安徽省马鞍山二中 2025 年普通高中学业水平合格考试数学模拟试卷
一、单选题：本题共 18 小题，每小题 5 分，共 90 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求
的。
1.已知集合 = {0,1}， = {1,2,3}，则 ∪ =( )
A. {1} B. {0,1} C. {0,1,2} D. {0,1,2,3}
2.命题“ ≥ 1， 2 1 < 0”的否定是( )
A. ≥ 1， 2 1 < 0 B. ≥ 1， 2 1 ≥ 0
C. < 1， 2 1 < 0 D. < 1， 2 1 ≥ 0
3.复数 1 + 2 在复平面内对应的点所在的象限为( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
4.已知一组数据：55，64，92，76，88，67，76，90，则这组数据的第80百分位数是( )
A. 90 B. 88 C. 82 D. 76
5.“ + > + ”是“ > 且 > ”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
6.已知幂函数 = 的图象过点(9,3)，则 等于( )
3 1
A. 3 B. 2 C. D.
2 2
7.若函数 = ( )是定义在 上的奇函数，则 ( 1) + (0) + (1) =( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
8.已知向量 = (2,1)， = (0, 1)，则| | =( )
A. 2 B. 3 C. √ 2 D. 2√ 2
9.若扇形的弧长是8，面积是16，则这个扇形的圆心角的弧度数是( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
10.若空间三条直线 ， ， 满足 ⊥ ， // ，则直线 与 ( )
A. 一定平行 B. 一定垂直 C. 一定是异面直线 D. 一定相交
11.函数 ( ) = + ln 3的零点所在的区间为( )
A. (0,1) B. (1,2) C. (2,3) D. (3,4)
12.下列函数中，既是偶函数，又在(0,+∞)上单调递减的函数是( )
2
A. = 2 B. = C. = D. = |2 |
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13.已知一组样本数据 1， 2，…， ( ∈
)的均值和方差分别为2和0.25，则3 1 + 2，3 2 + 2，…，3 + 2
的均值和方差分别为( )
A. 6和0.75 B. 8和0.75 C. 8和2.25 D. 6和2.25
14.如图，飞机飞行的航线 和地面目标 在同一铅直平面内，在 处测得目标 的俯角为30°，飞行10千米
到达 处，测得目标 的俯角为75°，这时 处与地面目标 的距离为( )
A. 5千米 B. 5√ 2千米 C. 4千米 D. 4√ 2千米
15.将函数 = sin 的图象向右平移 个长度单位，再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不
3
变)，得到函数 = ( )的图象，则 ( )的解析式为( )
1 1 5
A. sin (2 ) B. sin (2 ) C. cos ( + ) D. cos ( )
3 6 2 6 2 6
16.设 为实数，则关于 的不等式( 1)( + 2) > 0的解集不可能是( )
1
A. ( ∞, 2) B. ( ∞, ) ∪ ( 2,+∞)
1 1
C. ( , 2) D. ( 2, )
17.先后抛掷两枚质地均匀的骰子，记事件 =“第一枚出现偶数点”，事件 =“第二枚出现奇数点”，则
( )
A. 与 互斥 B. 与 对立 C. 与 相互独立 D. 与 相等
18.已知函数 ( ) = 2 + 1( ∈ [ 2,2]), ( ) = 2 2 ( ∈ [0,3])，则下列结论：
① ∈ [ 2,2], ( ) < 恒成立，则实数 的取值范围是( ∞, 5)
② ∈ [ 2,2], ( ) < ，则实数 的取值范围是( 3,+∞)
③ ∈ [0,3], ( ) = 有解，则实数 的取值范围是[ 1,3]
其中，所有正确结论的编号是( )
A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
19.已知向量 = ( , 1), = (2, 1)，若 // ，则实数 = ．
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2 , ≥ 1,
20.已知函数 ( ) = { 则 (0) ( 3) = ．
2(1 ), < 1,
21.已知 > 0, > 0, + = 3，则 的最大值为 ．
22.从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人恰好是一名男同学和一名女同学的概率
为 ．
三、解答题：本题共 3 小题，共 36 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
23.(本小题12分)
已知函数 ( ) = ( 2 )．
6
(1)用“五点法”作出函数 ( )在[0, ]上的图象;
1
(2)解不等式 ( ) ≥ ．
2
24.(本小题12分)
某公司生产某种电子仪器的固定成本为72万元，生产 台的可变成本为 万元.且 = 2 2 + 10 ，每台的销售
价格为50万元，设总利润=销售额 成本．
(1)将总利润 (单位；万元)表示为月产量 的函数；
(2)生产几台时，公司所获得的总利润最大？
(3)生产几台时，公司所获得的平均每台的利润最大？
25.(本小题12分)
如图所示，四棱锥 的底面是边长为1的正方形，侧棱 ⊥底面 ，且 = √ 3， 是侧棱 上
的动点．
(1)求四棱锥 的体积；
(2)如果 是 的中点，求证： //平面 ；
(3)不论点 在侧棱 的任何位置，是否都有 ⊥ ？证明你的结论．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】
16.【答案】
17.【答案】
18.【答案】
19.【答案】2或 1
20.【答案】 1
9
21.【答案】
4
3
22.【答案】 /0.6
5
23.【答案】解：(1) 由 = (2 )：
6
3
2 0
6 2
2
2
7 5 13
12 3 12 6 12
( ) 0 1 0 1 0
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故函数 = ( )在区间[0, ]上的大致图象是：
1
(2)因为 ( ) ≥ ，
2
1
则 (2 ) ，
6 2
5
则 + 2 2 + 2 , ∈ ，
6 6 6
解得： + + , ∈ ，
6 2
故 的范围是{ | + + , ∈ }．
6 2
24.【答案】【详解】(1)由题意可知： = 50 72 = 2 2 + 40 72, ∈ ．
(2)因为 = 2 2 + 40 72 = 2( 10)2 + 128 ≤ 128，当且仅当 = 10时，等号成立
所以当生产10台时，公司所获得的总利润最大．
2 2+40 72 36 36
(3)因为每台的平均利润为 = = 2( + ) + 40 ≤ 2 × 2√ + 40 = 16，
36
当且仅当 = ，即 = 6时，等号成立，
所以生产6台时，公司所获得的平均每台的利润最大．
25.【答案】(1)解：∵ ⊥平面 ，正方形 的边长为1， = √ 3，
1 1 √ 3
∴ = 正方形 = × 1 × √ 3 = ， 3 3 3
即四棱锥 的体积为√ 3；
3
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(2)证明：连结 交 于 ，连结 ．
∵四边形 是正方形，∴ 是 的中点．
又∵ 是 的中点，∴ // ．
∵ 平面 ， 平面 ，
∴ //平面 ；
(3)解：不论点 在何位置，都有 ⊥ ．
证明如下：∵四边形 是正方形，∴ ⊥ ．
∵ ⊥底面 ，且 平面 ，
∴ ⊥ ．
又∵ ∩ = ， 、 平面 ，
∴ ⊥平面 ．
∵不论点 在何位置，都有 平面 ．
∴不论点 在何位置，都有 ⊥ ．
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