牡丹江市第一高级中学2024-2025学年高三下学期开学考试
数 学 试 题
考试时间：120分钟 分值：150分
一、单选题(每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1. 已知集合集合,则 （ ）
A. B. C. D.
2. 已知, 则是 的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分且必要条件 D.既不充分也不必要条件
3. 已知复数 (是虚数单位), 则( )
A.复平面内Z对应的点在第二象限 B.
C. z的虚部是2 D.
4. 已知对任意的都有则一次函数 的解析式为( )
A. B. C. D.
5.如图，一个圆台形状的杯子的杯底厚度为1cm，杯内的底部半径为3cm，当杯子盛满水时，杯子上端的水面直径为12cm，且杯子的容积为 则该杯子的高度为( )
A. 12cm B. 13cm
C. 14cm D. 15cm
6. 已知平面向量，满足且在上的投影向量为则与的夹角为( )
A. B. C. D.
7.若外接圆的半径为 且 则 ( )
A. 2 C. 3 D.
8. 函数 若有两个零点 的零点为，则关于的不等式不能成立的是( )
A. B. C. D.
二、多选题（每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分, 部分选对的得部分分，有选错的得0分.)
9. 已知直线和圆 则( )
A. 直线恒过定点;
B. 存在使得直线与直线 垂直；
C. 直线与圆相交；
D. 若直线被圆截得的弦长为
10.下列说法中正确的是 ( )
A.已知某个家庭先后生了两个小孩，当两个小孩中有女孩的条件下，两个小孩中有男孩的概率为
B.马路上有依次编号为1，2，3， ，10的10盏路灯，为节约用电，某个时间段可以把其中的3盏灯关掉，但不能同时关掉相邻的两盏，且两端的灯也不能关掉，则满足条件的不同关灯方法有20种；
C. 已知随机变量 且 则 的最小值为3；
D.对具有线性相关关系的变量有一组观测数据 其经验回归方程 则在样本点(3,2.9)处的残差为0.5.
11. 如图，过抛物线E：的焦点作两条直线 与E相交于C，D两点，与E相交于A，B两点，则下列说法中正确的是( )
A. 若点G(3,2), 则 周长的最小值为
B．的最小值为
C. 若 则四边形面积的最小值为32
D.若过定点 则 过定点
三、填空题(每小题5分，共15分.)
12. 在二项式 的展开式中，常数项为 .
13.如图将一个矩形划分为如下的A、B、C、D、E、F六个区域，现用四种不同的颜色对这六个区域进行染色，要求边界有重合部分的区域(顶点与边重合或顶点与顶点重合不算)染上不同的颜色，并且每一种颜色都要使用到，则一共有 种不同的染色方案.
14.如图所示，将绘有函数 部分图像的纸片沿x轴折成钝二面角，夹角为此时A、B之间的距离为则 .
四、解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(13分)据统计，某地一特色饭店2024年8月份共有1000个网上点餐订单，好评率为0.85.为了提高服务质量，饭店进行了服务改进，已知服务改进后该饭店9月份共有1500个网上点餐订单，其中好评订单有1400个.
(1)根据所给数据填写下列2×2列联表，并依据小概率值α=0.001的独立性检验，分析能否认为该饭店9月份订单的好评与服务改进有关；
好评订单个数 非好评订单个数 合计
服务改进前
服务改进后
合计 2500
0.01 0.005 0.001
6.635 7.879 10.828
(2)若从8月、9月这两个月网上点餐的订单中按照是否好评对总体进行分层，用分层随机抽样的方法抽取10个订单分析顾客的意见，再从这10个订单中随机抽取4个订单进行电话访谈，求其中恰好有3个订单为好评订单的概率.
附：
16.(15分)如图，在正三棱柱 中，侧棱与底面边长均为2，点分别为( 的中点，点D满足
(1)求证:四点共面;
(2)求直线 与平面所成角的正弦值.
17.(15分)已知首项为1的等差数列 满足：成等比数列.
(1)求数列 的通项公式；
(2)若数列 满足：求数列 的前n项和 .
18. (17分) 已知线段动点与点的斜率之积为点在线段上，且过作两条互相垂直的直线和动点 的轨迹分别交于点和点
(1)建立适当坐标系，求动点的轨迹的方程，
(2)求四边形面积的最小值.
19. (17分) 已知函数. (其中).
(1)当 时，求函数的图象在处的切线方程；
(2)若 恒成立，求的取值范围；
(3)设 且函数有极大值点求证： .
数学答案
一、单选题(共8小题，每题5分，共40分)
二、多选题(共3小题，每题6分，共18分)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
C A B C B A A A BCD BCD ABC
三、填空题(共 3 小题，每题5分，共15分)
12.-160 13.192 14.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15题13分，16题15分，17题15分，18题17分，19题17分
