2025年浙江省鄞州一模数学押题卷
一、选择题（每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．在，，，，中，负数的个数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．下列计算正确的是（ ）
A．a2+a2＝2a4 B．a2·a＝a3
C．（3a）2＝6a2 D．a6÷ a2＝a3
3．我国年月发射的嫦娥六号探测器，标志着我国对月球背面的研究又进入一个新的高度．已知月球到地球的平均距离约为千米，数据用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
4．葫芦在我国古代被看作吉祥之物．下图是—个工艺葫芦的示意图，关于它的三视图说法正确的是（ ）
A．主视图与左视图相同
B．主视图与俯视图相同
C．左视图与俯视图相同
D．主视图、左视图与俯视图都相同
5．已知四边形是平行四边形，与相交于点O，下列结论正确的有（ ）
①当时，它是菱形；②时，它是菱形；③当时，它是矩形；④当时，它是正方形．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
6．某小组5名同学在一周内参加家务劳动的时间如下表所示，关于“劳动时间”的这组数据的平均数和众数分别是（ ）
劳动时间（小时） 3 3.5 4 4.5
人 数 1 1 2 1
A．3.75、4 B．3.75、2 C．3.8、4 D．3.8、4.5
7．如图，是一组有规律的图案，它们是由边长相同的小正方形组成的，其中部分小正方形涂有阴影，按照这样的规律，第2022个图案中涂有阴影的小正方形个数是（ ）
A．8089 B．8088 C．4044 D．4045
8．如图，甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离y（千米）与甲车行驶的时间t（小时）之间的函数关系如图所示，则下列结论：①A，B两城相距300千米；②乙车比甲车晚出发1小时，却早到1小时；③乙车出发后1.5小时追上甲车；④当乙追上甲后，甲乙两车相距50千米时，或．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．如图，四边形内接于，为直径，，过D作于点E，交于点F，连接，，．当点P为下面半圆弧的中点时，连接交于H，则的长为（ ）
A． B． C． D．12
10．如图，是的外接圆，弦交于点，过点作于点，延长交于点，若，则的长为（ ）
A． B．7 C．8 D．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．写出6至8之间的任意一个无理数： ．
12．不透明的袋子里装有2个红球、4个白球，这些球除颜色外无其他差别.从袋子中随机摸出一个球，则摸出红球的概率是 ．
13．已知一个扇形的圆心角为，半径为，则这个扇形的弧长为 ，面积为 （结果保留小数点后两位）．
14．如图，在中，，分别以点、为圆心，大于长为半径画弧，两弧分别相交于点、，直线与相交于点，过点作，垂足为点，与相交于点，若，则的度数为 ．
15．在平面直角坐标系中，函数与的图像交于点，则代数式的值为 ．
16．如图，在菱形中，，点是边上一动点，连接，将沿着折叠，得到，连接，若，则 ；若点是的中点，，则的最小值为 ．
三、解答题（17~21题各8分，22~23题各10分，24题12分，共72分）
17．（1）计算：；
（2）解方程：．
18．如图，中，
（1）在线段上找一点，使得要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹
（2）在(1)的基础上，若，，，求的长．
19．将连续的奇数1，3，5，7，9…排成如图所示的数阵，用十字框按如图所示的方式任意框五个数.（十字框只能平移）
（1）若框住的5个数中，正中间的一个数为17，则这5个数的和为 .
（2）设正中间的数为a，用式子表示十字框内五个数的和.
（3）十字框能否框住这样的5个数，它们的和等于2035？若能，求出正中间的数a；若不能，请说明理由.
20．为了进一步了解学生的计算情况，某校数学老师对某次模拟考试中10分的实数运算题的得分情况进行了调查，现分别从人数相同的A，B 两班随机各抽取了10名学生的成绩进行整理、描述、分析．下面给出部分信息：已知 B 班 10 名学生的成绩（单位：分）分别为8， 8， 9， 10， 9， 7， 9， 8， 10， 8， 经过老师对所抽取学生成绩的整理与分析，得到了如图表所示不完整的统计表和条形统计图．
统计量 A 班 B 班
平均分 8.6 a
中位数 b c
众数 10 8
根据以上信息，解答下列问题
（1）求表中α， b， c 的值；
（2）根据以上数据、你认为A，B两个班中哪个班对实数运算掌握得更好 请说明理由：（写出一条即可）
（3）若9分及9分以上为优秀，A、B 两班各有50人， 估计两班实数运算题得分为优秀的学生共有多少人
21．如图，在 ABCD中，点E、F为对角线BD的三等分点，连结AE，CF，AF，CE．
（1）求证：四边形AECF为平行四边形；
（2）若四边形AECF为菱形，且AE＝BE，求∠BAD的度数．
22．问题提出
学校准备开展外语小教室创意装饰比赛活动，李俊同学对本班小教室进行了装饰．如图1所示，他在小教室的两墙，之间悬挂一条近似抛物线的彩带，如图2所示，已知墙与等高，均为3米，，之间的水平距离为8米，彩带最低点离地面1.4米．
（1）建立模型如图2，求抛物线彩带的解析式（不要求写自变量的取值范围）；
解决问题
（2）为了使彩带的造型美观，李俊把彩带从点M处用一根细线吊在天花板上，如图3所示，使得点M到墙距离为3米，使抛物线的最低点距墙的距离为2米，离地面2米，求点M到地面的距离；
（3）为了尽量避免人的头部接触到彩带，李俊通过适当调整M的位置，使点M的坐标为，且抛物线对应的二次函数的二次项系数始终为，抛物线的最低点到地面的距离为n米，则________（用含m的式子表示），当时，m的取值范围是________．
23．已知二次函数图象过点．
（1）若，求a的值．
（2）若，当时，请比较m、n的大小关系．
（3）求证：
24．如图，D是以AB为直径的上一点，过点的切线交AB的延长线于点，过点作，垂足为点，延长BF交AD的延长线于点.
（1）求证：；
（2）若的直径为，求线段BF和BE的长.
答案解析部分
1．C
2．B
解：A、a2+a2＝2a2，故A不符合题意；
B、a2·a＝a3，故B符合题意；
C、（3a）2＝9a2，故C不符合题意；
D、a6÷ a2＝a4，故D不符合题意；
故答案为：B.
利用合并同类项，是把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变，可对A作出判断；利用同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可对B作出判断；利用积的乘方法则可对C作出判断；利用同底数幂相除，底数不变，指数相减，可对D作出判断.
3．C
4．A
5．C
6．C
7．A
8．D
图象可知、两城市之间的距离为，甲行驶的时间为小时，而乙是在甲出发小时后出发的，且用时小时，即比甲早到小时，故①②都正确；
设甲车离开城的距离与的关系式为，
把代入可求得，
，
设乙车离开城的距离与的关系式为，
把和代入可得，解得，
，
令可得：，解得，
即甲、乙两直线的交点横坐标为，
此时乙出发时间为小时，即乙车出发小时后追上甲车，故③正确；
当乙追上甲后，令，
解得，
当乙到达目的地，甲自己行走时，，
解得，
∴综上所述，当乙追上甲后，甲乙两车相距50千米时，或．故④正确；
综上可知正确的有①②③④，共4个．
故选：D．
本题主要考查一次函数的应用，由图象所给数据可以直接判断①，②是否正确；根据图像可求得甲、乙两车离开A城的距离y与时间t的关系式，可求得两函数图象的交点，进而判断③；乙追上甲后，甲乙两车相距50千米，有两种情况，其一是途中乙在甲的前面。其二是乙到目的地，甲离乙地的距离。两函数解析式的差为50，可求得t，可得出答案．
9．A
10．B
解：连结DC，如图：
在△AEB和△DEC中，
∴△AEB≌△DEC(ASA)，
∴EB=EC．
∵BC=CE，
∴BE=CE=BC，
∴△EBC为等边三角形，
∴∠ACB=60°．
作BM⊥AC于点M，
∵OF⊥AC，
∴AF=CF．
∵△EBC为等边三角形，
∴∠GEF=60°，
∴∠EGF=30°．
∵EG=2，
∴EF=1，
∵AE=ED=3，QF⊥AC，
∴CF=AF=4，
∴AC=8，EC=5，
∴BC=5．
∵∠BCM=60°，
∴∠MBC=30°，
∴CM=，BM=．
∴AM=AC-CM=
∴AB=．
故答案为：B.
连接CD即可得△AEB≌△DEC由此得△BCE为等边三角形，得特殊角∠MBC=30°，结合特殊三角形和勾股定理即可求出AB的长.
11．（答案不唯一）
12．
解：∵不透明的袋子里装有2个红球、4个白球，
∴从袋子中随机摸出一个球，则摸出红球的概率是，
故答案为：.
根据题意不透明的袋子里装有2个红球、4个白球，求概率即可。
13．6.28；9.42
14．
15．1
16．；
17．（1）解：原式；
（2）解：原方程可化为，
方程两边同乘，得，
解得，
检验：当时，，
∴原方程的解是．
（1）根据题意运算负整数指数幂，零指数幂，特殊角三角函数值，无理数的乘方，进而进行加减运算即可求解；
（2）先根据题意去分母，再解出分式方程，进而检验即可求解。
18．（1）解：如图，点就是所求作的点；
（2）解：作，垂足为，设，
，，
，
为等腰直角三角形，
，，
，，
，
在中，，
，
，
，
，
，
解得：，舍去，
．
（1）利用尺规作图作出线段AC的垂直平分线交BC于点E，画出图形即可.
（2）过点A作AD⊥BC于点D，设AD=x，利用三角形的内角和定理可求出∠B的度数，利用解直角三角形可表示出AB、AD、BD的长，利用等腰三角形的性质及三角形的内角和定理可求出∠AED=30°，利用直角三角形的性质可表示出EA的长，利用解直角三角形可表示出ED的长，可得到BC的长，利用三角形的面积公式可得到关于x的方程，解方程求出x的值，可得到AB的长.
19．（1）85
（2）解：设正中间的数为a，则其余4个数分别为，，，，
十字框内5个数的和为：
（3）解：根据题意得，，
解得，，
407是第204个奇数，
，
407在数阵的第6列，
十字框不能框出这样的5个数它们的和等于2035.
解：(1)
故答案为：85；
（1）直接将十字框内的5个数相加即可；
（2）设正中间的数为，则其余4个数分别为，，，，根据整式的加减法计算；
（3）根据（2）的结论建立方程求得的值，再找到的位置进行判定．
20．（1）
（2）A班，理由：A班的成绩的中位数、众数均比B班的高
（3）55人
21．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∴∠ADF=∠CBE，
∵点E、F为对角线BD的三等分点，
∴BE=EF=DF，
在△ADF和△CBE中，
，
∴△ADF≌△CBE（SAS），
∴AF=CE，∠AFD=∠CEB，
∴∠AFE=∠CEF，
∴AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形；
（2）∵四边形AECF是菱形，
∴AE=AF=CF=CE，
又∵AE=BE，
∴AE=BE=EF=AF=DF，
∴∠EAB=∠EBA，∠EAF=∠EFA，∠FAD=∠FDA，△AEF是等边三角形，
∴∠AFE=∠AEF=60°，
∴∠EBA=30°，∠FDA=30°，
∴∠BAD=180°－30°－30°=120°．
（1）由平行四边形的性质可得AD=BC，AD∥BC，由“SAS”可证△ADF≌△CBE，可得AF=CE，∠AFD=∠CEB，于是可证明AE//CF，由平行四边形的判定可得结论；
（2）由菱形的性质和BE=EF=DF可得AE=BE=EF=AF=DF，可证△AEF是等边三角形，由等边三角形的性质得AFE=∠AEF=60°，继而可求得∠EBA=30°，∠FDA=30°，根据三角形的内角和定理即可得到结论.
22．（1）；（2）点M到地面的距离为米；（3）； ；
23．（1）解：当时，把代入解析式得；
（2）解：令得，，即，
解得：，
二次函数的图象与x轴的交点为：，
对称轴为直线，
，
为抛物线的顶点，
，
二次函数的最小值为n，
，
；
（3）证明：把代入二次函数解析式得，
，
，
，
，
．
（1）把直接代入解题即可；
（2）先求出对称轴为直线x=2，再根据二次函数的性质得到为抛物线的顶点，解题即可．
（3）把代入二次函数解析式得到出m，n的值，然后代入，即可得到，解题即可．
（1）解：当时，把代入解析式得；
（2）解：令得，，即，
解得：，
二次函数的图象与x轴的交点为：，
对称轴为直线，
，
为抛物线的顶点，
，
二次函数的最小值为n，
，
；
（3）证明：把代入二次函数解析式得，
，
，
，
，
．
24．（1）证明：切于点，
（2）解：连接BD，如图：
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°.
在Rt△ABD中，，AB=5，
∴.
∴.
∵OD⊥DE，
∴∠ODE=90°=∠BDA.
∴∠A=∠ADO=∠BDE.
又∠DEB=∠AED，
∴△DEB∽△AED，
∴.
设DE=3x，则AE=AB+BE=5+BE=4x.
∴BE=4x-5.
∴.
解得：.
∴.
∵OD//BC，
∴△EFB∽△EDO.
∴.
即.
∴.
∴线段BF的长为的长为
（1）根据切线性质得OD⊥DE，证明OD//BC，得∠ODA=∠C，证明∠A=∠ADO，可得∠A=∠C，即可得到结论.
（2）在Rt△ABD中，利用勾股定理求得AD的长，证明△DEB∽△AED，可得.设DE=3x，则AE=4x=5+BE，于是可得BE长，代入比例式可得关于x的方程，求解即可得BE.证明△EFB∽△EDO，得，代入数据即可得到BF长..
