1.3乘法公式
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，大正方形与小正方形的面积之差是40，点B，C，D在同一条直线上，则阴影部分的面积是（ ）
A．16 B．18 C．20 D．24
2．如图，将图①中的阴影部分拼成图②，根据两个图形中阴影部分的面积关系，可以验证的数学公式是（ ）
A． B．
C． D．
3．在□□的空格□中，分别填上“＋”或“-”，在所得的代数式中，能构成完全平方式的概率是（ ）
A． B． C．1 D．
4．有下列计算：①；②；③；④．其中错误的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．将变形正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．下列计算中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．下列各式中，不能用平方差公式计算的是（ ）
A． B．
C． D．
8．为了美化校园环境，学校将边长为的正方形花坛的一组对边各增加，另一组对边各减少，则所得长方形花坛的面积为（ ）
A． B． C． D．无法确定
9．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．平方差公式中的a，b是（ ）
A．数或单个字母 B．单项式 C．多项式 D．单项式或多项式
11．某同学在计算时，把3写成后，发现可以连续运用两数和乘以这两数差公式计算：．请借鉴该同学的经验，计算：（ ）
A． B． C．1 D．2
12．已知三个实数a、b、c满足a+b+c≠0，，，则（ ）
A．a+b=c B．ab=c C． D．
二、填空题
13．计算：
（1） ；
（2） ；
（3） ．
14．已知，，则 ．
15．在括号中填上适当的整式：
（1）( )； （2）( )；
（3）( )； （4）( )．
16．若，则 ．
17．完全平方公式的特征：
①两个公式的左边都是一个 的平方，两者仅有 个“符号”不同；
②右边都是 次 项式，其中两项为左边两数的平方和，另一项是左边两数积2倍，且与两数中间的符号相同；
③公式中的字母a，b可以表示数、单项式或多项式．
速记口诀：首平方，尾平方，积的2倍在中央，符号确定看前方．
三、解答题
18．运用平方差公式计算：
（1）；（2）；（3）
（4）；（5）；（6）．
19．用平方差公式或完全平方公式计算（必须写出运算过程）．
（1）69×71； （2）992
20．运用平方差公式计算：
（1）；（2）
（3）；（4）．
21．先化简，再求值：（x﹣2y）2 +（x﹣2y）（x+2y），其中x=2，y= -1．
22．小明在解方程时采用了下面的方法：
由，又有可得，将这两式相加可得，将两边平方可解得，经检验是原方程的解．
请你学习小明的方法，解下面的方程：
(1)解方程；
(2)解方程．
23．计算：
(1)；
(2)．
24．数学活动课上，老师准备了若干个如图①所示的三种纸片，种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为、宽为的长方形，并用种纸片1张、种纸片1张和种纸片2张拼成如图②所示的大正方形．
(1)观察图②，请你写出下列三个代数式：，，之间的等量关系______________；
(2)若要拼出一个面积为的矩形，则需要种卡片_______张，种卡片_______张，种卡片_______张；
(3)两个正方形，按图③所示的方式摆放，边长分别为，．若，，求图中阴影部分的面积和．
《1.3乘法公式》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B D C A D D A D D
题号 11 12
答案 D D
1．C
【分析】本题考查平方差公式的几何背景，设，，则，，再利用三角形面积公式分别用代数式表示两个阴影三角形的面积和，再根据平方差公式进行因式分解即可．
【详解】解：设，，则，，
所以
．
故选：C．
2．B
【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，弄清阴影部分面积的求法是解题关键．根据图形确定出图1与图2中阴影部分的面积，即可作出判断．
【详解】解：由图形可知，图①中的阴影部分面积为，
图②中的阴影部分面积为，
即可以验证的数学公式是，
故选：B．
3．D
【分析】根据完全平方式的特点分析“＋”或“-”的情况和总共的情况，即可求得概率．
【详解】解：能够凑成完全平方公式，则前可是“”，也可以是“”，但前面的符号一定是：“”，
总共有、、、四种情况，能构成完全平方公式的有2种，
所以概率是．
故选：D．
【点睛】本题考查了完全平方公式，列举法求概率，掌握以上知识是解题的关键．
4．C
【分析】本题主要考查了利用完全平方公式进行计算，熟练掌握完全平方公式，是解题的关键．根据完全平方公式，逐项进行判断即可．
【详解】解：①，故此项错误；
②，故此项错误；
③，故此项错误；
④，故此项正确；
综上可知，错误的有3个，
故选：C．
5．A
【分析】本题考查了运用平方差公式进行计算，熟练掌握平方差公式是解题关键．根据因式分解的定义对式子进行分解，再根据平方差公式变形即可．
【详解】解：
故选：A．
6．D
【分析】本题考查了完全平方公式，熟练掌握是解题关键．根据完全平方公式，把各选项中等式左侧展开，再与等式右侧相比较即可选出答案．
【详解】解：A、，原计算错误，不符合题意；
B、，原计算错误，不符合题意；
C、，原计算错误，不符合题意；
D、，原计算正确，符合题意；
故选：D．
7．D
【分析】本题考查了平方差公式，根据运用平方差公式计算时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方，逐项判断即可得出答案，熟练掌握平方差公式是解此题的关键．
【详解】解：A、，能用平方差公式计算，故不符合题意；
B、，能用平方差公式计算，故不符合题意；
C、，能用平方差公式计算，故不符合题意；
D、不能用平方差公式计算，故符合题意；
故选：D．
8．A
【分析】本题考查平方差公式的应用，用代数式表示长方形花坛的长和宽，即可得出答案．
【详解】解：由题意得：长方形花坛的长和宽分别为，
则长方形花坛的面积为，
故选：A．
9．D
【分析】根据二次根式的混合计算法则进行求解即可．
【详解】解：A、，故此选项不符合题意；
B、，故此选项不符合题意；
C、，故此选项不符合题意；
D、，故此选项符合题意．
故选D．
【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
10．D
【分析】本题考查的是平方差公式中a、b的范围，关键是理解平方差公式的特点； 常见的平方差式子中，a、b可以是数字，也可以是一个字母，还可以是式子，据此解答即可．
【详解】解：平方差公式中的a，b是数字，也可以是一个字母，还可以是式子，
即a，b是单项式或多项式，
故选：D．
11．D
【分析】把原式前面乘，进一步利用平方差公式计算即可；
【详解】解：原式=
=2．
故选：D．
【点睛】此题考查平方差公式，掌握平方差公式的灵活运用是解决问题的关键．
12．D
【分析】将a，c相加可得c=0，再将c代入c＝，即可得a，b的关系．
【详解】∵a+c＝+＝a，
∴c=0，
∴＝0，
∴a-b+c=0，
∴a=b，
∴=(a-b)(a+b)=0=c2．
故选：D．
【点睛】本题考查了整数的加减，平方差公式的应用，关键将a与c相加得出c等于0．
13．
【分析】本题考查了整式乘法，平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．
（1）利用平方差公式进行计算即可解答；
（2）利用平方差公式进行计算即可解答；
（3）利用平方差公式进行计算即可解答．
【详解】解：（1）
，
故答案为：；
（2）
，
故答案为：；
（3）
．
故答案为：．
14．2
【分析】先分解因式得：，再代入求值即可．
【详解】解：，，
，即．
．
故答案是：2．
【点睛】本题考查了平方差公式，属于基础题．
15．
【分析】根据平方差公式进行计算即可．
【详解】解：（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
故答案为：；；；．
【点睛】本题考查了平方差公式，熟知平方差公式的结构特点是解本题的关键．
16．48
【分析】本题主要考查平方差公式的应用，根据平方差公式将所求式展开，再将已知代数式代入计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
故答案为：48．
17． 二项式 一 二 三
【解析】略
18．（1）；（2）；（3）；（4）；（5）3999999；（6）999996．
【分析】（1）平方差公式是：（a＋b）（a b）＝，根据以上公式进行计算即可；
（2）平方差公式是：（a＋b）（a b）＝，根据以上公式进行计算即可；
（3）平方差公式是：（a＋b）（a b）＝，根据以上公式进行计算即可；
（4）平方差公式是：（a＋b）（a b）＝，根据以上公式进行计算即可；
（5）先变形，再根据平方差公式进行计算即可；
（6）先变形，再根据平方差公式进行计算即可．
【详解】解：（1）
＝
＝；
（2）
（3）
（4）
（5）2001×1999
＝（2000＋1）×（2000 1）
＝
＝4000000 1
＝3999999
（6）998×1002
＝（1000 2）×（1000＋2）
＝
＝1000000 4
＝999996．
【点睛】本题考查了平方差公式的应用，能灵活运用公式进行计算是解此题的关键，注意：（a＋b）（a b）＝．
19．（1）4899；（2）9801
【分析】(1)将69×71看做（70﹣1）×（70+1）利用平方差公式计算即可;
(2)992看做（100﹣1）2利用完全平方公式计算即可．
【详解】（1）原式=（70﹣1）×（70+1）=4900﹣1=4899；
（2）原式=（100﹣1）2=10000﹣200+1=9801．
【点睛】本题考查了平方差公式和完全平方公式,正确运用公式计算是解题关键．
20．（1）；（2）；（3）2499；（4）．
【分析】（1）根据平方差公式直接可得；
（2）把化为，再由平方差公式结果；
（3）把化为，再由平方差公式得出结果；
（4）由平方差公式算出结果，有多项式的运算去括号，进行作差．
【详解】（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）
．
【点睛】本题考查平方差公式，熟练掌握公式的计算是解题的关键．
21．，16
【分析】首先对中括号内的式子用完全平方公式和平方差公式计算，合并同类项即可化简，然后代入数值计算即可．
【详解】解：原式=
将代入上式，可得原式= 16．
【点睛】本题考查了整式的化简求值，掌握整式的加减混合运算法则以及完全平方公式，平方差公式的运算法则是解题的关键．
22．(1)
(2)x=3
【分析】（1）仿照题意求解即可；
（2）仿照题意求解即可．
【详解】（1）解：
=-
=
=32
∵，
∴-=32÷16=2，
∴，
∴
∵=92=81，
∴，
经检验都是原方程的解，
∴方程的解是：；
（2）解：
=
=
=8x，
∵+=4x，
∴-=8x÷4x=2，
∴
∴，
∵，
∴4x2+6x﹣5=4x2+4x+1，
∴2x=6，
解得x=3，
经检验x=3是原方程的解，
∴方程+=4x的解是：x=3．
【点睛】本题主要考查二次根式的运算及乘法公式，求平方根的方法解方程，解二元一次方程组，熟练掌握二次根式的运算及乘法公式是解题的关键．
23．(1)
(2)
【分析】本题考查的是平方差公式的灵活运用，熟记平方差公式是解本题的关键；
（1）先化为平方差公式的形式，再利用平方差公式计算即可；
（2）先变形，再逐步利用平方差公式计算即可．
【详解】（1）解：
．
（2）
．
24．(1)
(2)，，
(3)
【分析】本题考查完全平方公式及其几何应用，多项式与多项式的乘法，代数式求值，开平方，用不同方法表示图形面积得到等量关系是解答的关键．
（1）用两种方法求得正方形的面积，进而得到三者的关系式；
（2）利用整式的乘法计算，即可解题；
（3）由题意和图形知，则．结合，得出，所以，求出的值，再利用阴影部分的面积和即可求解．
【详解】（1）解：由图②得大正方形的边长为，
则其面积为，
大正方形中四个小长方形（或小正方形）的面积分别为，，，，
利用大正方形的面积可得，
故答案为：；
（2）解：由，
又每张种卡片面积为，每张种卡片面积为，每张种卡片面积为，
可知需要种卡片张，种卡片张，种卡片张，
故答案为：，，；
（3）解：由正方形得，，
则，，
则，
因为，
所以，
所以，
所以或（舍去），
所以阴影部分的面积和．
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