2024-2025 学年江苏省高邮市高二下学期期中学情调研测试
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.17 × 16 × × 4 可表示为( )
A. 317 B. 4 13 1417 C. 17 D. 17
2.已知向量 = ( 1,2,1)， = (2, , )，且 // ，那么 2 + =( )
A. 10 B. 2 C. 2 D. 10
3.5 名男生分别报名参加学校的足球队、篮球队、兵乓球队，每人限报其中的一个运动队，不同报法的种数
是( )
A. 6 B. 120 C. 125 D. 243
4.对于空间中任意一点 和不共线的三点 ， ， ，能得到点 在平面 内的是( )
A. = 2 + B. = + +
C. = 2 + 3 5 D. = 2 +
5.设 ∈ ，则直线 = 3 + 能作为下列函数图像的切线的有( )
A. ( ) = 3 B. ( ) = C. ( ) = 1 2 D. ( ) = sin2
6.在长方体 1 1 1 1中， = 1, 1 = 2, = 4，点 在棱 上，且 = 4 ，点 为△ 1
的重心，则点 到直线 的距离为( )
A. 63 B. 2 C.
3
3 D. 3
7.若函数 ( ) = sin (1 cos ) + 在( ∞, + ∞)存在单调减区间，则实数 的取值范围为( )
A. ( 98 , + ∞) B. ( ∞,2) C. ( ∞,
9
8 ) D. (2, + ∞)
8.设定义在 上的函数 ( )的导函数为 ′( )，若对 ∈ ，均有 ′( ) = ( + 1) ( )， (1) = ，则( )
A. (0) = 1 B. ′( 2) = 0
C. (2) > 3 (1) D. 1 是函数 ( )的极小值点
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.满足不等式 9 > 6 29 的 的值可能为( )
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
10.在空间直角坐标系中， (2,0,1), (0,2,1), (1,1,0), (0,0,0)，则( )
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A.向量 在向量 1上的投影向量为 2
B.若某直线的方向向量为 = (1, 1,0)，则该直线与平面 平行
C. 15异面直线 与 所成角的余弦值为 15
D. 1 1点 在平面 内的射影为点 ′( 2 , 2 , 1)
11.已知函数 ( ) = 3 + 2 4 + 6( , ∈ , ≠ 0)，下列说法正确的是( )
A.当 = 13 , = 0 时，函数 ( )有三个零点
B.当 12 + 2 > 0 时，函数 ( )有两个极值点
C.当 3 + = 0 时，函数 ( )关于点( 1,2 2 )对称
D.当 < 0， > 0 时，若 < 3，则 ( 3) > 6
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12 ( ) ( ) (1) = 2025 lim (1+ ) (1 ).设定义在 上的函数 的导函数为 ′ ， ′ ，
△ →0
= ．
13.已知 3 = 5 2 1 ，则 10 + 10 + 11 = . (用数字作答)
14.已知正方体 1 1 1 1的棱长为 2， 是棱 1的中点，点 在侧面 1 1 内，若 1 ⊥ ，则
△ 面积的最小值为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知函数 ( ) = 3 + 2 3 ， ∈ ，且满足 ′(1) = 0．
(1)求函数 ( )的解析式；
(2) 3求函数 ( )在区间[ 2 , 3]上的最大值与最小值．
16.(本小题 15 分)
如图，在空间四边形 中， 为棱 上一点，且满足 = 3 ， 为线段 的中点，设 = ， = ，
= ．
(1)试用向量 ， ， 表示向量 ；
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(2)若 = = 4, = 3, ∠ = ∠ = ∠ = 60 ，求 的值．
17.(本小题 15 分)
(1)现将学号分别为 1，2，3，4，5，6，7 号的七名同学站成一排，如果学号为 1，2 的两人之间恰好有 3
个人，有多少种不同的排法？(用数字作答)
(2)由 1，2，3，4，5，6，7 这七个数字组成没有重复数字的七位数，且奇数数字从小到大排列(由高数位
到低数位)，这样的七位数有多少个？(用数字作答)
(3)从 1，2，3，4，5，6，7 这七个数字中任选 5 个组成一个没有重复数字的“五位凸数 1 2 3 4 5”(满
足 1 < 2 < 3 > 4 > 5)，这样的“五位凸数”有多少个？(用数字作答)
18.(本小题 17 分)
如图，等边三角形 的边长为 8， ， 分别为所在边的中点， 为线段 的中点，现将三角形 沿直线
折起，使得二面角 为直二面角．
(1)求线段 的长度；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值；
(3) 4 33棱 上是否存在异于端点的点 ，使得点 到平面 的距离为 11 .若存在，请指出点 的位置；若不
存在，请说明理由．
19.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = 2 + ln ( ∈ , ≠ 0)．
(1)讨论函数 ( )的单调性；
(2) 2若函数 ( ) = ( ) + 2 , ∈ [1, ]的最小值为 2 2ln2，求 的值；
(3) 1 1证明：当 = 1 时， ( ) + 22 > 2．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.4050
13.495
14.2 55
15.解：(1)由题知 ′( ) = 3 2 + 2 3，
则 ′(1) = 3 + 2 3 = 2 ，
即 2 = 0，得 = 0，
故 ( ) = 3 3 ;
(2)令 ′( ) = 3 2 3 = 3( + 1)( 1) = 0，
得 = 1 或 = 1，
3 3 2 ( 2 , 1)
1 ( 1,1) 1 (1,3) 3
′( ) + 0 0 +
3
( ) 极大值 极小值
( ) 2 (3)51 单调递增 ( 1) = 单调递减 单调递增 (1) = 2 = 18= 8 2
由上表可知， ( )max = (3) = 18， ( )min = (1) = 2．
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16.解：(1)由题意可得：
= + =
1
+ =
1
+ (
1
+ ) = + (
1
+ 2 2 2 4 )
= + 1 ( ) + 1 ( ) = 1 + 3 + 1 1 3 12 8 2 8 8 = 2 + 8 + 8 ；
(2)因为 = = + ，
所以 = ( 1 3 12 + 8 + 8 ) (
+ )
1 1 3 2 3 1 1
= 2
+ 2
+ 8 8 8 +
2
8
= 1 1 12 × (4 × 4 × 2 ) + 2 × (4 × 3 ×
1
2 )
3 3 1
8 × 16 + 8 × (4 × 3 × 2 )
1
8 × (4 × 3 ×
1
2 ) +
1
8 × 9 =
35
8．
17.解：(1)先排甲乙两人，有 22 = 2 种;
再在其余 5 人中选择 2 人站在甲乙之间，有 35 = 60 种;
再将这 4 人看作整体与另外 2 人排成一排，有 33 = 6 种;
由分步计数原理知，共 2 32 5 33 = 2 × 60 × 6 = 720 种排法;
(2)不考虑限制条件，有 77个七位数;
7
则 4 个奇数的位置一定，共有 74 = 210 个七位数; 4
(3)先从 7 个数字中选出 5 个数字，有 57种;
将选出的 5 个数中的最大数排在最中间，有 1 种;
在选出的 5 个数中的其余 4 个数中，选择 2 个排在中间数的左边，有 24种;
将选出的 5 个数中的剩下的 2 个数，排在中间数的右边，有 1 种;
由分步计数原理知，共 5 27 4 = 126 种排法
18.18. (1)连接 ，则 ⊥ ;由题知面 ⊥面 ，
且面 ∩面 = ，又 面 ，
所以 ⊥面 ;取边 的中点记为 ，则 ⊥ ;
以 ， ， 为正交基底建如图所示空间直角坐标系，
易知 (0,0,2 3)， ( 4,2 3, 0)，所以 = 2 10;
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(2)由题知 = (2,2 3, 0)，
记面 的一个法向量 = ( 0, 0, 0)，
易知 = ( 8,0,0)， = (4,2 3, 2 3)
= 8 0 = 0所以 ,
= 4 0 + 2 3 0 2 3 0 = 0
0 = 0
不妨取 0 = 1，得 0 = 1，即 = (0,1,1);
0 = 1
记直线 与平面 的所成角为 ，
| | 2 3 6
则 sin = |cos < ， > | = = 2×4 = 4 ，
所以，直线 与平面 的所成角的正弦值为 6
4 ;
所以，直线 与平面 的所成角的正弦值为 6
4 ;
(3)设 = ，其中 0 < < 1，
= ( 4,2 3, 2 3)， = ( 4 , 2 3 , 2 3 )， = (0,0,2 3)， = + = (
4 , 2 3 , 2 3 2 3 )，
= (4,2 3, 0)，记平面 的一个法向量为 = ( 1, 1, 1)，
= 4
则有 1
+ 2 3 1 = 0
,
= ( 4 ) 1 + (2 3 ) 1 + (2 3 2 3 ) 1 = 0
1 = 3 3
不妨取 1 = 4 ，解得 1 = 2 2
1 = 4
即 = ( 3 3 , 2 2,4 );
| | 8 3 4 33
则点 到平面 的距离 = | | = = ，( 3 3 )2+(2 2)2+16 2 11
整理得：21 2 + 14 7 = 0 即 3 2 + 2 1 = 0，
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1
解得 = 3或 = 1(舍去)，
所以，当点 位于线段 的靠近点 的三等分点时，点 到平面 的距离为4 33．
11
19.(1) 2由题意知：函数的定义域为(0, + ∞)， ′( ) = 2 ，
①当 ≤ 0 时，若 > 0， 2 < 0 恒成立， 2 > 0 恒成立
∴ ′( ) < 0， ( )在(0, + ∞)内单调递减
2 2②当 > 0 时，由 ′( ) > 0， 2 > 0 得： > ;由 ′( ) < 0 得：0 < < ，
( ) (0, 2 2在 )内单调递减，在( , + ∞)内单调递增，
综上所述，当 ≤ 0 时， ( )在(0, + ∞)内单调递减;
当 > 0 时， ( ) 2 2在(0, )内单调递减，在( , + ∞)内单调递增；
+2 2(2)由题知， ( ) = ln + 2， ′( ) = ，
①当 < 0 时， ′( ) > 0 在区间[1, ]上恒成立， ( )区间[1, ]上单调递增， ( )min = (1) = 1 ≠ 2
2ln2(舍);
+2
2
②当 > 0 时，令 ′( ) = = 0，得 = 2，
(Ⅰ) 当 2 ≤ 1 时，即 2 ≤ < 0， ( )区间[1, ]上单调递增， ( )min = (1) = 1 ≠ 2 2ln2(舍);
(Ⅱ) 1 < 当 2 < 时，即 2
2 < < 2， ( )区间[1, 2)
上单调递减，在区间( 2, ]上单调递增，
( ) = ( ) = ln( min 2 2 2 )
2 = 2 2ln2;
记函数 ( ) = ln + ， ∈ (1, )，由 ′( ) = ln < 0 知函数 ( )为单调函数，
故关于 的方程2 ln( 2 ) 2 = 2 2ln2 的解为 = 4;
(Ⅲ) 当 ≥ 时，即 ≤ 2 2， ( )区间[1, ]上单调递减， ( ) = ( ) = + 22 min = 2 ln2，
解得 = 2 2ln2 2 > 2 2(舍);
综上所述， = 4．
(3)当 = 1 2 1 1 1 3时， ( ) = + ln ，要证 2 + ln + 2
2 > 2，即证 ln +
2
2 + 2 > 0，
( ) = ln + 1 2 + 3 1记函数 2 2，定义域为(0, + ∞)， ′( ) = ln + ，由 ″( ) = + 1 > 0 知， ′( )
在(0, + ∞)为单调增函数，
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又因为 ′( 1 ) = 1 +
1
< 0， ′(1) = 1 > 0，
∈ ( 1所以存在 0 , 1)，使得 ′( 0) = 0，即 ln 0 + 0 = 0，所以 ln 0 = 0，
当 ∈ (0, 0)时， ′( ) < 0， ( )单调递减;
当 ∈ ( 0, + ∞)时， ′( ) > 0， ( )单调递增;
所以， ( ) ≥ ( 0) = 0ln
1 2 3
0 + 2 0 0 + 2，
将 ln 0 = 0代入得 ( ) ≥ 0ln
1 2 3 1
0 + 2 0 0 + 2 = 2 0
3
0 + 2，其中 0 ∈ (
1
, 1)，
故 ( 0) =
1
2 0 +
3
0 2 > (1) = 0，
即 ( ) > 0 1 1，所以，当 = 1 时， ( ) + 22 > 2
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