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2025 年 四 川 省 乐 山 市 中 考 一 模 猜 题 卷
数 学
本试题卷分为第I 卷（ 选择题） 和第II 卷（ 非选择题） 两部分，共6 页，满分150 分，
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，答卷时，须将答案答在答題
卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效、考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回．
注意事项：必须使用2B 铅笔将答案标号填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．
第I 卷（ 选择题）
一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分．
1．若反比例函数的图象经过第二、四象限，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．不存在
2．图的几何体中， 各自的三视图完全一样的是( )
A． B．
C． D．
3．据杭州市统计局公布的数据显示，2023年我市围绕高水平重塑全国数字经济第一城，奋力推进数字经济创新提质“一号发展工程”，全年数字经济核心产业增加值5675亿元，比上年增长8.5%，占全市GDP比重达28.3%，创历史新高．数据“5675亿”用科学记数法表示为（ ）
A．5675×108 B．56.75×109
C．5.675×1011 D．0.5675×1012
4．下列命题：多边形的外角和小于内角和，三角形的内角和等于外角和，多边形的外角和是指这个多边形所有外角之和，四边形的内角和等于它的外角和．其中正确的有( )
A．个 B．个 C．个 D．个
5．一个口袋中有红球、白球共个，这些球除颜色外都相同将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸了次球，发现有次摸到白球请你估计这个口袋中有个白球．（ ）
A． B． C． D．
6．如图， 在 中， 分别为 上的点， 且 ， 则下列各式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．已知，则化简的结果为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，抛物线经过点，．下列结论：①；②；③若抛物线上有点，，，则；④方程的解为，，其中正确的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
9．由二次函数可知（ ）
A．其图象的开口向下 B．其图象的对称轴为直线
C．其最小值为2 D．当时，y随x的增大而减小
10．如图，在菱形ABCD中，AB=4，∠C=60°，将菱形折叠，使点A恰好落在对角线BD上的G点处（不与B，D重合），折痕为EF，若DG=BG，则BE的长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分．
11．如图，将长方形场地进行扩建，扩建增加的部分是长方形，若米，米，扩建后场地增加的面积（阴影部分面积）是平方米，则 米．
12．有一组数据：6、3、4、x、7，它们的平均数是10，则这组数据的中位数是 ．
13．如图是某家具店出售的木椅的侧面图， 其中，，， 则的度数为 ．
14．如图，点B是反比例函数y＝图象上的一点，矩形OABC的周长是20，正方形OCDF与正方形BCGH的面积之和为68，则k的值为
15．如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，的顶点均在格点上，则的面积为 ，阴影部分的面积为 ．
16．下列关于的函数中，随的增大而增大的有 ．（填序号）
①，②，③，④
三、解答题：本大题共10个小题，共102分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．
17．计算：
（1）；
（2）．
18．解下列二元一次方程组
（1）
（2）
19．已知：在中，，于点D，点E为上一点，且，连接并延长交于点F，连接．
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）若，求证．
20．我们在探究一元二次方程根与系数的关系中发现：如果关于的方程的两个根是，，那么由求根公式可推出，．请根据这一结论，解决下列问题：
（1）若，是方程的两根，则________，________；
（2）若，是方程的两根，求，的值；
（3）已知两个不同的实数，满足，，求的值．
21．某校九年级1班班主任计划对班级每位学生进行家访，家访的形式有到家家访、电话家访、信息家访、到校家访，以下是该班级家访的条形统计图和扇形统计图．
（1）扇形统计图中到家家访的圆心角为__________；
（2）补全条形统计图；
（3）若选择“到家家访”的四位学生分别为A、B、C、D，班主任决定本周从这4人中随机选取两人进行到家家访，用列表法或画树状图法求本周恰好选中A、B两人的概率．
22．如图，一次函数y1＝mx＋n(m≠0)的图象与反比例函数y2＝(k≠0)的图象相交于A(a，－1)，B(－1，3)两点，且一次函数的图象交x轴于点C，交y轴于点D.
（1）求一次函数和反比例函数的表达式．
（2）第四象限的反比例图象上有一点P，使得S△OCP＝4S△OBD，请求出点P的坐标．
（3）对于反比例函数y2＝(k≠0)，当y≤3时，直接写出x的取值范围．
23．某课桌生产厂家研究发现，倾斜12°至24°的桌面有利于学生保持躯体自然姿势．根据这一研究，厂家决定将水平桌面做成可调节角度得桌面．新桌面的设计图如图1，可绕点旋转，在点处安装一根长度一定且处固定，可旋转的支撑臂，．
（1）如图2，当时，，求支撑臂的长；
（2）如图3，当时，求的长．（结果保留根号）
（参考数据：，，，）
24．如图，Rt△ACB中，∠C＝90°，点D在AC上，∠CBD＝∠A，过A、D两点的圆的圆心O在AB上.
（1）判断BD所在直线与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）若AE＝4，∠A＝30°，求图中由BD、BE、弧DE围成阴影部分面积.
25．
（1）解不等式，并把它的解集表示在数轴上．
（2）解不等式组．
26．问题提出：如图（1），是菱形边上一点，是等腰三角形，，，交于点，探究与的数量关系．问题探究：
（1）先将问题特殊化，如图（2），当时，直接写出的大小；
（2）再探究一般情形，如图（1），求与的数量关系；
（3）问题拓展将图（1）特殊化，如图（3），当时，若，求的值．
答案解析部分
1．B
2．D
解：A中的几何体的主视图与左视图都是矩形，俯视图是三角形，故不符合；
B中的几何体的主视图与左视图都是三角形，俯视图是圆，故不符合；
C中的几何体的主视图与左视图都是矩形，俯视图是圆，故不符合；
D中的几何体的主视图、左视图、俯视图是完全一样的圆，故符合.
故答案为：D.
分析四个选项中的几何体的三视图，再作出判断.
3．C
解：5675亿．
故答案为：C．
将一个数表示为的形式，其中，n是整数，原数大于10时，n是正整数，n的值等于小数点移动的位数.
4．B
解：∵ 多边形的外角和为360°，n边形的内角和为180°（n-2），
∴ n=3时，三角形的外角和大于内角和；
n=4时，四边形的外角和等于它的内角和；
n≥5时，n边形的外角和小于内角和；
内角和是指每个顶点出的一个外角的总和，而非所有外角之和；
即正确的有④.
故答案为：B.
根据多边形的外角和的定义及其公式，多边形的内角和公式分别计算判断，即可求得.
5．C
∵共摸了次球，发现有次摸到白球，
∴P（摸到白球）=，
估计这个口袋中有（个）白球 .
故答案为：A.
先求得摸到白球概率，再利用摸到白球的概率估计这个口袋中白球个数.
6．D
解：∵EF//BC，
∴
∵DF//AB，
∴
A.，，
∴，故选项A错误，不符合题意；
B.∵，
∴，
∴四边形EFDB是平行四边形，
∴EF=BD，BE=DF.
∴，即，故选项B错误，不符合题意；
C.，即，故选项C错误，不符合题意；
D.，
∴，故选项D正确，符合题意.
故答案为：D.
根据平行线分线段成比例可得利用等量代换即可判断AD；证明四边形EFDB是平行四边形，可得EF=BD，BE=DF.利用等量代换即可判断BC.
7．A
8．D
解：∵抛物线开口向下，对称轴x=-在y轴右侧，与y轴的交点在正半轴，
∴a<0，b>0，c>0，
∴<0，故①错误；
∵抛物线过点（-2，0）、（3，0），
∴对称轴为直线x=，
∴b=-a.
∵4a-2b+c=0，
∴-4b-2b+c=0，
∴c=6b，故②错误；
∵|--|<|-|<|-3-|，
∴y3>y1>y2，故③正确；
∵抛物线过点（-2，0）、（3，0），
∴ax2+bx+c=0的两根分别为-2、3，
∴=-6，
∴cx2+bx+a=0的两根满足x1·x2==-，但不能求出x1、x2，故④错误.
故答案为：D.
由图象可得：抛物线开口向下，对称轴x=-在y轴右侧，与y轴的交点在正半轴，据此可得a、b、c的符号，进而判断①；由题意可得对称轴为直线x=，则b=-a，根据图象过点（-2，0）可得4a-2b+c=0，将b=-a代入即可判断②；根据距离对称轴越近的点对应的函数值越大可判断③；由题意可得ax2+bx+c=0的两根分别为-2、3，则=-6，cx2+bx+a=0的两根满足x1·x2==-，据此判断④.
9．B
解：∵，
∴，顶点坐标为，对称轴为直线
A. 其图象的开口向上，故该选项不正确，不符合题意；
B. 其图象的对称轴为直线，故该选项正确，符合题意；
C. 其最小值为，故该选项不正确，不符合题意；
D. 当时，y随x的增大而增大，故该选项不正确，不符合题意；
故答案为：B．
利用判断开口，然后求出顶点坐标，再根据对称轴得到增减性判断即可．
10．D
解：如图，过点E作EH⊥BD于点H，
由折叠的性质得：EG=AE，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD=CD=BC，
又∵∠C=60°，
∴∠BAD=60°，
∴△ABD为等边三角形，
∴AB=BD=4，
又∵DG=BG，
∴，
∴BG=3，
设BE=x，则EG=AE=4-x，
在Rt△EHB中，
∠HEB=90°-60°=30°，
∴BH=BE sin30°=，
EH=BE cos30°=，
∴GH=3-，
在Rt△GEH中，由勾股定理得：
，
解得：x=，
即BE=.
故答案为：D.
过点E作EH⊥BD于点H，由折叠的性质得：EG=AE，根据菱形的性质可得AB=AD=CD=BC，进而推出△ABD为等边三角形，得到AB=BD=4，由DG=BG可得BD=DG+GB=BG+BG=BG=4，求出BG的值，设BE=x，则EG=AE=4-x，BH=，EH=，GH=3-，接下来在Rt△GEH中，利用勾股定理求解即可.
11．
12．6
解：∵数据6、3、4、x、7，它们的平均数是10，
∴（6+3+4+x+7）÷5=10，
解得：x=30，
∴这组数据是：3、4、6、7、30，
∴中位数是：6．
故答案为6．
首先根据数据6、3、4、x、7，的平均数是10，求出x的值，再根据中位数的求法：给定n个数据，按从小到大排序，如果n为奇数，位于中间的那个数就是中位数；如果n为偶数，位于中间两个数的平均数就是中位数，求出即可．
13．
解：∵，∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
由三角形内角和及平行线的性质，从已知角逐步推理往目标角靠拢分析求解即可.
14．16
15．5；
16．③
解：函数①y随x的增大而减小，选项错误，不符合题意；
函数②x＜0时，y随x的增大而减小，当x＞0时，y随x的增大而减小，选项错误，不符合题意；
函数③x＞0时，y随x的增大而增大，选项正确，符合题意；
函数④x＞0时，y随x的增大而减小，选项错误，不符合题意；
故答案为：③.
根据一次函数、反比例函数、二次函数的图象和性质进行作答。
17．（1）解：
；
（2）解：
．
（1）先运算乘方，然后运算乘除，最后运算加减解题．
（2）先运算算术平方根、立方根和绝对值，然后运算乘法，再运算加减解题即可．
（1）解：
；
（2）解：
．
18．（1）解：
将①代入②得：，
解得：，
将代入①，得：，
；
（2）解：
得：，
解得：，
将代入①，得：，
解得：，
．
（1）利用代入消元法的计算方法及步骤分析求解即可.
（2）利用加减消元法的计算方法及步骤分析求解即可.
（1）解：
将①代入②得：，
解得：，
将代入①，得：，
；
（2）解：
得：，
解得：，
将代入①，得：，
解得：，
．
19．（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴；
（3）证明：由（2）知，
∴，
∵，
∴，
∵．
（1）根据等腰直角三角形判定定理可得是等腰直角三角形，则，再根据全等三角形判定定理可得，则，即可求出答案.
（2）根据全等三角形性质可得，再根据角之间的关系即可求出答案.
（3） 由（2）知， 则， 再根据边之间的关系即可求出答案.
（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴；
（3）证明：由（2）知，
∴，
∵，
∴，
∵．
20．（1）
（2），
（3）的值为
21．（1）
（2）解：电话家访人数为：
补全条形统计图如下：
（3）解：列表如下：
A B Ｃ Ｄ
A
B
C
D
由表格可知，共有12种等可能情况，其中满足本周恰好选中A、B两人的有2种，故本周恰好选中A、B两人的概率：.
解：（1）这次抽取的学生人数为：
扇形统计图中D部分所对应的扇形圆心角度数为：
故答案为：．
（1）由到校的人数除以所占百分比求出抽取的总人数，即可求出答案.
（2）作差法求出人数，补全条形统计图即可；
（3）列出表格，求出所有等可能的结果，再求出正好抽到A、B两人的结果，再根据概率公式即可求出答案.
22．（1）解：反比例函数的图象过点，
∴，
∴，
∵在双曲线上．
∴，
∴，
∴，
∵一次函数的图象经过、，
∴，解得，
∴一次函数的解析式为；
（2）解：在中，当时，；当时，则，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∵点P在第四象限，
∴，
代入得，，
解得，
∴点P的坐标为；
（3）解：观察图象可知，对于反比例函数，当时，x的取值范围是或．
【分式】（1）利用待定系数法求得，进而得，然后利用待定系数法即可求得一次函数的解析式；
（2）由直线解析式求得，，进而求得，由题意得到，即，即可求得点P的坐标为；
（3）通过图象观察就可以直接看出当时的取值范围．
23．解：（1）∵∠BAC=24°，，
∴
∴，
∴支撑臂的长为12cm
（2）如图，过点C作CE⊥AB，于点E，
当∠BAC=12°时，
∴
∴
∵CD=12，
∴由勾股定理得： ，
∴AD的长为(12+6)cm或(12 6)cm
（1）利用解直角三角形得到，即可解题；
（2）根据解直角三角形得到，然后根据勾股定理得到DE、AE的值解题即可．
24．（1）解：直线BD与⊙O的位置关系是相切
证明：连接OD、DE
∵∠C＝90°
∴∠CBD+∠CDB＝90°
∵∠A＝∠CBD
∴∠A+∠CDB＝90°
∵OD＝OA
∴∠A＝∠ADO
∴∠ADO+∠CDB＝90°
∴∠ODB＝180°-90°＝90°
∴OD⊥BD
∵OD为半径
∴BD是⊙O切线
（2）解：∵AE是⊙O直径
∴∠ADE＝90°
∵AE＝4，∠A＝30°
∴DE＝AE＝2，∠AED＝60°
∵OD＝OE
∴△DOE是等边三角形
∴∠ODE＝60°，OD＝OE＝DE＝2
∵∠ODB＝90°
∴∠EDB＝30°
∴∠B＝∠DEO-∠EDB＝60°-30°＝30°
∴OB＝2OD＝4
由勾股定理得：DB＝，
∴阴影部分的面积S＝S△ODB-S扇形DOE
＝
＝.
（1）连接OD、DE，由已知条件可知∠A=∠CBD，根据等腰三角形的性质可得∠A＝∠ADO，结合∠A+∠CDB=90°可得∠ODB＝90°，据此证明；
（2）由圆周角定理可得∠ADE＝90°，根据含30°角的直角三角形的性质可得DE＝AE＝2，推出△DOE是等边三角形，得到∠ODE＝60°，OD＝OE＝DE＝2，则∠EDB＝30°，∠B＝∠DEO-∠EDB＝30°，OB＝2OD＝4，由勾股定理可得DB，然后根据S阴影=S△ODB-S扇形DOE进行计算.
25．（1）解：，
7（1-x）≤3（1-2x），
7-7x≤3-6x，
-7x+6x≤3-7，
-x≤-4，
x≥4，
在数轴上表示不等式的解集为：
；
（2）解：∵解不等式5x-1＞3（x+1）得：x＞2，
解不等式x-1≤7-x得：x≤4，
∴不等式组的解集是2＜x≤4．
（1）利用不等式的性质及不等式的解法求出解集并在数轴上画出解集即可；
（2）利用不等式的性质及不等式组的解法求出解集即可。
26．（1）解：
（2）解：在上截取，使，连接．
，，
．
，
．
．
∵四边形是菱形，
∴，，
，，
，
．
∴
．
（3）解：过点作的垂线交的延长线于点，如图所示：
设菱形的边长为，
，
．
∵四边形ABCD是菱形， ，
∴，
，
∴在中，，
，
∴.
，
∴由（2）知，．
，
，
，即，
；
在上截取，使，连接，作于点O．
由（2）知，，
∴，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
．
解：（1）过点F作交延长线于H，
∴，
∴，，
∴，
在和中
∴，
∴，，
∵四边形是菱形，，
∴四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：
（1）过点F作交延长线于H，证明，得，，证明四边形ABCD是正方形，得，于是可证得，，再由∠DCH=90°，可得结论.
（2）在上截取，使，连接．证明，可得．再根据菱形的性质可证得∠BCD的度数和BN=BE.由BN=BE可求∠ANE的度数，利用∠ECF－∠BCD即可求∠GCF的度数.
（3）过点作的垂线交的延长线于点，设菱形边长为，根据 可表示出DG和CG；根据菱形对角的性质得∠ADP=60°，于是可求PD和AP的度数；根据和（2）的结论可得∠GCF=90°=∠P，于是可证.根据相似三角形的性质求得CF的长；在上截取，使，连接，作于点O．可得，从而求得NE长.证明等腰三角形BNE，利用“三线合一”的性质和含30°角直角三角形的性质求得BE以及CE长，即可得结论.
