辽宁省普通高中 2024-2025 学年高一上学期期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.集合 = { | = log2(2 )}，集合 = { | = √ 9
2}，则 ∩ 等于( )
A. [ 3,2) B. [0,2) C. [ 3,3] D. [0,3]
2.当 > 0时，“函数 = (3 1) 的值恒小于1”的一个充分不必要条件是( )
1 2 2
A. < B. > C. < D. > 1
3 3 3
3.某地有9个快递收件点，在某天接收的快递个数分别为361，285，293，305，403，189，247，265，289，
则这组数据的第72百分位数为( )
A. 289 B. 299 C. 305 D. 361
4.太空站内有甲，乙，丙三名航天员依次出舱进行同一实验，每次只派一人，每人最多出舱一次，若前一
实验不成功，则返舱后派下一人重复进行该实验；若实验成功，则终止实验.已知甲，乙，丙各自出舱实验
7 3 2
成功的概率分别为 、 、 ，每人出舱实验能否成功相互独立，若按照甲、乙、丙的顺序依次出舱，则该
10 4 3
项实验最终成功的概率为( )
7 7 37 39
A. B. C. D.
20 10 40 40
5.已知定义域为 的偶函数 ( )在[0,+∞)上单调递增，且 (3) = 0，则不等式 (log2 ) > 0的解集为( )
1
A. (3,+∞) B. (0, ) ∪ (8,+∞)
8
1 1
C. (0, ) ∪ (3,+∞) D. ( ∞, ) ∪ (8,+∞)
3 8
6.已知 = 0.70.4， = 0.40.7， = log0.70.4，则下列正确的是( )
A. > > B. > > C. > > D. > >
7.如图，在△ 中， 为线段 上一点，且 = 2 ， 为线段 的中点，过
点 的直线分别交直线 ， 于 ， 两点， = ( > 0)， = ( >
2 9
0)，则 + +2 的最小值为( )
2
4
A.
3
3
B.
4
8
C.
3
16
D.
3
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| |, > 0
8.已知 ( ) = { 22 ，方程 ( ) 2 ( ) + + 2 = 0有6个不同实数解，则 的范围( ) + 2 + 3, ≤ 0
11 11 11
A. 2 < ≤ B. 2 < < C. < D. > 2
5 5 5
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.《易经》是中华民族智慧的结晶，易有太极，太极生二仪，二仪生四象，四象生八卦，其中八卦深邃的
哲理解释了自然、社会现象.如图1所示的是八卦模型图，其平面图形如图2中的正八边形 ，其中
为正八边形的中心，则下列说法正确的是( )
A. = B. =
C. + = √ 2 D. 和 不能构成一组基底
10.某社区通过公益讲座以普及社区居民的普法知识.为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲
座前和讲座后各回答一份普法知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如图，则下
列说法正确的是( )
A. 讲座前问卷答题的正确率的中位数小于75%
B. 讲座后问卷答题的正确率的平均数大于88.5%
C. 讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差
D. 讲座前问卷答题的正确率的标准差大于讲座后正确率的标准差
11.已知直线 = + 2分别与函数 = 和 = 的图像交于 ( 1, 1)， ( 2, 2)，则下列说法正确的是
( )
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A. 1 + 2 = 2 B.
1 + 2 > 2
C. 1 + ln(2 2) < 2 D. 1 1 = 2 ln( 2)
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
1 1
12.已知 ∈ { , 1, 3, 4, , 2,3}，幂函数 ( ) = 在( ∞, 0)上单调递增，其图像不过坐标原点，则 =
2 2
______．
13.算盘是我国古代一项伟大的发明，是一类重要的计算工具.现有一把初始状态的算盘如图所示，自右向左，
分别表示个位、十位、百位、千位等，上面一粒珠子(简称上珠)代表5，下面一粒珠子(简称下珠)代表1，五
粒下珠表示的数的大小等于同组一粒上珠表示的数的大小.例如，个位拨动一粒上珠、十位拨动一粒下珠至
梁上，表示数字15.现将算盘的个位、十位、百位、千位分别随机拨动一粒珠子至梁上，设事件 =“表示
的四位数能被3整除”， =“表示的四位数能被5整除”，则 ( ∪ ) + ( ) = ______．
1
14.已知函数 ( ) = 4 + 5，若 ( 12) + ( 2) > 10，则 的取值范围______． 4
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
设全集是实数集 ，集合 = { | = log ( 2) + √ 16 , > 0且 ≠ 1}， = { |2
+ ≤ 0}．
(1)当 = 8时，求 ∩ 和 ∪ ；
(2)若( ) ∩ = ，求实数 的取值范围．
16.(本小题15分)
《中华人民共和国未成年人保护法》是为保护未成年人身心健康，保障未成年人合法权益.根据宪法制定的
法律，某中学为宣传未成年人保护法，特举行了一次未成年人保护法知识竞赛.竞规则如下：两人一组，每
一轮竞赛中，小组两人分别选答两题，两人答题互不影响.若答对题数合计不小于3，则称这个小组为“优秀
小组”.已知甲、乙两位同学组成一组，且甲、乙答对每道题的概率均分别为 1， 2．
3 1
(1)若 1 = ， 2 = ，求在第一轮竞赛中，该组成为“优秀小组”的概率； 4 2
3
(2)若 1 + 2 = ，求该组在每轮竞赛中成为“优秀小组”的概率的最值． 2
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17.(本小题15分)
如图，在等腰梯形 中， // ， = 2 = 2 = 2 ， 为线段 中点， 与 交于点 ，
连 ， 为线段 上的一个动点．
(1)用基底{ , }表示 ；
(2)求 的值；
3
(3)设 = + ，求 ( 2)的取值范围．
18.(本小题17分)
已知函数 ( ) = 3 3 ．
(1)判断 ( )的单调性，并用单调性的定义证明；
(2)若 ∈ [1,2]，都有 (3 ) ( ) ≥ 0成立，求实数 的取值范围；
(3)是否存在正实数 ，使得 ( )在[ , ]上的取值范围是[ 3 , 3 ]？若存在，求 的取值范围；若不存
在，请说明理由．
19.(本小题17分)
对于在区间[ , ]上有意义的函数 ( )，若满足对任意的 1， 2 ∈ [ , ]，有| ( 1) ( 2)| ≤ 1恒成立，则
1+
称 ( )在[ , ]上是“接近”的，否则就称 ( )在[ , ]上是“不接近”的.现有函数 ( ) = 4( )．
(1)当 = 2时，判断函数 ( )在[2,3]上是否“接近”的，说明理由；
(2)是否存在实数 ，使函数 ( )在区间[ , + 1](1 ≤ ≤ 2)上是“不接近”的，若存在，求实数 的取值
范围；不存在说明理由．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】 4
7
13.【答案】
8
14.【答案】( 4,3)
2 > 0
15.【答案】解：(1)由{ 解得2 < ≤ 16，即 = (2,16]，
16 ≥ 0
由2 8 ≤ 0解得 ≤ 3，即 = ( ∞, 3]，
故 A∩ = (2,3]， ∪ = ( ∞,16]．
(2)因为( ) ∩ = ，所以 ，
①若 = ，当 ≥ 0时，则2 + ≤ 0解为 ，所以 ≥ 0；
②若 ≠ ，则 < 0，
由2 ≤ ，所以 ≤ log2( )，即 = { | ≤ log2( )}，
又 ，所以log2( ) ≤ 2 = log24，
因此0 < ≤ 4，即 4 ≤ < 0，
综上所述，实数 的取值范围为[ 4,+∞)．
16.【答案】解：(1)记事件 ：“在第一轮竞赛中，该组成为“优秀小组””，
事件 ：“甲答对两题，乙答对一题”，事件 ：“甲答对一题，乙答对两题”，
事件 ：“甲、乙都答对两题”，
因为事件 、 、 彼此互斥，
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3 1 1 9 3 3 1 3 3 1 9
所以 ( ) = ( )2 × 2 × × (1 ) = ， ( ) = 2 × × (1 ) × ( )2 = ， ( ) = ( )2 × ( )2 = ，
4 2 2 32 4 4 2 32 4 2 64
又因为事件 、 、 彼此互斥，
9 3 9 33
所以 ( ) = ( ∪ ∪ ) = ( ) + ( ) + ( ) = + + = ；
32 32 64 64
(2)由题知甲、乙小组在每轮竞赛中成为“优秀小组”的概率为 ，
= 21 × 2 2(1 2) + 2 1(1 1)
2
2 +
2
1
2
2 = 1 2[2 1(1 2) + 2(1 1) 2 + 1 2] = 1 2[2( 1 +
2) 3 1 2]
= 1 2(3 3 1 2)，
3 3
因为 1 + 2 = ，所以 2 = ， 2 2 1
3 1
又0 ≤ 1 ≤ 1，0 ≤ 2 ≤ 1，则0 ≤ 2 1
≤ 1，即 ≤ 1 ≤ 1， 2
3 3 9 1 9
而 1 2 =
2
1( 2 1) = ( 1 ) + ∈ [ , ]， 4 16 2 16
1 9
令 = 1 2 ∈ [ , ]， 2 16
则 = 3 2
1 3
+ 3 = 3( )2 + ，
2 4
1 3 1 9
因为函数 = 3( )2 + 在[ , ]上为减函数，
2 4 2 16
1 3 1 1
当 = 时， 取最大值为 ，此时， 1 = ， 2 = 1或 1 = 1， 2 = ， 2 4 2 2
9 189 3
当 = 时， 取最小值 ，此时， 1 = 16 256 2 = ， 4
3 189
所以该组在每轮竞赛中成为“优秀小组”的概率的最大值为 ，最小值为 ．
4 256
17.【答案】解：(1)因为 = + ①， = + + ②，
因为 为线段 中点，所以 = ，
因为
1
= ，
2
3
则①+②得：2 = + + = + ，
2
3 1整理得： = + ，
4 2
3 1 3 1所以 = = + = ；
4 2 4 2
3 1 3
(2)由 与 交于点 ，设 = = ( + ) = + ③，
4 2 4 2
设 = ，可得 = ( )，即 = (1 ) + ④，
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3
= 1 4
由③④得{ 4 ，消去 得 = ，所以
4 4
=
，即 = ．
= 5 5 3 3
2
1
(3)由题意，可设 = (0 ≤ ≤ )，
2
代入 = + 中并整理可得： = ( ) + ( + ) = ( + ) + ( ) ．
1
又 = + = + ，
2
1 = 1
+ =
所以由平面向量基本定理可得：{ 2，即{ 3 ．
= 1 = 2( +1)
1 3 1 3
因为0 ≤ ≤ ，且函数 = 在[0, ]上单调递减，所以1 ≤ ≤ ，
2 2( +1) 2 2
3 1
所以 ( 2) = ( 1)( 2) = ( )2 ，
2 4
3 1 3
因为函数 ( ) = ( )2 在[1, ]单调递减，
2 4 2
3 1
所以 ( ) = (1) = 0， ( ) = ( ) = ， 2 4
1
所以 ( 2)的取值范围为[ , 0]．
4
18.【答案】解：(1)根据题意， ( )在 上单调递增；
证明如下： 1， 2 ∈ ，且 1 < 2，
1 1
则 ( ) ( ) = (3 1 3 1) (3 2 3 2) = (3 1 3 21 2 ) (3
1 3 2) = (3 1 3 2) ( ) 3 1 3 2
1
= (3 1 3 2)(1 +
3 1+
)，
2
又因为 1 < 2，则3
1 3 2 < 0，
所以 ( 1) ( 2) < 0，
故 ( )在 上单调递增；
(2)由题意 (3 ) ( ) ≥ 0，即(33 3 3 ) (3 3 ) ≥ 0
1 1 1则(3 )[(3 )2 + ( )2 + 1] (3 ) ≥ 0
3 3 3
1 1(3 )[(3 )2 + ( )2 + 1 ] ≥ 0，易知 ( )在[1,2]上单调递增， 3 3
1 1 8
所以3 ≥ 3 = > 0，
3 3 3
所以(3
1 2 1+ ) 1 ≥ 0即 + 1 ≤ (3 + )2 在 ∈ [1,2]上恒成立． 3 3
令 = 3
1
+ 2
3
，故 + 1 ≤
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1 1 10
令 = 3 ，则 = + , ∈ [3,9]单调递增，当 = 3时，
= 3 + =
3 3
100 91
故 + 1 ≤ 2 = 即 ≤ 9 9
91
所以实数 的取值范围为( ∞, ]．
9
(3)假设存在正实数 满足题意，易知 ( )在[ , ]上单调递增，
1
( ) = 3 = 3 3
所以{ 1 ，
( ) = 3 = 3
3
1
所以 ， 为关于 的方程3 = 3 的两个不等实数根， 3
令 = 3
1
> 0，则方程3 = 3 变形可得( 1) 2 + 1 = 0， 3
则方程( 1) 2 + 1 = 0有两个不等正根 1， 2，
= ( )2 4( 1) > 0
1 + 2 = > 0
所以 1 ，解得 > 1且 ≠ 2，
1
1 2 = > 0 1
{ 1 ≠ 0
故 的取值范围{ | > 1且 ≠ 2}．
所以存在正实数 满足题意，且 的取值范围{ | > 1且 ≠ 2}．
1+
19.【答案】解：(1)当 = 2时， ( ) = 4( )在[2,3]是“接近”的，理由如下：
1+ 1+2 1
当 = 2时， ( ) = 4( ) = 4( ) = ( + 2)， 4
1
∵ = + 2在[2,3]上单调递减， = log4 为增函数，
故 ( )在[2,3]上单调递减．
5 7
则 ( ) = (2) = 4 ， ( ) = (3) = 4 ， 2 3
5 7 15
∴ 0 < ( ) ( ) = (2) (3) = 4 2 4 = < 4 = 1， 3 4 14 4
即 1、 2 ∈ [2,3]，有| ( 1) ( 2)| ≤ 1，
1+
∴当 = 2时， ( ) = 4( )在[2,3]上是“接近”的．
1+ 1
(2) ∵ ( ) = 4( ) = 4( + )，
1
当1 ≤ ≤ 2时，∵内层函数 = + 在[ , + 1]上为减函数，外层函数 = log 为增函数，
4
1
∴函数 ( ) = 4( + )在区间[ , + 1]上为减函数，
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假设函数 ( )在区间[ , + 1](1 ≤ ≤ 2)上是“不接近”的，
则 1、 2 ∈ [ , + 1](1 ≤ ≤ 2)，使| ( 1) ( 2)| > 1成立．
即| ( 1) ( 2)| > 1恒成立，即 ( ) ( ) > 1，
1 1
又∵ ( ) = ( ) = 4( + )， ( ) = ( + 1) = ( + )， 4 +1
1 1
∴ ( ) ( ) = 4( + ) 4( + ) > 1， +1
1 1
即 4( + ) > 4[4( + )]． +1
1 1 1 4
又 + > 4( + ) > 0，可得3 < (1 ≤ ≤ 2)恒成立，
+1 +1
1 1 4 1 3
即 < ( ) =
3 +1 3( 2
，
+ )
1
由1 ≤ ≤ 2，令 = 1 3 ∈ [ 5, 2]，则 = ，
3
1 3 9 9
则 2 = 2 = = ， + 2 +1 1 2 4
+ 5 +4 + 5
9 3
9 4
令 ( ) = 4 ， ∈ [ 5, 2]，令 ( ) = + 5， ∈ [ 5, 2]，
+ 5
任取 1、 2 ∈ [ 5, 2]，不妨设 1 < 2，
4 4 4 4 4
则 ( 1) ( 2) = 1 + 5 ( 2 + 5) = 1 2 + = ( 1 2)(1 ) 1 2 1 2 1 2
( 1 2)( 1 = 2
4)
，
1 2
∵ 5 ≤ 1 < 2 ≤ 2，则 1 2 < 0， 1 2 > 4，∴ ( 1) ( 2) < 0即 ( 1) < ( 2)，
4
∴函数 ( ) = + 5在[ 5, 2]单调递增，
54
∴ ( ) = ( 2) = 9， ( ) = ( 5) = ， 5
54 5
则 ( ) ∈ [ , 9]，即 ( ) ∈ [ 1, ]，
5 6
5 1 3 5
当 = 5时，即当 = 2时， ( )取最大值 ，此时 2 取最大值 ， 6 3( + ) 18
1 3 1 1
当 = 2时，即当 = 1时， ( )取最小值 1，此时 2 取最小值 ，故 < ． 3( + ) 3 3
1 1
又对于任意的 ∈ [ , + 1](1 ≤ ≤ 2)， + > 0恒成立，即 > 恒成立，
1 1 1
∵ 1 ≤ ≤ 2，∴ ≤ ≤ ，
2 +1 3
1 1 1
即 > ( )
= ，∴ > ，
+1 3
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1 1
∴ < 且 > ，这样的实数 的不存在，
3 3
故不存在实数 ，使函数 ( )在区间[ , + 1](1 ≤ ≤ 2)上是“不接近”的．
第 10 页，共 10 页
