湖北省武汉市第六中学2022级高三年级第5次月考
数学试卷
考试时间：120分钟 试卷满分：150分
★沉着冷静 规范答题 端正考风 严禁舞弊★
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知为正数，则“”是“”的（ ）.
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
3．已知向量，则在方向上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
4．已知数列的前n项和满足,则（ ）
A．272 B．152 C．68 D．38
5．魏晋南北朝时期，祖冲之利用割圆术以正24576边形，求出圆周率约等于，和相比，其误差小于八亿分之一，这个记录在一千年后才被打破．若已知的近似值还可以表示成，则的值约为（ ）
A． B． C． D．
6．展开式中的系数为（ ）
A．120 B．180 C．200 D．230
7．将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若在区间上单调递增，且在区间上有且仅有1个零点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．已知，若，， 则（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分，有选错的得0分.
9．随机变是服从正态分布，令函数，则下列选项正确的是（ ）
A． B．是增函数
C．是偶函数 D．的图象关于点中心对称
10．某校开展“强国有我，筑梦前行”主题演讲比赛，共有6位男生，4位女生进入决赛.现通过抽签决定出场顺序，记事件A表示“第一位出场的是女生”，事件B表示“第二位出场的是女生”，则（ ）
A． B． C． D．
11．如图，P是棱长为2的正方体的表面上一个动点，则下列说法正确的有（ ）
A．当P在平面内运动时，四棱锥的体积不变
B．当P在线段AC上运动时，与所成角的取值范围是
C．使得直线AP与平面ABCD所成的角为45°的点P的轨迹长度为π＋4
D．若F是棱的中点，当P在底面ABCD上运动，且满足PF∥平面时，PF的最小值是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．若复数满足，则复数在复平面内对应点的轨迹的离心率为 .
13．若关于的方程恰有一个实数解，则实数的取值范围是 .
14．已知分别是双曲线的左，右焦点，是双曲线上第一象限内的点，点是的内心，则点的横坐标是 ；的面积的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
15．在非等腰中，角的对边分别为，已知，．
(1)求的取值范围；
(2)若，求实数的取值范围．
16．如图，在中，，，是边上一点，将沿翻折至，且平面平面.当面积最大时：
(1)求；
(2)求二面角的余弦值.
17．已知函数，．
(1)求曲线在处的切线方程；
(2)若当时，恒有，求实数的取值范围．
18．抛物线的焦点为，，，是上的三个点，直线，均与圆相切，是上的任意一点，的最小值为3.
(1)求的方程；
(2)若，求的取值范围；
(3)若为定值，求.
19．一种特殊的单细胞生物在一个生命周期后有的概率分裂为两个新细胞，的概率分裂为一个新细胞，随后自身消亡. 新细胞按相同的方式分裂，并且每个细胞的分裂情况相互独立， 如此繁衍下去. 某实验人员开始观察一个该种单细胞生物经过个生命周期的分裂情况，将第个生命周期后的活细胞总数记为随机变量.
(1)若，
（i）求随机变量的分布列和期望;
（ii）求事件 “” 的概率;
(2)已知在的条件下，的期望称为条件期望，其定义为，试求条件期望和的期望.
湖北省武汉市第六中学2022级高三年级第5次月考数学参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 C A A B D C D A AD BCD AC
12．
13．
14．
15. 1．(1) (2)
16．(1) (2)
17．(1) (2)
18．(1) (2) (3)或
【详解】（1）由题意得，，抛物线准线为.
过点作于点，由抛物线定义得，，
当三点共线时，有最小值，最小值为，解得，
∴的方程为.
（2）设直线与圆分别相切于点，连接，则，
∴，且，
∴，
∵，∴，∴，∵，∴.
（3）∵，，∴直线方程为：，
∵，∴直线方程为：，
∵直线与圆相切，∴，即，
同理得，，
∴是方程的两个根，
∴，
∴，
∴，解得，
∴或.
19．【详解】（1）（i）依题意，的所有可能取值为1，2，3，4，
，，
，，
所以的分布列为：
的数学期望为
（ii）事件，即细胞在个生命周期中只有一次分裂为2个新细胞，
且之前与之后的所有细胞都分裂为1个新细胞，
记事件表示“细胞只在第个周期分裂为2个新细胞”，
则两两互斥，，
而，因此，
所以事件 “” 的概率为.
（2）在的条件下，的可能取值为，
则，
，
因此
，（），
由全概率公式得，
于是的期望
，则数列是以为首项，为公比的等比数列，
又，所以，即的期望为.
答案第1页，共2页
