)写出的解析式（用含的式子表示）及顶点坐标；
(2)若，过轴上一点，作轴的垂线分别交抛物线，于点，．
①当时，求点的坐标；
②当时，的最大值与最小值的差为，求的值．
9．对x，y定义一种新运算T，规定（其中a、b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：．
(1)已知，．
①求a、b的值；
②若关于m的不等式组恰好有3个整数解，求实数p的取值范围；
(2)若对于任意实数x、y都成立[这里和均有意义]，则a、b应满足怎样的关系式？
10．已知函数与函数，定义新函数．
(1)若，则新函数_______；
(2)若新函数y的表达式为，则_______，_______；
(3)设新函数y顶点为．
①当k为何值时，n有大值，并求出最大值；
②求n与m的函数表达式．
11．新定义：已知关于x的一元二次方程的两根之和与两根之积，分别是另一个一元二次方程的两个根，则一元二次方程称为一元二次方程的“再生韦达方程”，一元二次方程称为“原生方程”．
比如：一元二次方程的两根分别为，则，所以它的“再生韦达方程”为．
(1)已知一元二次方程，求它的“再生韦达方程”；
(2)已知“再生韦达方程”，求它的“原生方程”．
12．新定义：我们把抛物线（其中与抛物线称为“关联抛物线”，例如，抛物线的“关联抛物线”为已知抛物线：的“关联抛物线”为，与y轴交于点E．
(1)若点E的坐标为，求的解析式；
(2)设的顶点为F，若△OEF是以OF为底的等腰三角形，求点E的坐标；
(3)过x轴上一点P，作x轴的垂线分别交抛物线，，于点M，N．
①当MN=6时，求点P的坐标；
②当时，的最大值与最小值的差为2a，求a的值．
13．定义：在平面直角坐标系中，点是某函数图象上的一点，作该函数图象中自变量大于m的部分关于直线的轴对称图形，与原函数图象中自变量大于或等于m的部分共同构成一个新函数的图象，则这个新函数叫做原函数关于点的“派生函数”．例如：图①是函数的图象，则它关于点的“派生函数”的图象如图②所示，且它的“派生函数”的解析式为．
(1)直接写出函数关于点的“派生函数”的解析式．
(2)点M是函数的图象上的一点，设点M的横坐标为m，是函数G关于点M的“派生函数”．
①当时，若函数值的范围是，求此时自变量x的取值范围；
②直接写出以点为顶点的正方形与函数的图象只有两个公共点时，m的取值范围．
14．新定义：我们把抛物线与抛物线（其中）称为“伴随抛物线”．例如：抛物线的“伴随抛物线”为．已知抛物线的“伴随抛物线”为．
(1)求出的解析式（用含a的式子表示）及顶点坐标；
(2)过x轴上一点P，作x轴的垂线分别交抛物线，于点M，N．当时，求点P的坐标；
(3)当时，的最大值与最小值的差为，求a的值．
15．定义新运算：对于任意实数m、n都有，例如，请根据上述知识解决下列问题．
(1)，求x取值范围；
(2)若，求x的值；
(3)若方程，□中是一个常数，且此方程的一个解为，求□中的常数．
16．定义：若n为常数，当一个函数图象上存在横、纵坐标和为n的点，则称该点为这个函数图象关于n的“恒值点”，例如：点（1，2）是函数图象关于3的“恒值点”．
(1)判断点，，是否为函数图象关于10的“恒值点”．
(2)如图1，抛物线与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），现将抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折，抛物线的其余部分保持不变，所得的新图象如图2所示．
①求翻折后A，B之间的抛物线解析式．（用含b的代数式表示，不必写出x的取值范围）
②当新图象上恰好有3个关于c的“恒值点”时，请用含b的代数式表示c．
17．定义：在平面直角坐标系中，有一条直线，对于任意一个函数，作该函数自变量大于的部分关于直线的轴对称图形，与原函数中自变量大于或等于的部分共同构成一个新的函数图象，则这个新函数叫做原函数关于直线的镜面函数．例如：图①是函数的图象，则它关于直线的镜面函数的图象如图②所示，且它的镜面函数的解析式为，也可以写成．
(1)在图③中画出函数关于直线的“镜面函数”的图象．
(2)函数关于直线的“镜面函数”与直线有三个公共点，求的值．
(3)已知，，，，，，，，函数关于直线的“镜面函数”图象与矩形的边恰好有个交点，求的取值范围．
18．我们定义【a，b，c】为函数的“特征数”，如：函数的“特征数”是【2，-3，5】，函数y=x+2的“特征数”是【0，1，2】，函数y=-2x的“特征数”是【0，-2，0】．
(1)若一个函数的特征数是【1，-4，1】，将此函数的图象先向左平移2个单位，再向上平移1个单位，得到一个图象对应的函数“特征数”是______．
(2)将“特征数”是【0，-，-1】的函数图象向上平移2个单位，得到一个新函数，这个新函数的解析式是______．
(3)在（2）中，平移前后的两个函数图象分别与y轴交于A、B两点，与直线x=-分别交于D、C两点，在给出的平面直角坐标系中画出图形，并判断以A、B、C、D四点为顶点的四边形的形状，且说明理由；
(4)若（3）中的四边形与“特征数”是【1，-2b，】的函数图象有交点，求满足条件的实数b的取值范围．
19．定义：在平面直角坐标系中，点是某函数图象上的一点，作该函数图象中自变量大于m的部分关于直线的轴对称图形，与原函数图象中自变量大于或等于m的部分共同构成一个新函数的图象，则这个新函数叫做原函数关于点的“派生函数”．
例如：图1是函数的图象，则它关于点的“派生函数”的图象如图2所示，且它的“派生函数”的解析式为．
(1)在图3中画出函数关于点的“派生函数”的图象；
(2)点M是函数的图象上的一点，设点M的横坐标为m，是函数H关于点M的“派生函数”．
①当时，若函数值的范围是，求此时自变量x的取值范围；
②直接写出以点为顶点的正方形与函数的图象只有两个公共点时，m的取值范围．
20．定义：对任意一个两位数a，如果a满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，那么称这个两位数为“互异数”，将一个“互异数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，把这个新两位数与原两位数的和与11的商记为．例如：a=12，对调个位数字与十位数字得到新两位数21，新两位数与原两位数的和为21+12=33，和33与11的商为3，所以=3．根据以上定义，回答下列问题：
(1)填空：
①下列两位数：60，63，66中，“互异数”为______；
②计算：______；
(2)如果一个“互异数”b的十位数字是k，个位数字是2（k+1），且=8，求b．
(3)如果m，n都是“互异数”，且．的值是否与有关，请说明理由．
《2025年中考数学压轴题专练：新定义问题》参考答案
1．(1)1；2；
(2)，
【分析】（1）原式利用题中的新定义计算即可求出值；
（2）已知等式利用已知的新定义进行分类讨论并列出方程，再计算求出x的值即可．
【详解】（1），
，
；
故答案为：1；2；
（2）若时，即时，则
，
解得：，
若时，即时，则
，
解得：，不合题意，舍去，
，
【点睛】此题考查了实数的新定义运算及解一元一次方程，弄清题中的新定义是解本题的关键．
2．(1)4
(2)
【分析】本题考查二次根式的混合运算．
（1）根据新定义列式，并利用平方差公式计算即可；
（2）根据新定义列式，并利用平方差公式计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
3．(1)
(2)30
(3)（答案不唯一）
【分析】本题主要考查了有理数混合运算，无理数的估算，解题的关键是理解新定义，列出算式．
（1）根据题干提供的信息列出算式进行计算即可；
（2）根据x为的整数部分，得出，然后把代入列式求解即可；
（3）先求出，，比小，得出m的取值范围，得出答案即可．
【详解】（1）解：∵，
∴
；
（2）解：∵，
又∵x为的整数部分，
∴，
∴
．
（3）解：∵，
，
又∵比小，
∴，
∴，
∴满足条件的m值可以是．（答案不唯一）
4．(1)
(2)
(3)，
【分析】此题考查了新定义，有理数的混合运算，以及整式的加减，
（1）根据已知等式归纳总结得到一般性结论即可；
（2）利用题中的新定义化简，比较即可；
（3）原式利用题中的新定义化简，把a与b的值代入计算即可求出值．
【详解】（1）解：根据题中的新定义得：；
故答案为：；
（2）如果，那么，即；
故答案为：．
（3）
当，时，
原式．
5．(1)
(2)
【分析】此题考查了有理数的混合运算及整式的加减运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．
（1）原式利用题中的新定义计算即可求出值；
（2）原式利用题中的新定义化简即可得到结果．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
6．(1)不是，是，见解析
(2)
(3)不是，见解析
【分析】本题考查有理数的混合运算、“共生有理数对”的定义，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
（1）根据“共生有理数对”的定义即可判断；
（2）根据“共生有理数对”的定义，构建方程即可解决问题；
（3）根据“共生有理数对”的定义即可判断．
【详解】（1）解：不是“共生有理数对”，是“共生有理数对”，
理由：因为，
所以不是“共生有理数对”；因为，
所以是“共生有理数对”；
（2）解：因为是“共生有理数对”，且，
所以，
则，
所以；
（3）解：不是“共生有理数对”，
理由：因为，
又是“共生有理数对”，
所以，
所以，
而不一定等于，
所以不是“共生有理数对”．
7．(1)5，
(2)
(3)
【分析】本题考查了整式的加减运算，解一元一次方程．
（1）根据题中定义代入即可得出；
（2）根据，代入题中定义，解方程即可求解；
（3）先利用整式的加减求得的值，得到，再整体代入即可求解．
【详解】（1）解：根据题意：；
；
故答案为：5，；
（2）解：∵，
∴，
∵
∴，
解得；
（3）解：由题意
，
∵，
∴，即，
∴．
8．(1)，顶点为
(2)①或；②或．
【分析】（1）根据定义将一次项系数与二次项系数互换即可求得解析式，化为顶点式即可求得顶点坐标；
（2）①设，则，，根据题意建立方程解方程即可求解；
②根据题意，分三种情形讨论，根据点距离对称轴的远近确定最值，然后建立方程，解方程求解即可．
【详解】（1）解：抛物线的“关联抛物线”为，
根据题意可得，的解析式
顶点为
（2）解：①设，则，
∴
当时，
解得，
当时，方程无解
或
②的解析式
顶点为，对称轴为
，
当时，即时，
函数的最大值为，最小值为
的最大值与最小值的差为
解得（，舍去）
当时，且即时，
函数的最大值为，最小值为
的最大值与最小值的差为
解得（，舍去）
当时，即时，抛物线开向上，对称轴右侧随的增大而增大，
函数的最大值为，最小值为
的最大值与最小值的差为
即
即
解得（舍去）
综上所述，或．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，求顶点式，二次函数的最值问题，分类讨论是解题的关键．
9．(1)①；②
(2)
【分析】此题考查了分式的混合运算，解二元一次方程组，以及一元一次不等式组的整数解，弄清题中的新定义是解本题的关键．
（1）①已知两对值代入中计算求出与的值；
②根据题中新定义化简已知不等式，根据不等式组恰好有3个整数解，求出的范围即可；
（2）由列出关系式，整理后即可确定出与的关系式．
【详解】（1）①由，得
，，
则，解得，
②由，得，则不等式组
，可化为
整理得，
解得．
∵不等式组，恰好有3个整数解，
∴其整数解为0，1，2，
∴．
解得．
（2）∵对于任意实数x，y都成立，
∴，
整理得，
即，对于任意实数x，y都成立，
故，
∴．
10．(1)
(2)5，
(3)①当时，；②
【分析】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数的最值问题：
（1）将代入函数，得，即可求出结果；
（2）根据定义求出新函数得，和题目所给的对比，从而求出k和b的值；
（3）①利用配方法将（2）中的新函数解析式写成顶点式，得到顶点坐标的表达式，即可求出n的最大值；
②根据①中的关系式，将代入即可求出结果．
【详解】（1）解：当时，，
∵函数，定义新函数，
∴，
故答案为：；
（2）解：∵函数与函数，定义新函数，
∴新函数的解析式为，
∵新函数的解析式为，
∴，，
∴，，
故答案为：5，；
（3）解：①由（2）知，新函数解析式为，
∵新函数顶点为，
∴，
∴，
∵，
当时，；
②由①知，，
将代入得：
∴．
11．(1)
(2)或
【分析】题目主要考查一元二次方程根与系数的关系及因式分解法解一元二次方程，熟练掌握根与系数的关系是解题关键．
（1）根据一元二次方程根与系数的关系得出，然后根据新定义求解即可；
（2）令它的“原生方程”两根分别为，根据题意得出，或，然后求解即可．
【详解】（1）解：解
得，
则，
所以一元二次方程的“再生韦达方程”为，
即；
（2）解得，
令它的“原生方程”两根分别为，
则，或．
当，则所求“原生方程”为；
当，则所求“原生方程”为．
综上所述，它的“原生方程”为或．
12．(1)
(2)
(3)①或，②或
【分析】（1）根据“关联抛物线”的定义可直接得出的解析式，再将该解析式化成顶点式，可得出的顶点坐标；
（2）根据“关联抛物线”的定义可得的解析式，之后得到函数的顶点，过点作轴于点，连接，进而得到，，，于是根据即可得到结论；
（3）①设点的横坐标为，则可表达点和点的坐标，根据两点间距离公式可表达的长，列出方程，可求出点的坐标；
②当时得出的最大值和最小值，进而列出方程，可求出的值．
【详解】（1）解：∵C1与y轴交点的坐标为E（0，-1），
∴，解得．
∴C1的解析式为 ；
（2）解：根据“关联抛物线”的定义可得的解析式为，
∵，
∴的顶点的坐标为
易得点E，
过点作轴于点，连接．
∴，，，
∵，
∴，即．
解得，
∴点E的坐标为；
（3）解：①设点P的横坐标为m，
∵过点P作x轴的垂线分别交抛物线，于点，
∴，，
∴，
∵，
∴，解得或，
∴或；
②∵的解析式为，
∴当时，，
当时，；
当时，．
根据题意可知，需要分三种情况讨论：
Ⅰ．当时，，且当时，函数的最大值为；函数的最小值为-3．
∴，解得或（舍）或（舍）；
当时，函数的最大值为，函数的最小值为-3．
∴，解得或（舍）或（舍）；
Ⅱ．当时，，函数的最大值为；函数的最小值为，
∴，解得（舍）或（舍）；
Ⅲ．当时，，不符合题意，舍去．
综上，a的值为或
【点睛】本题属于二次函数背景下新定义类问题，涉及等腰三角形以及两点间距离公式，二次函数的图象及性质，由“关联抛物线”的定义得出的解析式，掌握二次函数图象的性质是解题关键．
13．(1)
(2)①当时，；②或
【分析】（1）根据“派生函数”的定义在的部分任取一点关于直线的对称点为，运用待定系数法即可得到答案；
（2）①当时，的解析式为，分别求出，解得或；，解得或；即可得到当或或时，；
②求出函数关于对称的函数解析式为，再由时，即，当时，，即，可得时与正方形有两个交点；当时，，即或，可得，即可求解．
【详解】（1）解：函数在的部分任取一点关于直线的对称点为，
设函数图象关于对称的部分的图象解析式为，
将，代入解析式，得：，
解得：，
∴“派生函数”的解析式为；
（2）解：①∵当时，图像的顶点坐标为，
关于直线的对称点坐标为：，
∴关于直线对称的图像解析式为：，
∴的解析式为，
令，，
解得：或，
令，，
解得或，
结合图像可得：当或或时，；
②函数的顶点为，
点关于对称的点的坐标为，
∴函数关于对称的函数解析式为，
当时，即，
当时，，即，
∴时与正方形有两个交点；
当时，，即或，
∴；
综上所述，或时与正方形有两个交点．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用；理解并运用新定义“派生函数”，能够将图象的对称转化为点的对称，借助图象解题是关键．
14．(1)；
(2)或
(3)的值为或
【分析】本题考查二次函数的应用，涉及新定义，二次函数的图象及性质；
（1）根据“伴随抛物线”定义求抛物线的函数表达式和顶点坐标即可；
（2）设点，则，，根据列方程求解即可；
（3）分别求出顶点、、时函数值，再根据对称轴与的位置分类讨论，确定最大值和最小值，最后列方程求解即可．
【详解】（1）根据“伴随抛物线”定义可知，抛物线的函数表达式；
，
顶点坐标为；
（2）设点，因为，，
，，，
，
或，
当时，判别式，
方程无解；
当时，解得，，
或；
（3），
对称轴为，当时，．
当时，；
当时，；
根据题意可知，需要分三种情况讨论：
I．当，即时，
若，即，
则；，
，
解得或（舍）或（舍）；
若，即时，
；，
，
解得或（舍）或（舍）；
II．当，即时，
；．
，
解得（舍）或（舍）；
III．当，即时，，
，
解得（舍去）或（舍去），
综上所述，的值为或．
15．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据题意列出不等式进行计算即可；
（2）根据题意列出方程进行计算即可；
（3）设□中的常数为y，根据题意列出关于y的方程，解方程即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
解得：．
（2）解：∵，
∴，
解得：．
（3）解：设□中的常数为，根据题意得：
，
∵此方程的一个解为，
∴，
解得：．
【点睛】本题主要考查了新定义运算，解不等式，解一元一次方程，解题的关键是理解题意列出相应的不等式或方程．
16．(1)是函数图象关于10的“恒值点”．
(2)①；②或
【分析】（1）由，在函数图象上，不在函数图象上，而，，可得是函数图象关于10的“恒值点”．
（2）①由抛物线，再根据关于x轴对称的特点可得答案；②新图象分两部分，如图，当新图象上恰好有3个关于c的“恒值点”时，，，整理得：或，而与坐标轴构成的三角形是等腰直角三角形，求解，当过点时，满足条件；，当与只有1个交点时，满足条件；即有两个相等的实数根，从而可得答案．
【详解】（1）解：∵，在函数图象上，不在函数图象上，
而，，
∴是函数图象关于10的“恒值点”．
（2）①∵抛物线，
∴翻折后的抛物线的解析式为，
∴翻折后的解析式为：，
②新图象分两部分，如图，当新图象上恰好有3个关于c的“恒值点”时，
∴，，
∴整理得：或，
而与坐标轴构成的三角形是等腰直角三角形，
令，
解得：，
∴，
当过点时，满足条件；
∴，
当与只有1个交点时，满足条件；
∴即有两个相等的实数根，
∴，
解得：；
【点睛】本题考查的是轴对称的性质，二次函数的应用，利用待定系数法求解抛物线的解析式，熟练的利用数形结合的方法解题是关键．
17．(1)图象见解析
(2)的值为3或
(3)的取值范围为或
【分析】（1）根据“镜面函数”的定义画出函数的“镜面函数”的图象即可；
（2）分直线过“镜面函数”图象与直线的交点和与原抛物线相切两种情况求解即可；
（3）先求出关于的“镜面函数”解析式，再分以及顶点在上的情况和时，列出不等式求解即可．
【详解】（1）解：如图③，即为函数函数关于直线的“镜面函数”的图象，
（2）对于，当时，，
函数与轴的交点坐标为，，
当时，，即函数与的交点为，，
当直线经过点，时，，
根据对称性，此时，函数关于直线的“镜面函数”与直线有三个公共点；
当直线与原抛物线只有一个交点时，也有三个公共点，
∴，
整理得，，
此时，，
解得，，
时，，
综上，的值为或；
（3）解：函数关于的“镜面函数”解析式为，
当时，，
，
解得，；
当的顶点在上时，
解得或舍，
此时，函数关于直线的“镜面函数”图象与矩形的边有个交点，不合题意，
，
当时，，
，
解得，；
综上，的取值范围为或．
【点睛】本题考查一次函数、二次函数的综合应用；理解并运用新定义“镜面函数”，能够将图象的对称转化为点的对称，数形结合是解题的关键．
18．(1)【1，0，-2】
(2)y=-x+1
(3)作图见解析；以A、B、C、D四点为顶点的四边形为菱形；理由见解析
(4)
【分析】（1）由已知可知，平移后的函数为，则可求“特征数”；
（2）由已知可知函数为，平移后函数为；
（3）令x＝0，求出A（0， 1），B（0，1），令，求出，，则AB＝CD＝AD＝2，又由，可判断四边形ABCD是菱形；
（4）由已知可得，则函数与AD边无交点，只能与BC边有交点，将B（0，1）代入函数，得，将代入函数得，则．
【详解】（1）解：解：∵函数的特征数是【1， 4，1】，
∴函数为，
将函数向左平移2个单位，再向上平移1个单位得到，
∴函数的“特征数”是【1，0， 2】．
故答案为：【1，0， 2】．
（2）解：∵函数的“特征数”是【0，-，-1】，
∴，
∵函数图象向上平移2个单位，
∴平移后函数为．
故答案为：．
（3）解：令x＝0，则A（0， 1），B（0，1），
∴AB＝2，
令，则，，
∴CD＝2，
∵，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AD＝2，
∴四边形ABCD是菱形．
（4）解：∵函数的“特征数”是【1，-2b，】，
∴，
∴函数与AD边无交点，
∴函数与BC边有交点，
将B（0，1）代入函数得：，
将代入函数得：，
∴．
【点睛】本题考查二次函数的综合、新定义，函数的平移，理解定义，能将定义与所学函数知识结合是解题的关键．
19．(1)见解析
(2)①；②或．
【分析】（1）根据“派生函数”的定义在的部分任取一点关于直线x=1的对称点为，再运用待定系数法求出对称部分的函数解析式，即可画出其图象；
（2）①根据“派生函数”的定义求出函数的解析式为，画出其图象即得出答案；②根据“派生函数”的定义求出函数的解析式为，即函数中的部分只是由左右平移而来．画出图象，再分类讨论即可得出结果．
【详解】（1）函数在的部分任取一点，其关于直线的对称点为，
设函数图象关于对称的部分的图象解析式为，
将代入解析式，得：，
解得：，
∴“派生函数”的解析式为，
∴其图象如图所示，
（2）①∵函数，
∴其顶点坐标为．
∵点关于直线的对称点坐标为，
∴函数关于直线对称的图象的解析式为：，
∴的解析式为，
∴其图象如图．
令，则，
解得：．
∵，
∴结合图象可知此时；
②函数的顶点坐标为，
点关于对称的点的坐标为，
∴函数关于对称的函数解析式为，
∴的解析式为，
∴函数中的部分只是由左右平移而来．
分类讨论：当函数中经过点D时，如图，此时正方形与函数的图象有1个公共点，即再往左移动即有2个公共点．
将代入，得，
解得：，
∵此时，
∴，
∴；
当函数中的图象移动到如图所示的位置时，恰有3个交点，即到达此位置之前都为2个交点，此时．
将代入，即
解得：（舍），
∴，
再将代入，得：
解得：．
∵此时，
∴，
∴，
∴当时，正方形与函数的图象有2个公共点；
当函数中的图象继续移动到经过C点时，此时有3个交点，再继续运动有2个交点．
∴将代入，得，
解得：，．
∵此时，
∴，
∴，
∴当时，正方形与函数的图象有2个公共点；
综上可知正方形与函数的图象只有两个公共点时，m的取值范围是或．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，为压轴题．理解并运用新定义“派生函数”，能够将图象的对称转化为点的对称，再借助图象解题是关键．
20．(1)①63，②5
(2)26
(3)的值与无关，理由见解析
【分析】（1）①由“互异数”的定义直接判断即可；
②根据定义计算可得；
（2）先将这个“互异数”用k的代数式表示为：12k+2，再计算的值，最后利用等式=8从而求出k的值，然后即可求得b．
（3）根据题意，可以表示出m和n，然后即可计算出的值即可作出判断．
【详解】（1）解：①由定义“个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，那么称这个两位数为互异数”可知，60，63，66中，“互异数”为63．
故答案为：63．
②==（23+32）÷11=5．
故答案为：5．
（2）解：∵这个“互异数”b的十位数字是k，个位数字是2（k+1）
∴b=10×k+2（k+1）=12k+2．
将这个数的个位和十位调换后为：10×2（k+1）+k=21k+20
∴=（12k+2+21k+20）÷11=3k+2
又=8
∴3k+2=8
∴k=2
故这个“互异数”b=12k+2=26．
故答案为：26．
（3）解：的值与无关，理由是：
∵ m，n都是“互异数”，且
∴设m=10x+y，则n=10（9-x）+（10-y）
∴=
=
=
∴的值与无关．
【点睛】本题属于新定义题目，考查了列代数式和一元一次方程的应用，解题的关键是能理解题目意思，理解“互异数”．
