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9.2.2 用坐标表示平移 分层作业
基础训练
1．（2024 资阳）在平面直角坐标系中，将点（﹣2，1）沿y轴向上平移1个单位后，得到的点的坐标为（ ）
A．（﹣2，0） B．（﹣2，2） C．（﹣3，1） D．（﹣1，1）
【分析】根据直角平面坐标系内点的平移规律求解．
【解答】解：将点（﹣2，1）沿y轴向上平移1个单位后，得到的点的坐标为（﹣2，2），
故答案为：B．
【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣平移，掌握直角平面坐标系内点的平移规律是解题的关键．
2．（2022 广东）在平面直角坐标系中，将点（1，1）向右平移2个单位后，得到的点的坐标是（ ）
A．（3，1） B．（﹣1，1） C．（1，3） D．（1，﹣1）
【分析】根据平面直角坐标系中点的坐标的平移特点解答即可．
【解答】解：将点（1，1）向右平移2个单位后，横坐标加2，所以平移后点的坐标为（3，1），
故选：A．
【点评】本题主要考查了平面直角坐标系中点的坐标，熟练掌握点的平移规律是解答本题的关键．
3．（2022 百色）如图，在△ABC中，点A（3，1），B（1，2），将△ABC向左平移2个单位，再向上平移1个单位，则点B的对应点B′的坐标为（ ）
A．（3，1） B．（3，3） C．（﹣1，1） D．（﹣1，3）
【分析】根据平移与图形的变化规律进行计算即可．
【解答】解：根据平移与图形变化的规律可知，
将△ABC向左平移2个单位，再向上平移1个单位，其图形上的对应点B′的横坐标减少2，纵坐标增加1，
由于点B（1，2），
所以平移后的对应点B′的坐标为（﹣1，3），
故选：D．
【点评】本题考查坐标与图形变化，掌握平移前后对应点坐标的变化规律是正确判断的关键．
4．在直角坐标系中，把点P（m，n）先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，恰好与原点重合，则m的值为（ ）
A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣3
【分析】点P（m，n）先向左平移2个单位，再向上平移3个单位后得（m﹣2，n+3），根据平移后恰好与原点重合，即可求出m的值．
【解答】解：∵点P（m，n）先向左平移2个单位，再向上平移3个单位后得（m﹣2，n+3），且恰好与原点重合，
∴m﹣2＝0，
∴m＝2．
故选：A．
【点评】此题主要考查了坐标与图形变化﹣平移，关键是掌握横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．
5．（2021 凉山州）在平面直角坐标系中，将线段AB平移后得到线段A'B'，点A（2，1）的对应点A'的坐标为（﹣2，﹣3），则点B（﹣2，3）的对应点B'的坐标为（ ）
A．（6，1） B．（3，7） C．（﹣6，﹣1） D．（2，﹣1）
【分析】根据点A到A′确定出平移规律，再根据平移规律列式计算即可得到点B′的坐标．
【解答】解：∵A（2，1）平移后得到点A′的坐标为（﹣2，﹣3），
∴向下平移了4个单位，向左平移了4个单位，
∴B（﹣2，3）的对应点B'的坐标为（﹣2﹣4，3﹣4），
即（﹣6，﹣1）．
故选：C．
【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减，先确定出平移规律是解题的关键．
6．（2024 江西）在平面直角坐标系中，将点A（1，1）向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度得到点B，则点B的坐标为 （3，4） ．
【分析】根据向右平移横坐标加，向上平移纵坐标加计算即可．
【解答】解：将点A（1，1）向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度得到点B，
则点B的坐标为（1+2，1+3），即（3，4）．
故答案为：（3，4）．
【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
7．（2023 绵阳）在平面直角坐标系中，将点A（﹣1，2）先向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到点B（a，b），则a+b＝ 0 ．
【分析】利用点平移的坐标规律，列出关于a、b的方程，求出a、b，代入计算即可．
【解答】解：∵将点A（﹣1，2）先向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到点B（a，b），
∴﹣1+1＝a，2﹣2＝b，
∴a＝0，b＝0，
∴a+b＝0+0＝0．
故答案为：0．
【点评】此题主要考查坐标与图形变化﹣平移．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
8．如图，下列网格中，每个小正方形的边长都是1，图中“鱼”的各个顶点都在格点上．
（1）把“鱼”向右平移5个单位长度，并画出平移后的图形．
（2）写出A、B、C三点平移后的对应点A′、B′、C′的坐标．
【分析】（1）将各能代表图形形状的点向右平移5个单位，顺次连接即可；
（2）结合坐标系，可得出A′、B′、C′的坐标．
【解答】解：（1）如图所示：
（2）结合坐标系可得：A'（5，2），B'（0，6），C'（1，0）．
【点评】本题考查了平移作图的知识，解答本题的关键是掌握平移的性质，注意按要求规范作图．
9．如图，直角坐标系中，△ABC的顶点都在网格点上，其中，C点坐标为（1，2）．
（1）填空：点A的坐标是 （2，﹣1） ，点B的坐标是 （4，3） ；
（2）将△ABC先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到△A′B′C′．请写出△A′B′C′的三个顶点坐标；
（3）求△ABC的面积．
【分析】（1）利用点的坐标的表示方法写出A点和B点坐标；
（2）利用点的坐标平移规律写出点A′、B′、C′的坐标，然后描点得到△A′B′C′；
（3）用一个矩形的面积分别减去三个三角形的面积可得到△ABC的面积．
【解答】解：（1）A（2，﹣1），B（4，3）；
故答案为（2，﹣1），（4，3）；
（2）如图，△A′B′C′为所作；A′（0，0），B′（2，4），C′（﹣1，3）；
（3）△ABC的面积＝3×42×43×13×1＝5．
【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣平移：在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．
能力提升
10．在平面直角坐标系中，已知点P坐标为（0，﹣3）、点Q坐标为（5，1），连接PQ后平移得到P1Q1，若P1（m，﹣2）、Q1（2，n），则n-m的值是（ ）
A． B． C．8 D．9
【分析】根据平行的性质，建立关于m，n的等式，据此进行计算即可解决问题．
【解答】解：由题知，
0﹣m＝5﹣2，﹣3﹣（﹣2）＝1﹣n，
解得m＝﹣3，n＝2，
所以n-m＝23=8．
故选：C．
【点评】本题主要考查了坐标与图形变化﹣平移及有理数的乘方，熟知平移的性质是解题的关键．
11．（2021 西宁）在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标是（2，﹣1），若AB∥y轴，且AB＝9，则点B的坐标是 （2，8）或（2，﹣10） ．
【分析】线段AB∥y轴，A、B两点横坐标相等，又AB＝9，B点可能在A点上边或者下边，根据距离确定B点坐标．
【解答】解：∵AB与y轴平行，
∴A、B两点的横坐标相同，
又AB＝9，
∴B点纵坐标为：﹣1+9＝8，或﹣1﹣9＝﹣10，
∴B点的坐标为：（2，8）或（2，﹣10）；
故答案为：（2，8）或（2，﹣10）．
【点评】本题考查了坐标与图形的性质，要掌握平行于y轴的直线上的点横坐标相等，再根据两点相对的位置及两点距离确定点的坐标．
12．（2022 毕节）如图，在平面直角坐标系中，把一个点从原点开始向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到点A1（1，1）；把点A1向上平移2个单位，再向左平移2个单位，得到点A2（﹣1，3）；把点A2向下平移3个单位，再向左平移3个单位，得到点A3（﹣4，0）；把点A3向下平移4个单位，再向右平移4个单位，得到点A4（0，﹣4），…；按此做法进行下去，则点A10的坐标为 （﹣1，11） ．
【分析】根据题目规律，依次求出A5、A6……A10的坐标即可．
【解答】解：由图象可知，A5（5，1），
将点A5向左平移6个单位、再向上平移6个单位，可得A6（﹣1，7），
将点A6向左平移7个单位，再向下平移7个单位，可得A7（﹣8，0），
将点A7向右平移8个单位，再向下平移8个单位，可得A8（0，﹣8），
将点A8向右平移9个单位，再向上平移9个单位，可得A9（9，1），
将点A9向左平移10个单位，再向上平移10个单位，可得A10（﹣1，11），
故答案为：（﹣1，11）．
【点评】本题主要考查了坐标与图形变化﹣平移，规律型问题，解题的关键是学会探究规律，属于中考常考题型．
13．在平面直角坐标系中，△ABC经过平移得到△A′B′C′，位置如图所示．
（1）分别写出点A，A′的坐标：A（ 1 ， 0 ），A′（ ﹣4 ， 4 ）．
（2）请说明△A′B′C′是由△ABC经过怎样的平移得到的；
（3）若点M（m，n+1）是△ABC内部的一点，则平移后对应点M′的坐标为（﹣1，m﹣2），求m和n的值．
【分析】（1）根据点的位置写出坐标即可；
（2）利用平移变换的性质判断即可；
（3）利用平移变换的性质，构建方程组求解．
【解答】解：（1）观察图象可知A（1，0），A′（﹣4，4）．
故答案为：1，0，﹣4，4；
（2）由坐标可知，△A′B′C′是由△ABC向左平移5个单位，向上平移4个单位得到；
（3）由题意得：，，
解得：，
∴m＝4，n＝﹣3．
【点评】本题考查平面直角坐标系中的平移变换和二元一次方程组的解法，解题的关键是掌握平移变换的性质．
14．如图，已知A（﹣2，3）、B（4，3）、C（﹣1，﹣3）
（1）求点C到x轴的距离；
（2）求△ABC的面积；
（3）点P在y轴上，当△ABP的面积为6时，请直接写出点P的坐标．
【分析】（1）点C的纵坐标的绝对值就是点C到x轴的距离解答；
（2）根据三角形的面积公式列式进行计算即可求解；
（3）设点P的坐标为（0，y），根据△ABP的面积为6，A（﹣2，3）、B（4，3），所以，即|x﹣3|＝2，所以x＝5或x＝1，即可解答．
【解答】解：（1）∵C（﹣1，﹣3），
∴|﹣3|＝3，
∴点C到x轴的距离为3；
（2）∵A（﹣2，3）、B（4，3）、C（﹣1，﹣3）
∴AB＝4﹣（﹣2）＝6，点C到边AB的距离为：3﹣（﹣3）＝6，
∴△ABC的面积为：6×6÷2＝18．
（3）设点P的坐标为（0，y），
∵△ABP的面积为6，A（﹣2，3）、B（4，3），
∴6×|y﹣3|＝6，
∴|y﹣3|＝2，
∴y＝1或y＝5，
∴P点的坐标为（0，1）或（0，5）．
【点评】本题考查了坐标与图形，解决本题的关键是利用数形结合的思想．
拔高拓展
15．如图，正方形ABCD和正方形EFGH的对角线BD、FH都在x轴上，O、M分别为正方形ABCD和正方形EFGH的中心（正方形对角线的交点称为正方形的中心），O为平面直角坐标系的原点，OD＝3，MH＝2，DF＝3．
（1）如果M在x轴上平移时，正方形EFGH也随之平移，其形状、大小没有改变，当中心M在x轴上平移到两个正方形只有一个公共点时，求此时正方形EFGH各顶点的坐标．
（2）如果O在直线x轴上平移时，正方形ABCD也随之平移，其形状、大小没有改变，当中心O在x轴上平移到两个正方形公共部分的面积为2个平方单位时，求此时正方形ABCD各顶点的坐标．
【分析】（1）根据题意结合正方形EFGH分别向右平移以及向左平移，进而得出各点坐标；
（2）利用正方形的性质结合正方形ABCD分别向右平移以及向左平移，进而得出各点坐标．
【解答】解：（1）如图1所示：
∵O、M分别为正方形ABCD和正方形EFGH的中心，OD＝3，MH＝2，DF＝3，
∴EM＝MG＝2，OM＝5，HO＝7，
∴E（5，2），F（3，0），G（5，﹣2），H（7，0），
如图2所示：
由题意可得：F0＝7，EM＝MG＝2，MO＝5，
故E（﹣5，2），F（﹣7，0），G（﹣5，﹣2），H（﹣3，0）；
（2）如图3，
当中心O在x轴上平移到两个正方形公共部分的面积为2个平方单位时，
则点D与点M重合，则正方形ABCD向右平移5个单位，则BO＝2，AN＝NC＝3，DO＝8，
故A（5，3），B（2，0），C（5，﹣3），D（8，0），
如图4，
当中心O在x轴上平移到两个正方形公共部分的面积为2个平方单位时，
则点D与点M重合，则正方形ABCD向右平移11个单位，则BO＝8，AN＝NC＝3，DO＝14，
故A（11，3），B（8，0），C（11，﹣3），D（14，0）．
【点评】此题主要考查了平移变换以及正方形的性质以及坐标与图形的性质等知识，利用分类讨论得出对应点位置是解题关键．
()/ 让教学更有效 高效备课 | 数学学科
9.2.2 用坐标表示平移 分层作业
基础训练
1．（2024 资阳）在平面直角坐标系中，将点（﹣2，1）沿y轴向上平移1个单位后，得到的点的坐标为（ ）
A．（﹣2，0） B．（﹣2，2） C．（﹣3，1） D．（﹣1，1）
2．（2022 广东）在平面直角坐标系中，将点（1，1）向右平移2个单位后，得到的点的坐标是（ ）
A．（3，1） B．（﹣1，1） C．（1，3） D．（1，﹣1）
3．（2022 百色）如图，在△ABC中，点A（3，1），B（1，2），将△ABC向左平移2个单位，再向上平移1个单位，则点B的对应点B′的坐标为（ ）
A．（3，1） B．（3，3） C．（﹣1，1） D．（﹣1，3）
4．在直角坐标系中，把点P（m，n）先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，恰好与原点重合，则m的值为（ ）
A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣3
5．（2021 凉山州）在平面直角坐标系中，将线段AB平移后得到线段A'B'，点A（2，1）的对应点A'的坐标为（﹣2，﹣3），则点B（﹣2，3）的对应点B'的坐标为（ ）
A．（6，1） B．（3，7） C．（﹣6，﹣1） D．（2，﹣1）
6．（2024 江西）在平面直角坐标系中，将点A（1，1）向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度得到点B，则点B的坐标为 ．
7．（2023 绵阳）在平面直角坐标系中，将点A（﹣1，2）先向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到点B（a，b），则a+b＝ ．
8．如图，下列网格中，每个小正方形的边长都是1，图中“鱼”的各个顶点都在格点上．
（1）把“鱼”向右平移5个单位长度，并画出平移后的图形．
（2）写出A、B、C三点平移后的对应点A′、B′、C′的坐标．
9．如图，直角坐标系中，△ABC的顶点都在网格点上，其中，C点坐标为（1，2）．
（1）填空：点A的坐标是 ，点B的坐标是 ；
（2）将△ABC先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到△A′B′C′．请写出△A′B′C′的三个顶点坐标；
（3）求△ABC的面积．
能力提升
10．在平面直角坐标系中，已知点P坐标为（0，﹣3）、点Q坐标为（5，1），连接PQ后平移得到P1Q1，若P1（m，﹣2）、Q1（2，n），则n-m的值是（ ）
A． B． C．8 D．9
11．（2021 西宁）在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标是（2，﹣1），若AB∥y轴，且AB＝9，则点B的坐标是 ．
12．（2022 毕节）如图，在平面直角坐标系中，把一个点从原点开始向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到点A1（1，1）；把点A1向上平移2个单位，再向左平移2个单位，得到点A2（﹣1，3）；把点A2向下平移3个单位，再向左平移3个单位，得到点A3（﹣4，0）；把点A3向下平移4个单位，再向右平移4个单位，得到点A4（0，﹣4），…；按此做法进行下去，则点A10的坐标为 ．
13．在平面直角坐标系中，△ABC经过平移得到△A′B′C′，位置如图所示．
（1）分别写出点A，A′的坐标：A（ ， ），A′（ ， ）．
（2）请说明△A′B′C′是由△ABC经过怎样的平移得到的；
（3）若点M（m，n+1）是△ABC内部的一点，则平移后对应点M′的坐标为（﹣1，m﹣2），求m和n的值．
14．如图，已知A（﹣2，3）、B（4，3）、C（﹣1，﹣3）
（1）求点C到x轴的距离；
（2）求△ABC的面积；
（3）点P在y轴上，当△ABP的面积为6时，请直接写出点P的坐标．
拔高拓展
15．如图，正方形ABCD和正方形EFGH的对角线BD、FH都在x轴上，O、M分别为正方形ABCD和正方形EFGH的中心（正方形对角线的交点称为正方形的中心），O为平面直角坐标系的原点，OD＝3，MH＝2，DF＝3．
（1）如果M在x轴上平移时，正方形EFGH也随之平移，其形状、大小没有改变，当中心M在x轴上平移到两个正方形只有一个公共点时，求此时正方形EFGH各顶点的坐标．
（2）如果O在直线x轴上平移时，正方形ABCD也随之平移，其形状、大小没有改变，当中心O在x轴上平移到两个正方形公共部分的面积为2个平方单位时，求此时正方形ABCD各顶点的坐标．
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