2024年广东省梅州市石坑中学中考数学一模试卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）与﹣2022的积为1的是（ ）
A．2022 B． C．﹣2022 D．
2．（3分）下列交通标志，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（3分）我国渤海、黄海、东海、南海海水含有不少化学元素，其中铝、锰元素总量均约为8×106吨，则铝、锰元素总量的和约为（ ）
A．8000000吨 B．160000000吨
C．16000000吨 D．80000000吨
4．（3分）已知点A（x，y），且xy＞0，则点A在（ ）
A．第二、三象限 B．第一、三象限
C．第三、四象限 D．第一、二象限
5．（3分）今年5月1日，我市某商场停车场的停车量为2000辆次，其中两轮电动车平均停车费为每辆1元一次，小汽车平均停车费为每辆5元一次，若两轮电动车停车辆数为x辆次，停车的总收入为y元，则y与x的关系式为（ ）
A．y＝﹣4x+10000 B．y＝﹣3x+8000
C．y＝﹣2x+4000 D．y＝﹣4x+5000
6．（3分）如图，直线l1∥l2，等腰直角ABC的两个顶点A、B分别落在直线l1、l2上，∠C＝90°，若∠2＝31°，则∠1的度数为（ ）
A．14° B．24° C．29° D．31°
7．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣xk＝0有两个相等的实数根，则k的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．
8．（3分）如图是一款手推车的示意图，其中AB∥CD，∠1＝26°，∠2＝79°，则∠3度数为（ ）
A．104° B．127° C．137° D．154°
9．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E在DC上，把△ADE沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处，则cos∠CEF的值为（ ）
A． B． C． D．
10．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象上部分点的坐标（x，y）的对应值如表所示，则方程ax2+bx＝﹣3的根是（ ）
x … 0 8 …
y … 4 1 4 …
A．0或8 B．或8 C．或4 D．1或7
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．（3分）分解因式：3x2﹣9xy＝ ．
12．（3分）如图，在平行四边形ABCD中（AD＞AB），以B为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB，BC边于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点P，作射线BP交AD边于点E，若∠D＝52°，则∠AEB＝ °．
13．（3分）已知关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0有一个非零实数根c，则b+c的值为 ．
14．（3分）如图，小华设计了一个探索杠杆平衡条件的实验，在一根匀质的木杆中点O处用一根细绳挂在支架上，在点O的左侧固定位置B处悬挂重物A，在点O的右侧用一个弹簧测力计向下拉木杆，使木杆达到平衡（杠杆平衡时，动力×动力臂＝阻力×阻力臂）．改变弹簧测力计与点O的距离x（单位：cm），观察弹簧测力计的示数y（单位：N）的变化情况，实验数据记录如下：
x（cm） … 10 15 20 25 30 …
y（N） … 30 20 15 15 10 …
其中有一组数据记录错了，这组数据对应的x是 ．
15．（3分）如图，四边形ABCD中，AB＝AC＝AD，∠CBD＝15°，BDAB，则∠BDC＝ ．
三．解答题（共8小题，满分75分）
16．（8分）．
17．（8分）先化简，再求值，其中x＝﹣1．
18．（8分）如图，矩形ABCD中，∠BAC＝60°．
（1）用尺规作∠BAC的角平分线AP交BC于点E（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）若BE＝2cm，求CE的长．
19．（9分）“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明“．小李同学购买了“二十四节气”主题邮票，他将A（小雪）、B（寒露）、C（秋分）、D（立秋）四张纪念邮票（除正面不同外，其余均相同）背面朝上洗匀．
（1）小李从中随机抽取一张邮票，抽中是B（寒露）的概率是 ．
（2）小李先从中随机抽取一张邮票，记下内容后，正面朝下放回，重新洗匀后再随机抽取一张邮票．请用树状图或列表的办法求小李两次抽取的邮票中至少有一张是D（立秋）的概率．
20．（9分）如图1，是一把躺椅的实物图，图2是躺椅支架的侧面放大示意图，∠BAC是一个可调节的角，小何通过调节∠BAC的角度使人躺着更舒适，经测量：当∠ABC＝58°，∠ACB＝32°时，∠BAC达到最佳角度，为了固定此时∠BAC的度数，需要在∠BAC内部加一支架DE，且ADBD，AECE，已知AD＝20cm，求支架DE的长（结果精确到1cm）．（参考数据：sin58°≈0.85；cos58°≈0.53；tan58°≈1.60；sin32°≈0.53；cos32°≈0.85；tan32°≈0.62）
21．（9分）习近平总书记在全国教育大会上作出了优先发展教育事业的重大部署，县委县政府积极响应，对通往某偏远学校的一段全长为1200米的道路进行了改造，铺设柏油路面．铺设400米后，为了尽快完成道路改造，后来每天的工作效率比原计划提高25%，结果共用13天完成道路改造任务．
（1）求原计划每天铺设路面多少米？
（2）若承包商原来每天支付工人工资为1500元，提高工作效率后每天支付给工人的工资增长了20%，完成整个工程后承包商共支付工人工资多少元？
22．（12分）学校组织九年级学生进行跨学科主题学习活动，利用函数的相关知识研究某种化学试剂的挥发情况．在两种不同的场景A和场景B下做对比实验，设实验过程中，该试剂挥发时间为x分钟时，在场景A，B中的剩余质量分别为y1，y2（单位：克）．
下面是某研究小组的探究过程，请补充完整：
记录y1，y2与x的几组对应值如下：
x（分钟） 0 5 10 15 20 …
y1（克） 25 23.5 20 14.5 7 …
y2（克） 25 20 15 10 5 …
（1）在同一平面直角坐标系xOy中，描出上表中各组数值所对应的点（x，y1），（x，y2），并画出函数y1，y2的图象；
（2）进一步探究发现，场景A的图象是抛物线的一部分，y1与x之间近似满足函数关系y1＝﹣0.04x2+bx+c．场景B的图象是直线的一部分，y2与x之间近似满足函数关系y2＝ax+c（a≠0）．请分别求出场景A，B满足的函数关系式；
（3）查阅文献可知，该化学试剂的质量不低于4克时，才能发挥作用．在上述实验中，记该化学试剂在场景A，B中发挥作用的时间分别为xA，xB，则xA xB（填“＞”，“＝”或“＜”）．
23．（12分）如图1，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝12，点E在AB上，AE＝5，点F在BC上，BF＝4，作射线DF．点P从点A出发沿AD向点D运动，将矩形沿PE折叠，点A落在点G处．设点P运动的路径长为x．
（1）①EF＝ ；
②当x＝3时，△APE与△BEF全等吗？请说明理由；
（2）当线段DG的长最小时，求tan∠AEP的值？
（3）③若点G落在射线DF上，求x的值；
④请直接写出点G到射线DF的距离（用含x的式子表示） ．
参考答案与试题解析
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D D C B A A C B A B
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．解：∵（﹣2022）＝1，
故选：D．
2．解：A．不是轴对称图形，不是中心对称图形，故A选项不合题意；
B．不是轴对称图形，不是中心对称图形，故B选项不合题意；
C．不是轴对称图形，不是中心对称图形，故C选项不合题意；
D．是轴对称图形，是中心对称图形，故D选项合题意；
故选：D．
3．解：∵铝、锰元素总量均约为8×106吨，
∴铝、锰元素总量的和，接近值是：8×106+8×106＝1.6×107＝16000000（吨）．
故选：C．
4．解：∵点A（x，y），且xy＞0，
∴x，y同号，
∴点A在第一、三象限．
故选：B．
5．解：∵两轮电动车停车辆数为x辆次，
∴小汽车停车辆数为（2000﹣x）辆次，
∵两轮电动车平均停车费为每辆1元一次，小汽车平均停车费为每辆5元一次，
∴y＝x+5（2000﹣x），
整理得：y＝﹣4x+10000，
故选：A．
6．解：∵直线l1∥l2，
∴∠2＝∠3＝31°，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠BAC＝45°，
∴∠1＝45°﹣31°＝14°．
故选：A．
7．解：∵一元二次方程x2﹣xk＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝1﹣4×（k）＝0，
解得k＝2，
故选：C．
8．解：如图：
∵AB∥CD，∠1＝26°，
∴∠A＝∠1＝26°，
∵∠2＝79°，∠2+∠4＝180°，
∴∠4＝180°﹣∠2＝180°﹣79°＝101°，
∴∠3＝∠4+∠A＝101°+26°＝127°．
故选：B．
9．解：方法一：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝8，DC＝AB＝6，
∵把△ADE沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处，
∴AF＝AD＝8，EF＝DE，
∴BF，
∴CF＝BC﹣BF＝8，
在Rt△EFC中，
CE＝DC﹣DE＝6﹣EF，
由勾股定理，得EF2＝CE2+CF2，
∴EF2＝（6﹣EF）2+（8）2，
∴EF，
∴CE＝6，
∴cos∠CEF，
故选：A．
方法二：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝8，∠B＝∠C＝∠D＝90°，
∴∠CEF+∠EFC＝90°，
∵把△ADE沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处，
∴AF＝AD＝8，∠AFE＝∠D＝90°，
∴∠AFB+∠EFC＝90°，
∴∠CEF＝∠AFB，
∵AB＝6，
∴BF，
∴cos∠CEF＝cos∠AFB
故选：A．
10．解：由抛物线经过点（0，4）得到c＝4，
∵抛物线经过点（0，4）、（8，4），
∴抛物线的对称轴为直线x＝4，
∵抛物线经过点（，1），
∴抛物线经过点（8，1），
∴二次函数解析式为y＝ax2+bx+4，
∴方程ax2+bx＝﹣3变形为ax2+bx+4＝1的根理解为函数值为1所对应的自变量的值，
∴方程ax2+bx＝﹣3的根为x1，x2＝8．
故选：B．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．解：原式＝3x（x﹣3y）．
故答案为：3x（x﹣3y）．
12．解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，∠ABC＝∠D＝52°，
由作法得BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE∠ABC56°＝26°，
∵AD∥BC，
∴∠AEB＝∠CBE＝26°．
故答案为：26．
13．解：把c代入x2+bx+c＝0得：c2+bc+c＝0，
即c+b+1＝0，
解得：b+c＝﹣1，
故答案为：﹣1．
14．解：观察表格数据可得，y与x成反比例函数关系，设y，
∴k＝10×30＝300．
∴函数为y．
又当x＝25时，y12，
∴根据表格数据，当x＝25，y＝15数据错误．
故答案为：25．
15．解：过点A作AM⊥BD于M．
∵AB＝AC＝AD，
∴∠CAD＝2∠CBD＝30°，
∴∠ADC＝∠ACD＝75°，
∵AB＝AD，AM⊥BD，
∴BM＝DM，
∵BDAB，
∴，
∴cos∠ABM，
∴∠ABM＝∠ADB＝30°，
∴∠BDC＝∠ADC﹣∠ADB＝45°．
故答案为：45°．
三．解答题（共8小题，满分75分）
16．解：（π﹣1）02cos45°
＝1﹣3+25
＝1﹣35
＝3．
17．解：原式＝（）
，
当x＝﹣1时，原式2．
18．解：（1）如图所示，AP为所求．
（2）∵四边形ABCD为矩形，
∴∠B＝90°，
∵∠BAC＝60°，
∴∠ACB＝30°，
∵AP为∠BAC的平分线，
∴∠BAE＝∠CAE∠BAC＝30°，
∴∠CAE＝∠ECA，
∴AE＝CE，
在Rt△ABE中，EB＝2cm，∠BAE＝30°，
∴AE＝2BE＝4cm，
∴CE＝4cm．
19．解：（1）小李从中随机抽取一张邮票，抽中是B（寒露）的概率是．
故答案为：；
（2）画树状图如下：
共有16种等可能的结果，其中小李两次抽取的邮票中至少有一张是D（立秋）的结果有：AD，BD，CD，DA，DB，DC，DD，共7种，
∴小李两次抽取的邮票中至少有一张是D（立秋）的概率为．
20．解：∵∠ABC＝58°，∠ACB＝32°，
∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝90°，
∵ADBD，AECE，
∴DE∥BC，
∴∠ADE＝∠ABC＝58°，
∵cos∠ADE，AD＝20
∴DE38（cm），
答：支架DE的长约为38cm．
21．解：（1）设原计划每天铺设路面x米，则提速后每天铺设路面（1+25%）x米，
依题意，得：13，
解得：x＝80，
经检验，x＝80是原方程的解，且符合题意．
答：原计划每天铺设路面80米．
（2）15001500×（1+20%）21900（元）．
答：完成整个工程后承包商共支付工人工资21900元．
22．解：（1）由题意，作图如下．
（2）由题意，场景A的图象是抛物线的一部分，y1与x之间近似满足函数关系y1＝﹣0.04x2+bx+c．
又点（0，25），（10，20）在函数图象上，
∴．
解得：．
∴场景A函数关系式为y1＝﹣0.04x2﹣0.1x+25．
对于场景B的图象是直线的一部分，y2与x之间近似满足函数关系y2＝ax+c．
又（0，25），（10，15）在函数图象上，
∴．
解得：．
∴场景B函数关系式为y2＝﹣x+25．
（3）由题意，当y＝4时，
场景A中，xA或xA（舍），
场景B中，4＝﹣xB+25，
解得：xB＝21，
∴xA＞xB．
23．解：（1）①EF5，
故答案为：5；
②当x＝3时，△APE与△BEF不全等，理由如下：
在矩形ABCD中，∠A是直角，
∴当x＝3时，PE，
即Rt△APE的三边长从小到大分别是3，5，，
而Rt△BEF的三边长从小到大分别是3，4，5，
故△APE与△BEF不全等；
（2）如图1，当点G落在线段DE上时，DG的长最小，
∵DE13，
∴DG＝DE﹣EG＝13﹣5＝8，
又∵∠A＝∠PGD，∠ADE＝∠GDP，
∴△DGP∽△DAE，
∴，
即；
又∵tan∠AEP，PA＝PG，
∴tan∠AEP；
（3）③∵CF＝12﹣4＝8＝CD，∠C＝90°，
∴∠CFD＝45°，
又∵tan∠BFE＝0.75＜1，
∴∠BFE＜45°，
故∠DFE＞90°是钝角，
当点G和点F重合时，如图2，此时点P在边AD上，0＜x＜12，
作PQ⊥BC于点Q，则PF＝AP＝x，CQ＝PD＝12﹣x，
∴FQ＝BC﹣BF﹣CQ＝12﹣4﹣（12﹣x）＝x﹣4，
∴PF2＝PQ2+FQ2，
∴x2＝82+（x﹣4）2，
解得x＝10；
④；
如图3，记AG与EP交点为N，则AG⊥EP于点N，
∵EP，
∴AN，
∴AG，
作GH⊥AB于点H，则由△AGH∽△PEA，，
解得：HG，
∴AH，
延长AB交DF射线于点M，则AM＝AD＝12，∠AMD＝45°，
在点H下方截取HI＝HG，
∴∠HIG＝45°，
∵∠BKF＝45°，
∴GI∥MD，
∴MI＝AM﹣AH﹣HI，
∵GI∥MD，即点G到DF距离等于点I到DF的距离．
作K⊥MD于点K，则IK，
即点G到DF距离等于，
故答案为：．
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