梅河口市第五中学2024-2025学年高一下学期开学考试
数学
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，若，则实数的值为（ ）．
A. 2 B. 1 C. D.
2. 已知是实数，
（1）是的充分条件；（2）是的必要条件；
（3）是的充分条件；（4）是的必要条件．
上述四个命题中真命题个数为（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
3. 已知函数的图象是一条连续不断的曲线，且有如下对应值表：
1 2 3 4 5
136.136 15.552 10.88
则不一定包含零点的区间是（ ）
A. B. C. D.
4. 生物学家研发一种谷物新品种，如果第1代得到1粒种子，以后各代每粒种子都可以得到下一代6粒种子，则种子数量首次超过100万粒的是（ ）参考数据：
A. 第7代种子 B. 第8代种子 C. 第9代种子 D. 第10代种子
5. 下列函数中符合在定义域上单调递增的奇函数的是（ ）
A. B.
C. D.
6. 若定义域均为的函数，满足：，且，使得，则称与互为“亲近函数”已知与互为“亲近函数”，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
7. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
8. 已知函数分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，若函数有唯一零点，则实数的值为（ ）
A. 或 B. 或1 C. 或2 D. 1或
二 多选题（本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.）
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 函数且的图象必过定点
B. 方程的解集为
C.
D. 角终边上一点的坐标是，则
10. 下列命题中，正确是（ ）
A. 若，则
B 若，则
C 若实数满足，则
D. 关于的方程的一个根比2大，另一个根比2小，则实数的取值范围是
11. 已知函数实数满足，且，则（ ）
A.
B.
C.
D. 函数有5个互不相等零点
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. _____________.
13. 已知函数在区间上单调递增，求参数a的取值范围________.
14. 已知定义域为的函数.若对任意恒成立，则的取值范围为________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知集合，集合．
（1）若，求；
（2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围．
16. （1）已知，求函数的定义域；
（2）解不等式：．
17. 墙上有一壁画，最高点处离地面米，最低点处离地面米，距离墙米处设有防护栏，观察者从离地面高米的处观赏它.
（1）当时，观察者离墙多远时，视角最大？
（2）若，视角正切值恒为，观察者离墙的距离应在什么范围内？
18.
已知函数，的最小正期为．
求的值域；
方程在上有且只有一个解，求实数的取值范围；
19.
已知函数 ．
（1）若，判断并证明函数 的单调性；
（2）若，函数在区间上的值域是，求的值．
答案
ABACC DAD 9AC 10BCD 11ACD
12 ##0.25 13 14
15（1）
由，得，解得，
所以，
若，，，
所以．
因为“”是“”的充分不必要条件，所以，
所以，解得，所以实数的取值范围为．
16（1）；（2）.
【详解】（1）依题意，，解得，因此或，
所以原函数的定义域为；
（2）函数在上为增函数，
则，解得，
所以原不等式的解集为．
17
（1）当观察者离墙米处时，视角最大；（2）.
【详解】（1）当时，过作的垂线，垂足为，则，且，
设观察者离墙米，则，且，，
所以，，
因为函数在上单调递增，
所以当时，取最大值，此时视角最大；
（2）由（1）得，，
，
即，
当时，，则，解得或.
，所以，.
因此，观察者离墙的距离应在至米范围内.
18函数，
的最小正周期为，，
，．那么的解析式，
则当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值．
所以函数的值域为．
方程在上有且有一个解，转化为函数的图象与函数的图象在上只有一个交点．
，，
因为函数在上单调递增，在上单调递减，且，，，
或，所以或．
由可知，．
实数满足对任意，都存在，使得成立．
即成立，
令，
设，则，
，，
可得在上恒成立．
令，其对称轴，，
当，即时，在上单调递增，，解得；
当，即时，，解得；
当，即时，，解得 ；
综上可得，存在，可知的取值范围是
19（1）若，，的定义域为.
在上单调递增，证明如下： 对且，
，所以，则，
，则在上单调递增.
，从而，由知，所以.
当时，函数在上均单调递减.
若，则，与矛盾，舍去；
则，且 相减得
，即.
