第7章 相交线与平行线 易考易错题提分专练
一．选择题（共14小题）
1．下列图形中，∠1与∠2互为邻补角的是（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，点O在直线AB上，OC⊥OD于点O，若∠BOD＝3∠BOC，则∠AOD的度数为（ ）
A．112.5° B．115° C．117.5° D．125°
3．如图，斑马线的作用是为了引导行人安全地通过马路．小丽觉得行人沿垂直马路的方向过斑马线更为合理，这一想法体现的数学依据是（ ）
A．垂线段最短
B．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C．两点之间，线段最短
D．经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行
4．如图，已知BF，CD相交于点O，∠D＝40°，下列说法正确的是（ ）
A．当∠C＝40°时，AB∥CD
B．当∠B＝40°时，BF∥DE
C．当∠BOC＝140°时，BF∥DE
D．当∠F＝40°时，CD∥EF
5．如图，在四边形ABCD中，∠ADC+∠C＝180°，连接BD，若∠ABD＝∠ADB，∠A：∠ABC＝3：2，则∠CBD的度数为（ ）
A．30° B．36° C．40° D．42°
6．下列命题中是真命题的是（ ）
A．相等的角是对顶角
B．同旁内角相等，两直线平行
C．同角的余角相等
D．如果|a|＝|b|，那么a＝b
7．一块直角三角板按如图所示的方式放置在一张长方形纸条上，若∠1＝28°，则∠2的度数为（ ）
A．28 B．36 C．56 D．62
8．如图，AB∥DE，BC⊥CD，设∠ABF＝α，∠CDE＝β，则α与β之间的数量关系正确的是（ ）
A．α﹣β＝90° B．α+β＝90°
C．α+β＝180° D．α与β没有数量关系
9．如图，已知AB∥CD，BE和DF分别平分∠ABF和∠CDE，2∠E﹣∠F＝48°，则∠CDE的度数为（ ）
A．16° B．32° C．48° D．64°
10．黑板上有一个数学问题如图所示：
如图AB⊥BC，BC交CD于点C，AE平分∠BAD交BC于E，AE⊥DE，∠1+∠2＝90°，M，N分别是BA，CD延长线上的点，∠EAM和∠EDN的平分线交于点F．
几位同学经过研究得到以下结论：
嘉嘉说：“AB∥CD”；
琪琪说：“∠AEB+∠ADC＝180°”；
薇薇说：“DE平分∠ADC”；
亮亮说：“∠F＝135°”，则（ ）
A．只有嘉嘉的结论正确
B．嘉嘉和琪琪的结论都正确
C．只有琪琪的结论不正确
D．四个人的结论都正确
11．如图，AB∥CD，则∠A+∠E+∠C＝（ ）
A．90° B．180° C．270° D．360°
12．如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，若第一次拐角∠A＝110°，第二次拐角∠B＝140°，第三次拐的角是∠C，这时的道路CF恰好和第一次拐弯之前的道路AE平行，则∠C为（ ）
A．170° B．160° C．150° D．140°
13．如图，已知AB∥CD，∠MBN∠ABM，∠MDN∠CDM．则∠M与∠N之间满足的数量关系是（ ）
A．∠M＝∠N B．2∠N+5∠M＝720°
C．∠N+∠M＝720° D．5∠N+6∠M＝360°
14．如图，直线a∥b，若∠1＝30°，∠2＝50°，则∠A的度数为（ ）
A．20° B．30° C．40° D．50°
二．填空题（共6小题）
15．如图，点M，N处各安装一个路灯，点P处竖有一广告牌，测得PM＝7m，PN＝5m，则点P到直线MN的距离可能为 m．
16．如图，∠1＝50°，∠2＝130°，∠4＝85°，那么∠3＝ ．
17．如图，已知AB∥CD，∠B＝110°，∠E＝50°，则∠C＝ 度．
18．用一个a的值说明命题“如果a＞﹣3，那么a2＞9”是假命题，这个值可以是a＝ ．
19．如图，在△ABC中，BC＝5，∠A70°，∠B＝75°，把△ABC沿直线BC的方向平移到△DEF的位置，若CF＝3，有下列结论：①BE＝3，②∠F＝35°，③DF＝5，④AB∥DE，其中正确的有 ．（填序号）
20．已知AB∥CD，AM平分∠BAP，∠PCM＝2∠MCD，2∠M﹣∠P＝10°，则∠PCM＝ ．
三．解答题（共5小题）
21．如图，已知直线AB和CD相交于O点，∠DOE是直角，OF平分∠AOE，∠BOD＝36°，求∠COF的度数．
22．如图，已知∠A＝∠AGE，∠D＝∠DGC
（1）求证：AB∥CD；
（2）若∠1+∠2＝180°，求证：∠BEC+∠B＝180°；
（3）在（2）的基础上，若∠BEC＝2∠B+30°，求∠C的度数．
23．如图，在方格纸中，每个小正方形的边长均为1个单位长度．有一个△ABC，它的三个顶点均与小正方形的格点重合．
（1）将△ABC向右平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度得到△A1B1C1，请在方格纸中画出△A1B1C1；
（2）分别连接AA1，BB1，则AA1与BB1的关系为 ；
（3）求△A1B1C1的面积．
24．已知：AB∥DE．
（1）如图1，点C是夹在AB和DE之间的一点，当AC⊥CD时，垂足为点C，你知道∠A+∠D是多少吗？这一题的解决方法有很多，
例如（i）过点C作AB的平行线；
（ii）过点C作DE的平行线；
（iii）连接AD；
（iv）延长AC、DE相交于一点．
请你选择一种方法（可以不选上述四种），并说明理由．
（2）如图2，点C1、C2是夹在AB和DE之间的两点，请想一想：∠A+∠C1+∠C2+∠D＝ 度，并说明理由．
（3）如图3，随着AB与CD之间点增加，那么∠A+∠C1+∠C2+……+∠Cn+1+∠D＝ 度．（不必说明理由）
25．已知，AB∥DE，点C在AB上方，连接BC、CD．
（1）如图1，求证：∠BCD+∠CDE＝∠ABC；
（2）如图2，过点C作CF⊥BC交ED的延长线于点F，探究∠ABC和∠F之间的数量关系；
（3）如图3，在（2）的条件下，∠CFD的平分线交CD于点G，连接GB并延长至点H，若BH平分∠ABC，求∠BGD﹣∠CGF的值．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 D A A C B C D A B C D
题号 12 13 14
答案 C B A
一．选择题（共14小题）
1．解：A．两个角不存在公共边，不是邻补角，A不符合题意；
B、两个角不存在公共边，不是邻补角，B不符合题意；
C、两个角不存在公共边，不是邻补角，C不符合题意；
D、两个角是邻补角，D符合题意．
选：D．
2．解：∵OC⊥OD，
∴∠BOD+∠BOC＝∠COD＝90°，
∵∠BOD＝3∠BOC，
∴∠BOC＝22.5°，∠BOD＝67.5°，
∴∠AOD＝180°﹣∠BOD＝112.5°，
选：A．
3．解：这一想法体现的数学依据是垂线段最短．
选：A．
4．解：A、当∠C＝40°时，此时∠C＝∠D，则AC∥DE，原说法错误，不符合题意；
B、当∠B＝40°时，此时∠B＝∠D，无法证明平行，原说法错误，不符合题意；
C、当∠BOC＝140°时，∠DOF＝140°，此时∠DOF+∠D＝180°，则BF∥DE，原说法正确，符合题意
D、当∠F＝40°时，此时∠F＝∠D，无法证明平行，原说法错误，不符合题意；
选：C．
5．解：∵∠ADC+∠C＝180°，
∴AD∥BC，
∴∠A+∠ABC＝180°，
∵∠A：∠ABC＝3：2，
∴∠ABC＝180°72°，
∵AD∥BC，
∴∠CBD＝∠ADB，
∵∠ABD＝∠ADB，
∴∠ABD＝∠CBD∠ABC＝36°，
选：B．
6．解：A．相等的角不一定是对顶角，原命题是假命题；
B．同旁内角互补，两直线平行，原命题是假命题；
C．同角的余角相等，是真命题；
D．如果|a|＝|b|，那么a＝b，原命题是假命题；
选：C．
7．解：延长AC交BD于点D，如图，
由题意可得：∠ACB＝90°，AE∥BD，
∴∠BCD＝90°，∠2+∠3＝180°，
∵∠1＝28°，
∴∠3＝∠BCD+∠1＝118°，
∴∠2＝180°﹣∠3＝62°．
选：D．
8．解：过C作CM∥AB，
∵AB∥DE，
∴CM∥DE，
∴∠ABC＝∠BCM，∠MCD＝∠EDC＝β，
∵BC⊥CD，
∴∠BCM＝90°﹣∠MCD＝90°﹣β，
∴∠ABC＝90°﹣β，
∵∠ABC+∠ABF＝180°，
∴90°﹣β+α＝180°，
∴α﹣β＝90°．
选：A．
9．解：设∠ABE＝∠EBF＝x，∠FDE＝∠FDC＝y，
∵AB∥CD，
∴易知∠E＝∠ABE+∠CDE＝x+2y，∠F＝∠CDF+∠ABF＝2x+y，
∵2∠E﹣∠F＝48°，
∴2（x+2y）﹣（2x+y）＝48°，
∴y＝16°，
∴∠CDE＝2y＝32°，
选：B．
10．解：
过点E作EH∥AB交AD于点H，则∠1＝∠AEH，
∵∠AEH+∠DEH＝90°，∠1+∠2＝90°，
∴∠2＝∠DEH，
∴EH∥CD，
∴AB∥CD，
∵AE平分∠BAD，
∴∠1＝∠EAD，
∵∠AED＝90°，
∴∠EAD+∠ADE＝90°，
∴∠ADE＝∠2，
∴DE平分∠ADC，
∵∠EAM和∠EDN的平分线交于点F．
根据平行线的拐点问题得：∠F＝∠MAF+∠FDN（360°﹣45°）＝135°，
∵∠AEB＝∠2，∠EDN+∠2＝180°，而∠EDN≠∠ADC，
选：C．
11．解：过点E作EF∥AB，
∴∠A+∠AEF＝180°，
∵AB∥CD，
∴EF∥CD，
∴∠FEC+∠C＝180°，
∴∠A+∠AEF+∠FEC+∠C＝360°，
即∠A+∠AEC+∠C＝360°，
选：D．
12．解：如图，过点B作BD∥AE，
由已知可得：AE∥CF，
∴AE∥BD∥CF，
∴∠ABD＝∠A＝110°，∠DBC+∠C＝180°，
∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝140°﹣110°＝30°，
∴∠C＝180°﹣∠DBC＝180°﹣30°＝150°．
选：C．
13．解：延长BM、BN分别交CD及延长线于E、F．
∵∠MBN∠ABM，∠MDN∠CDM，
∴∠ABN∠ABM，∠CDN∠CDM．
∵AB∥CD，
∴∠ABM＝∠BED，∠F+∠ABN＝180°．
∴∠F＝180°﹣∠ABN＝180°∠ABM．
∵∠BMD＝∠BED+∠MDC＝∠ABM+∠MDC，
∠BND＝∠NDF+∠F
＝（180°﹣∠CDN）+180°∠ABM
＝180°∠CDM+180°∠ABM
＝360°（∠CDM+∠ABM），
∴∠BND＝360°∠BMD．
∴2∠BND＝720°﹣5∠BMD．
即2∠BND+5∠BMD＝720°．
选：B．
14．解：∵a∥b，∠1＝30°，∠2＝50°，
∴∠3＝∠2＝50°，
∴∠A＝∠3﹣∠1＝50°﹣30°＝20°，
选：A．
二．填空题（共6小题）
15．解：∵PM＝7m，PN＝5m，
∴点P到直线MN的距离小于5cm．
∴点P到直线MN的距离可能为4m，
答案为：4（答案不唯一）．
16．解：∵∠1＝50°，∠2＝130°，
∴∠1+∠2＝180°，
∴a∥b，
∴∠3＝180°﹣∠4，
∴∠3＝180°﹣85°＝95°，
答案为：95°．
17．解：过点E作MN∥AB，如图所示：
∵AB∥CD，MN∥AB，
∴MN∥AB∥CD，
∴∠B＝∠BEN，∠CEN+∠C＝180°，
∵∠B＝110°，∠BEC＝50°，
∴∠BEN＝110°，∠CEN＝∠BEN﹣∠BEC＝110°﹣50°＝60°，
则∠C＝180°﹣∠CEN＝180°﹣60°＝120°，
答案为：120．
18．解：当a＝1时，1＞﹣3，12＝1＜9，
∴“如果a＞﹣3，那么a2＞9”是假命题，
答案为：1（答案不唯一）．
19．解：∵∠A＝70°，∠B＝75°
∴∠ACB＝180°﹣70°﹣75°＝35°，
∵△ABC沿直线BC的方向平移到△DEF的位置，
∴BE＝CF＝3，AB∥DE，△ABC≌DEF，
∴∠F＝∠ACB＝35°，DF＝AC，EF＝BC＝5．
答案为①②④．
20．解：过点M作MN∥AB，过点P作PQ∥CD，
∵PQ∥CD，
∴∠CPQ＝∠DCP，
∵AB∥CD，
∴AB∥PQ，
∴∠BAP＝∠APQ，
∵∠APC＝∠APQ﹣∠CPQ，
∴∠APC＝∠BAP﹣∠DCP，
∵MN∥AB，
∴∠BAM＝∠AMN，
∵AB∥CD，
∴CD∥MN，
∴∠DCM＝∠CMN，
∵∠AMC＝∠AMN﹣∠CMN，
∴∠AMC＝∠BAM﹣∠DCM，
∵AM平分∠BAP，
∴∠PAB＝2∠BAM，
∵∠PCM＝2∠MCD，
∴∠PCM∠PCD，
∴∠PCD∠PCM，
∵2∠AMC﹣∠APC＝10°，
∴2（∠BAM﹣∠DCM）﹣（∠BAP﹣∠DCP）＝10°，
∴2∠BAM﹣2∠DCM﹣∠BAP+∠DCP＝10°，
∴∠PCM﹣∠PCM＝10°，
解得：∠PCM＝20°，
答案为：20°．
三．解答题（共5小题）
21．解：∵∠DOE是直角，
∴∠DOE＝90°，
∴∠COE＝180°﹣∠DOE＝180°﹣90°＝90°，
又∵∠AOC＝∠BOD＝36°，
∴∠AOE＝∠AOC+∠COE＝90°+36°＝126°，
又∵OF平分∠AOE，
∴，
∴∠COF＝∠AOF﹣∠AOC＝63°﹣36°＝27°．
22．（1）证明：∵∠A＝∠AGE，∠D＝∠DGC，
又∵∠AGE＝∠DGC，
∴∠A＝∠D，
∴AB∥CD；
（2）证明：∵∠1＝∠BHA，∠1+∠2＝180°，
∴∠2+∠BHA＝180°，
∴BF∥CE，
∴∠BEC+∠B＝180°；
（3）∵∠BEC+∠B＝180°，∠BEC＝2∠B+30°，
∴∠B＝50°，∠BEC＝130°，
∵AB∥CD，
∴∠C+∠BEC＝180°，
∴∠C＝50°．
23．解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；
（2）如图所示，连接AA1，BB1
∵△ABC平移得到△A1B1C1，
∴AA1∥BB1，AA1＝BB1，
∴AA1与BB1的关系为平行且相等；
（3）．
24．解：（1）如图1，过点C作AB的平行线CF，
∵AB∥DE，
∴CF∥DE，
∴∠A+∠ACF＝180°，∠DCF+∠D＝180°，
∴∠A+∠ACD+∠D＝180°×2＝360°，
又∵AC⊥CD，
∴∠A+∠D＝360°﹣90°＝270°；
（2）如图2，过C1作C1F∥AB，过C2作C2G∥DE，则
∵AB∥DE，
∴C1F∥AB∥C2G∥DE，
∴∠A+∠AC1F＝180°，∠FC1C2+∠C1C2G＝180°，∠GC2D+∠D＝180°，
∴∠A+∠AC1C2+∠C1C2D+∠D＝180°×3＝540°，
答案为：540；
（3）如图3，∠A+∠C1+∠C2+……+∠Cn+1+∠D＝180°×（n+2），
答案为：180（n+2）．
25．（1）证明：过点C作CM∥AB，如图1，
∴∠ABC＝∠BCM，
∵AB∥ED，
∴∠CDE＝∠DCM，
∵∠BCM＝∠BCD+∠DCM，
∴∠ABC＝∠BCD+∠CDE；
（2）解：∠ABC﹣∠F＝90°，理由：
过点C作CN∥AB，如图2，
∴∠ABC＝∠BCN，
∵AB∥ED，
∴CN∥EF，
∴∠F＝∠FCN，
∵∠BCN＝∠BCF+∠FCN，
∴∠ABC＝∠BCF+∠F，
∵CF⊥BC，
∴∠BCF＝90°，
∴∠ABC＝90°+∠F，
即∠ABC﹣∠F＝90°；
（3）延长HG交EF于点Q，过点G作GP∥EF，如图3，
∴∠BGD＝∠CGQ，
∵AB∥DE，
∴∠ABH＝∠EQG，
∵GP∥EF，
∴∠EQG＝∠PGQ，∠EFG＝∠PGF，
∴∠PGQ＝∠ABH，
∴∠BGD﹣∠CGF＝∠CGQ﹣∠CGF＝∠FGQ，
∵∠FGQ＝∠PGQ﹣∠PGF，
∴∠FGQ＝∠ABH﹣∠EFG，
∵BH平分∠ABC，FG平分∠CFD，
∴∠ABH∠ABC，∠EFG∠CFD，
∴∠FGQ∠ABC∠CFD（∠ABC﹣∠CFD），
由（2）可得：∠ABC﹣∠CFD＝90°，
∴∠FGQ90°＝45°，
即∠BGD﹣∠CGF＝45°．
第4页（共16页）
