广东省深圳实验学校 2024-2025 学年高一上学期期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1
1.函数 ( ) = + √ 2的定义域为( )
3
A. [2, +∞) B. [2,3) C. (3, +∞) D. [2,3) ∪ (3, +∞)
1
2.已知 = ，则 2 =( )
3
4√ 2 2 7 2
A. B. C. D.
9 9 9 9
3.设集合 = {3, 2, 0}， = {4, 2}，则“ ∩ = {4}”是“ = 2”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.下列命题是假命题的为( )
A. 若 > ，则 2 > 2 B. 若 > ， > ，则 + > +
1 1
C. 若 > > 0且 < 0，则 2 > 2 D. 若 > > 1，则 < +1 +1
1 2
5.已知正数 ， 满足 + = 1，则2 + 的最小值是( )
A. 8 B. 6 C. 4 D. 2
6.已知 = 4， = 3， = cos( + 2 )，则 ， ， 的大小关系为( )
3
A. < < B. > > C. < < D. < <
2 + 4 + 1, ≤ 1
7.已知函数 ( ) = { ，是( ∞, +∞)上的增函数，则 的取值范围是( )
8 + , > 1
1 1
A. [ , 2] B. (1,2] C. [1,2] D. ( , 2]
2 2
8.已知函数 ( )是定义域为 的奇函数，且 ( )在[0, +∞)上单调递减.若 (3 + ) + (3 7) > 0，则 的
取值范围为( )
A. ( ∞, 0) B. (0, +∞) C. ( ∞, 1) D. (1, +∞)
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若 < 0，则角 的终边可能落在( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
10.已知 ， 都是正数，则( )
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1
A. 2 + 4 + 2 的最小值为2 B. 若2 + = 4，则 的最大值为2 +4
1 2
C. 2 2的最大值为 D. + ≥ 2√ 2 + 2
11.下列命题正确的是( )
A. 命题“ ， ∈ ， 2 + 2 ≥ 0”的否定是“ ， ∈ ， + 2 < 0”
2 4
B. ( ) = 2与 ( ) = 是同一个函数
+2
C. 函数 = 2 + √ 1的值域为[2, +∞)
D. 若函数 ( 1)的定义域为[2,5]，则函数 ( )的定义域为[1,4]
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.若幂函数 = ( 2 1) 为偶函数，则 =______．
13.已知 = 3，则 = ______．
14.深圳实验学校高中园高一年级设计了一个“水滴状”园徽的平面图(如图)，徽
章由等腰三角形 及以弦 和劣弧 所围成的弓形所组成，其中 = ，劣
弧 所在的圆为三角形的外接圆圆心为 .已知∠ = ，外接圆的半径是2，则
6
该图形的面积为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题15分)
设集合 = { | 3 < < 4}，集合 = { | 2 < < 3 + 2 }．
(1)若 = 1，求 ∩ 和 ∪ ；
(2) ∪ = ，求实数 的取值范围．
16.(本小题15分)
+ 2, ≤ 0
已知函数 ( ) = { ，且点(4,2)在函数 ( )的图象上．
, > 0
(1)求函数 ( )的解析式，并在图中的直角坐标系中画出函数 ( )的图象．
(2)若方程 ( ) + = 0有两个实根，结合图像简单说明，求实数 的取值范围．
(3)结合图像简单说明，求不等式 ( ) < 1的解集．
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17.(本小题15分)
已知函数 ( ) = 2 (2 )．
6
(1)求函数 ( )的单调递增区间．
3
(2)若 ∈ [ , ]，求 ( )的值域．
4 4
5 7 6
(3)若 ∈ ( , )， ( ) = ，求 2 的值．
12 12 5
18.(本小题15分)
已知函数 ( ) =
，( > 0且 ≠ 1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大 ．
2
(1)求 的值．
(2)若 ( )单调递减．
①设函数 ( ) = 2( ) 20 ( ) + 620， ∈ ，求 ( )的最小值．
②设函数 ( ) = 2( ) + 2( ) 2 ( ) ( ) 2 ( ) + 2 ( ) + 1315， ∈ ( ∞, 0]，求 ( )的最小
值．
19.(本小题17分)
1
已知函数 ( ) = sin( ) + ，( > 0)的最小正周期为 ．
6 2 2
(1)求实数 的值；
(2)若函数 ( )在[ , ]( ， ∈ ， < )上恰有8个零点，求 的最小值；
1
(3)设函数 ( ) = , ( ) = + ( + ) ，证明： ( )有且只有一个零点 0，且 (sin ) <16 24 2 4 0
2 1
．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】2
3
13.【答案】
10
2
14.【答案】 + 2
3
15.【答案】解：(1)若 = 1，则 = { | 2 < < 3 + 2 } = { |1 < < 5}，
又 = { | 3 < < 4}，
∴ ∩ = { |1 < < 4}， ∪ = { | 3 < < 5}；
(2) ∵ ∪ = ，∴ ，
1
当 = 时，满足 ，此时3 + 2 ≤ 2 ≤ ；
3
1
>
3 1 1
当 ≠ 时，要使 ，需要{2 ≥ 3，解得 < ≤ ． 3 2
3 + 2 ≤ 4
1
综上，实数 的取值范围为( ∞, ]．
2
+ 2, ≤ 0
16.【答案】解：(1)因为函数 ( ) = { ，且点(4,2)在函数 ( )的图象上， , > 0
所以 (4) = log 4 = 2，又 > 0且 ≠ 1，解得 = 2，
+ 2, ≤ 0
所以 ( ) = { ，
2 , > 0
所以作出 ( )的图象如下：
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(2)因为方程 ( ) + = 0有两个实根，
所以 = ( )与 = + 有两个交点，
数形结合可得实数 的取值范围为( ∞, 2]；
(3)根据(1)中图，数形结合可得：
不等式 ( ) < 1的解集为( ∞, 1) ∪ (0,2)．
17.【答案】解：(1)令 + 2 ≤ 2 ≤ + 2 , ∈ ，
2 6 2
得 + ≤ ≤ + , ∈ ，
6 3
可得 ( )的单调递增区间为[ + , + ]( ∈ )；
6 3
3 4
(2)若 ∈ [ , ]，可得2 ∈ [ , ]，
4 4 6 3 3
当2 = 时，即 = ，函数 ( ) = ( ) = 2 (2 × ) = 2； 6 2 3 3 3 6
4 3 3 3
当2 = 时，即 = ，函数 ( ) = ( ) = 2 (2 × ) = √ 3， 6 3 4 4 4 6
所以 ( ) = 2 (2 ) ∈ [ √ 3, 2]，
6
故 ( )的值域为[ √ 3, 2]；
6
(3)因为 ( ) = 2 (2 ) = ，
6 5
3
所以sin(2 ) = ，
6 5
7
因为 ∈ ( , )，可得 < 2 < ，
3 12 2 6
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4
所以cos(2 ) = ，
6 5
3√ 3 4
所以 2 = sin(2 + ) = sin(2 )cos + cos(2 )sin = ．
6 6 6 6 6 6 10
18.【答案】解：(1)当0 < < 1时， ( ) = 单调递减，
在区间[1,2]上，
当 = 1时， ( ) = (1) = ，
当 = 2时， ( ) = (2) =
2，
1
所以 2 = ，即得 = ．
2 2
当 > 1时， ( ) = 单调递增，
在区间[1,2]上，
当 = 1时， ( ) = (1) = ，
当 = 2时， ( ) = (2) = 2 ，
2 3所以 = ，得 = ，
2 2
1 3
所以 = 或 = ．
2 2
1 1
(2)①因为 ( )单调递减，所以 = , ( ) = ( ) ，
2 2
设 = ( )，则 ( ) = ( ) = 2 20 + 620， > 0．
所以当 = 10时，函数 ( ) = (10) = 520，
所以 ( )的最小值为520．
1 1 1
②由 ( ) = ( ) ，则 ( ) = [( ) 2 ]2 2[( ) 2 ] + 1315．
2 2 2
1
设 = ( ) 2 , ∈ ( ∞, 0]，则 ( )单调递减，且 ∈ [0, +∞)，
2
故 ( ) = ( ) = 2 2 + 1315， ∈ [0, +∞)，
所以，当 = 1时， ( ) = (1) = 1314，
所以 ( )的最小值为1314．
1
19.【答案】解：(1)因为 ( ) = sin( ) + , ( > 0)的最小正周期为 ，
6 2 2
2
所以 = = ，
2
解得 = 4；
1
(2)当 ∈ (0, ]时，令 ( ) = sin(4 ) + = 0，
6 2
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解得 = 或 = + ， ∈ ，
2 6 2
要使 最小，则 ， 均为 ( )零点，
( +1) ( +1) ( +2) ( +2) ( +3) ( +3)
若 = ，则大于 的7个 ( )零点为： + , , + , , + , , +
2 6 2 2 6 2 2 6 2 2 6
( +4)
，
2
( +4) 11
得 = + ，则此时， = + 2 = ，
6 2 6 6
( +1) ( +1) ( +2) ( +2)
若 = + ，则大于 的7个 ( )零点为： , + , , + , , +
6 2 2 6 2 2 6 2 2 6
( +3) ( +3)
, ，
2 2
( +3) 3 5
得 = + ，则此时， = + = ；
6 2 6 2 3
11 5
因为 > ，
6 3
5
所以 的最小值为 ；
3
1
(3)证明：由(1)可得 ( ) = + ( + ) = + sin ，定义域为(0, +∞)，
16 24 2 4
①当 ∈ (0,2]时，函数 ( ) = + sin 在(0,2]上单调递增，
4
1 1 √ 2
因为 ( ) = ln + sin = 1 + sin 0, (1) = sin = 0
4 4 4 2
1 1
所以 ( ) (1) < 0根据零点存在定理， 0 ∈ ( , 1)使得 ( 0) = 0，
故 ( )在(0,2]上有且只有一个零点 0；
②当 ∈ (2, ]时，因为 = 单调递增， = sin 单调递减，
4
> 2 > 0, sin > sin > > 0，
4 4
所以 ( ) > 0，
所以 ( )在(2, ]上不存在零点；
③当 ∈ ( , +∞)时，因为 = 单调递增， > > 1，
因为 = sin ≥ 1，
4
所以 ( ) > 1 1 = 0，
所以 ( )在( , +∞)上不存在零点；
1
综上： ( )有且只有一个零点 0，且 0 ∈ ( , 1)，
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因为 ( 0) = 0 + sin 0 = 0，所以sin 0 = 0， 4 4
所以 (sin ) = ( ) = 0
1
0
4 0 0
= ，
00
1 1
因为 = 在( , 1)上单调递减，
1 2 1
所以 0 < ， 0
2 1
所以 (sin 0) < ． 4
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