2024-2025学年青海省名校联盟高二上学期期末考试数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知数列，则该数列的第项为( )
A. B. C. D.
2.如果椭圆上一点到焦点的距离为，那么点到另一个焦点的距离是( )
A. B. C. D.
3.已知点是点在坐标平面内的射影，则( )
A. B. C. D.
4.已知数列满足，其前项和为，则( )
A. B. C. D.
5.若直线与互相平行，则( )
A. B. C. 或 D.
6.对于等差数列和等比数列，我国古代很早就有研究成果，北宋科学家沈括首创的“隙积术”就与高阶等差级数求和有关现有一货物堆，从上向下查，第一层有个货物，第二层比第一层多个，第三层比第二层多个，以此类推，记第层货物的个数为，则( )
A. B. C. D.
7.在直三棱柱中，，，分别是，的中点，，则与所成角的余弦值是( )
A. B. C. D.
8.已知抛物线的焦点为，点，是抛物线上的一个动点，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知等差数列的公差，等比数列的公比，则下列选项正确的是( )
A. 若，则单调递增 B. 若，则单调递增
C. 可能为等差数列 D. 可能为等比数列
10.已知圆与直线，点在圆上，点在直线上，则( )
A. 直线与圆相离
B. 过点的直线被圆截得的弦长的最小值为
C.
D. 从点向圆引切线，切线长的最小值是
11.如图，在棱长为的正方体中，为线段的中点，为线段的中点，则( )
A. 四点共面
B. 在平面上的投影向量为
C. 点到平面的距离为
D. 点到直线的距离为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知双曲线的两个焦点为，，双曲线上有一点，若，则 ．
13.在空间四边形中，，，，且，，则 用，，作基底
14.一支车队有辆车，某天下午车队依次出发执行运输任务，第一辆车于时出发，以后每间隔分钟发出一辆车．假设所有的司机都连续开车，并都在时停下来休息，则截止到时，最后一辆车行驶了 小时．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知数列的前项和．
求，并证明数列是等差数列；
求数列的前项和．
16.本小题分
已知动点到点的距离比它到直线的距离小，记动点的轨迹为．
求的方程；
直线与相交于，两点，若线段的中点坐标为，求直线的方程．
17.本小题分
图是直角梯形，，，，，，，以为折痕将折起，使点到达点的位置，且二面角的平面角为，如图．
证明：．
求平面与平面夹角的余弦值．
18.本小题分
已知椭圆上一点到两焦点的距离之和为．
求椭圆的方程；
不经过点的直线与轴垂直，与椭圆交于，两点，若直线与椭圆的另一交点为，则直线是否过定点？若过定点，请求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．
19.本小题分
已知公差为的等差数列满足，数列满足，．
求数列，的通项公式．
设，数列的前项和为．
(ⅰ)求；
(ⅱ)若不等式对任意的恒成立，求的最大值．
参考答案
1.
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14.
15.【详解】当时，，
当时，，
则当时，，
因满足，
故数列的通项公式为．
又因，
故数列是首项为，公差为的等差数列．
由得，则，
故
．
16.解：依题意，动点到点的距离等于它到直线的距离，
则动点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，
所以的方程为．
设，，由线段的中点坐标为，得，
则，两式相减得，整理得，
因此直线的斜率，其方程为，即，
所以直线的方程为．
17.解：在图中，过分别作，垂足分别为，
则，连接，得，
所以四边形为菱形，连接，交于点，
则．
在图中，平面，
所以平面，又平面，
所以．
由知，为二面角所成的平面角，所以，
过作，建立如图空间直角坐标系，
则，
得，
设平面和平面的一个法向量分别为，
则
令，得，
所以，则，
又平面和平面的夹角为锐角，
所以平面和平面的夹角的余弦值为．
18.由题知，
把代入椭圆的方程得，计算得，
故椭圆的方程为．
由题知直线的斜率不为零，设直线的方程为，
设，，，
联立方程组消去整理得，
则，．
直线的方程为．
由椭圆的对称性可知，若存在符合的定点，则该定点一定在轴上．
令，得
．
故直线过定点．
19.解：因为数列是公差为的等差数列，
且，所以，
即，解得，
所以，
因为，所以，
又
所以是以为首项，为公比的等比数列，
所以，所以；
因为，
所以，
所以，
两式相减得
，
所以；
(ⅱ)由，可得，
令，
则，
所认单调递增，所以，所以的最大值为．
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