内蒙古自治区锡林郭勒盟 2024-2025 学年高二（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.斐波那契数列1，1，2，3，5，8， ，按此规律，则第9项为( )
A. 13 B. 21 C. 34 D. 55
2.直线3 + 4 3 = 0关于 轴对称的直线方程为( )
A. 3 + 4 3 = 0 B. 3 4 3 = 0
C. 3 4 3 = 0 D. 4 3 3 = 0
3.已知四面体 ， ， 分别是棱 ， 的中点，且 = ， = ， = ，则向量 用 ， ， 表
示为( )
1 1 1 1 1 1A. + + B.
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1
C. + D. + +
2 2 2 2 2 2
4.过三点 (1,2)， (3,2)， (1, 6)的圆的标准方程为( )
A. ( 2)2 + ( + 2)2 = 17 B. ( + 2)2 + ( 2)2 = 17
C. ( 2)2 + ( + 2)2 = 25 D. ( + 2)2 + ( 2)2 = 25
5.已知三个数成等比数列，它们的和等于14，积等于64，则这个等比数列的公比为( )
1 1 1 1
A. 2或 B. 或 C. D. 2
2 2 2 2
2 2
6.已知双曲线 2 2 = 1( > 0, > 0)一条渐近线的倾斜角为 ，则此双曲线的离心率为( ) 6
√ 3 2√ 3 4√ 3
A. 2 B. C. D.
3 3 3
7.如图，棱长为1的正方体 1 1 1 1中，则点 到平面 1 的距离是( )
1 √ 3 2√ 3 √ 3
A. B. C. D.
3 2 3 3
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8.在平面直角坐标系 中，已知圆 : ( 3)2 + 2 = 100(圆心为 )，点 ( 3,0)，点 在圆 上运动，设
线段 的垂直平分线和直线 的交点为 ，则点 的轨迹方程为( )
2 2 2 2 2 2 2 2
A. + = 1 B. + = 1 C. + = 1 D. + = 1
16 7 25 16 7 16 16 25
二、多选题：本题共 4 小题，共 24 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.过点 (2,1)作圆 : 2 + 2 = 1的两条切线，切点分别为 ， ，则下列判断正确的是( )
A. 有一条切线方程为 = 1 B. 有一条切线方程为3 4 5 = 0
C. ⊥ D. 四边形 的面积为2
2 2 2 2
10.已知 > 0， > 0， ≠ ，则关于双曲线 1: 2 2 = 1与双曲线 2: 2 2
= 1，下列说法中正确的是( )
A. 有相同的焦距 B. 有相同的焦点 C. 有相同的离心率 D. 有相同的渐近线
11.设等差数列{ }的前 项和为 ，公差为 ，且满足 1 > 0， 8 = 11，则下列描述正确的是( )
A. 9是唯一最大值 B. 10是最大值 C. 19 = 0 D. 10 = 0
12.已知直线 = 1过抛物线 2 = 2 ( > 0)的焦点 ，且与抛物线相交于 ( 1, 1)， ( 2, 2)( 在第一
象限)两点，则下列说法正确的是( )
A. 抛物线方程为 2 = 4
B. 弦 长为4
C. 1 2 = 4
D. 过点 作准线的垂线，垂足为 ′，则 ′， ， 三点共线
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13.把正方形纸片 沿对角线 折成直二面角，则折纸后异面直线 与 所成角的大小为 ．
14.当抛物线 2 = 上一点 到直线 = 3的距离最短时，点 的坐标为 ．
1+
15.已知数列{ }满足 2 = 3， +1 = ，则数列{ }前8项的和为 ． 1
2 2
16.已知双曲线 2 2 = 1( > 0, > 0)的左、右焦点分别为 1， 2，点 在双曲线的右支上，且| 1| = 5| 2|，
则双曲线离心率的取值范围是 ．
四、解答题：本题共 6 小题，共 72 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题12分)
已知圆 1:
2 + 2 + 2 + 8 8 = 0与圆 2 22： + 4 4 2 = 0相交于两点．
(1)求两圆的公共弦所在直线的方程．
(2)求两圆的公共弦长．
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18.(本小题12分)
如图，在棱长为1的正方体 1 1 1 1中， ， ， ， ， ， 分别是 ， 1， 1 1， 1 1， 1 ，
各棱的中点．
(1)求证： 1 ⊥平面 ;
(2)求 与平面 所成角的正弦值．
19.(本小题12分)
若数列{ }的首项 1 = 1，且满足 +1 = 2 + 1，
(1)证明数列{ + 1}为等比数列;
1
(2)设 = ，求数列{ }的前 项和． log ( +1) +12
20.(本小题12分)
如图，四棱锥 的底面是矩形， ⊥底面 ， = = 2， = 2√ 2， 为 的中点．
(1)求证： ⊥ ;
(2)求平面 与平面 夹角的余弦值．
21.(本小题12分)
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2 2 √ 3
已知 1， 2是椭圆 : 2 + 2 = 1( > > 0)的左、右焦点，点 ( √ 2, )在椭圆 上，且 1 ⊥ 1 2． 3
(1)求椭圆 的方程;
(2)已知 (0,2)， ( 1,0)，若过点 的直线 与椭圆 交于 ， 两点，若 ⊥ ，求出直线 的方程．
22.(本小题12分)
已知等比数列{ }的前 项和为 ，且 +1 = 2 + 2( ∈
).
(1)求数列{ }的通项公式．
(2)在 与 +1之间插入 个数，使这 + 2个数组成一个公差为 的等差数列，在数列{ }中是否存在3项 ，
， (其中 ， ， 成等差数列)成等比数列 若存在，求出这样的3项;若不存在，请说明理由．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】90°
1 1
14.【答案】( , )
2 4
7
15.【答案】
3
3
16.【答案】(1, ]
2
17.【答案】解：(1)设两圆的交点为 ( 1, 1)， ( 2, 2)，则 ， 的坐标满足方程组
2 + 2 + 2 + 8 8 = 0
{ 2 2 两式相减得 + 2 1 = 0． + 4 4 2 = 0
此方程即为过 ， 两点的直线方程．
所以两圆的公共弦所在直线的方程为 + 2 1 = 0．
(2)圆 1可化为( + 1)
2 + ( + 4)2 = 25，圆 1的圆心为 1( 1, 4)，半径长 1 = 5．
10
1( 1, 4))到直线 + 2 1 = 0的距离 = = 2√ 5． √ 5
则弦长| | = 2√ 21 2 = 2√ 5．
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18.【答案】解：(1)证明：如图，
以点 为坐标原点，分别以 、 、 1所在直线为 轴、 轴、 轴建立如图所示空间直角坐标系，
依题意，设正方体 1 1 1 1的边长为 ( > 0)，
则 1( , 0, )， (0, , 0)， (0,0, )， ( , 0,0)， ( , , 0)， 2 2 2
1 = ( , , )， = ( , 0, )， = ( , , 0)， 2 2 2 2
所以 · 1 = 0， · 1 = 0，
则 1 ⊥ ， 1 ⊥ ，
又 、 平面 ， ∩ = ，
所以 1 ⊥平面 ．
(2)由(1)可知： 1 ⊥平面 ，
则 1 = ( , , )是平面 的法向量，
又 (0,0,0)， ( , 0,0)，
则 = ( , 0,0)，
2
所以cos ,
√ 3
1 = = ， √ 3 · 3
则 与平面 所成角的正弦值为√ 3．
3
+1
19.【答案】解：(1)证明：依题意： +1 +1 + 1 = 2( + 1)，所以 = 2， +1
故数列{ + 1}是以首项 1 + 1 = 2，公比为2的等比数列．
1 1
(2)由(1)可知： + 1 = 2 2 1 ， = 2
1， = = ， log2 ( +1)
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1 1 1
故 +1 = = ， ( +1) +1
1 1 1 1 1 1
故其前 项和 = 1 + + + = 1 = ． 2 2 3 +1 +1 +1
20.【答案】解：(1)证明：连接 ，
∵ = = 2， = 2√ 2， 为 的中点，
∴ = = √ 2，
又四棱锥 的底面是矩形，
∴ ∠ = ∠ = ，
2
∴ △ ∽ △ ，∴ ∠ = ∠ ，
又∠ + ∠ = ，
2
∴ ∠ + ∠ = ⊥ ，
2
∵ ⊥底面 ， 底面 ，
∴ ⊥ ，又 ∩ = ，且 ， 平面 ，
∴ ⊥平面 ，
又 平面 ，
所以 ⊥ ．
(2) ∵ ⊥平面 ，又 ， 平面 ，
∴ ⊥ ， ⊥ ，又四棱锥 的底面是矩形，
∴ ⊥ ，∴建立如下图所示的空间直角坐标系，则根据题意可得：
(0,0,0), (0,0,2), (2√ 2, 0,0), (√ 2, 2,0)，
∴ = (2√ 2, 0, 2)， = (√ 2, 2,0)， = (2√ 2, 0,0)，
设平面 的法向量为 = ( , , )，
= 2√ 2 2 = 0
则{ ，取 = (√ 2, 1,2)，
= √ 2 2 = 0
且平面 的法向量为 = (2√ 2, 0,0)，
∴平面 与平面 所成角的余弦值为：
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|cos <
| | 4 √ 14
, > | = = = ．
| || | 2√ 2×√ 7 7
√ 3
21.【答案】解：(1)因为点 ( √ 2, )在椭圆 上，且 1 ⊥ 1 2， 3
= √ 2
2 1
所以{ 2 + 2 = 1 ，解得：
2 = 3, 2 = 1．
3
2 = 2 + 2
2
故椭圆 的方程为 + 2 = 1．
3
(2)易知直线 的斜率不为0，故设直线 的方程为 = ( 2)，
2
+ 2 = 1,
联立{ 3
= ( 2)
可得( 2 + 3) 2 4 2 + 4 2 3 = 0．
由 = 16 4 4( 2 + 3)(4 2 3) = 36(1 2) > 0，可得 1 < < 1．
4 2 4 2 3
设 ( 1, 1), ( 2, 2)，则 1 + 2 = 2 , 1 · 2 = 2 ． +3 +3
因为 ⊥ ，所以 · = 0．
= ( 1 + 1, 1), = ( 2 + 1, 2)，
故 · = ( 1 + 1)( 2 + 1) + 1 2
= 1 2 + ( 1 + 2) + 1 + 1 2
= 2( 1 2)( 2 2) + ( 1 + 2 4) + 1 + 1 2
= ( 2 + 1) 21 2 + ( 2 )( 1 + 2) + 4
2 4 + 1
( 2+1)(4 2 3) 4 2( 2 2)
= 2 + 2 + (2 1)
2 = 0，
+3 +3
6
化简得14 2 12 = 0，解得 = 0或 = ．
7
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6
故直线 的方程为 = 0或 = ( 2)，
7
即为 = 0或7 6 + 12 = 0．
22.【答案】解：(1)由 +1 = 2 + 2，得 = 2 1 + 2( ≥ 2)，两式相减，得 +1 = 3 ( ≥ 2)．∵数
列{ }是等比数列，又∵ = 1时，代入可得 2 = 2 1 + 2 = 2 1 + 2 = 3 1，∴ 1 = 2，∴
1
= 2 3 ．
(2)由题意得 +1 = + ( + 2 1) ，
4×3
1
即2 3 = 2 3 1 + ( + 1) ，故 = ． +1
假设在数列{ }中存在三项 ， ， (其中 ， ， 成等差数列)成等比数列，
4×3 1 1 1
则( )2 = ，即( )2
4×3 4×3
= ， +1 +1 +1
32 3 +
∴ = ( )
2
( + 1) ( + 1)( + 1)
∵ 、 、 成等差数列，∴ + = 2 ，
则( )式可化为 2 = ，故 = = ．
这与题设矛盾，∴在数列{ }中不存在三项 ， ， (其中 ， ， 成等差数列)成等比数列．
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