贵州省普定县第一中学2023-2024学年高一上学期期中考试
高一 数学
注意事项:
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.选择题的作答:每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷.草稿纸和答题卡的非答题区域均无效。
一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2.命题，的否定是（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.设，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.已知，则（ ）
A. B. C. D.
5.已知正数，满足，则的最大值是（ ）
A. 4 B. 6 C. 1 D. 2
6.已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集是（ ）
A. B. C. D.
7.函数的图象大致为（ ）
A. B. C. D.
8.设是定义在上的偶函数，则（ ）
A. B. C. D. 0
二、多项选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.“”的一个充分不必要条件可以是（ ）
A. B. C. D.
10.下面命题正确的是（ ）
A. “”是“”的必要不充分条件
B. 命题“任意，则”的否定是“存在，则”
C. “”是“”的充分不必要条件
D. 设，则“”是“”的必要不充分条件
11.已知，，则下列不等式一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，，且满足，则的最小值为______________.
13.若对任意，都有，则实数的最大值为________.
14.设是定义在上的奇函数，对任意的，满足：，若，则不等式的解集为______.
四、解答题:本题共5 小题，其中第 15 题 13 分，第 16、17 题 15 分,第18、19题
15.已知集合，，．
（1）求；
（2）若，求实数的取值范围．
16.设函数.
（1）若不等式的解集为，求的值；
（2）若，，求不等式的解集．
17.在国家大力推广新能源汽车的背景下，各大车企纷纷加大对新能源汽车的研发投入．某车企研发部有100名研发人员，原年人均投入40万元，现准备将这100名研发人员分成两部分：燃油车研发部和新能源车研发部，其中燃油车研发部有名研究人员．调整后新能源车研发部的年人均投入比原来增加，而燃油车研发部的年人均投入调整为万元．
（1）若要使新能源车研发部的年总投入不低于调整前原100名研发人员的年总投入，求调整后新能源车研发人员最少为多少人？
（2）若要使新能源车研发部的年总投入始终不低于燃油车研发部的年总投入，求正整数的最大值．
18.已知函数，．
（1）当时，解不等式；
（2）若对任意，都有成立，求实数的取值范围；
（3）若对，，使得不等式成立，求实数的取值范围．
19.设A，B是非空实数集，如果对于集合A中的任意两个实数x，y，按照某种确定的关系f，在B中都有唯一确定的数z和它对应，那么就称f：为从集合A到集合B的一个二元函数，记作，，其中A称为二元函数f的定义域.
（1）已知，若，，，求；
（2）设二元函数f的定义域为I，如果存在实数M满足：①，都有，②，使得.那么，我们称M是二元函数的下确界.若，且，判断函数是否存在下确界，若存在，求出此函数的下确界，若不存在，说明理由.
（3）的定义域为，若，对于，都有，则称f在D上是关于h单调递增.已知在上是关于1单调递增，求实数的取值范围.
一、单选题
1.【答案】A
【解析】∵，，
∴．
故选：A.
2.【答案】C
【解析】命题，为存在量词命题，
其否定为全称量词命题，即为：，.
故选：C.
3.【答案】A
【解析】当时，，充分性成立.
当时，取，，不满足，必要性不成立.
故“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
4.【答案】C
【解析】选项A：若，，，，此时，，即，所以不一定成立，故A错误.
选项B：若，，，，则，，此时不成立，故B错误.
选项C：因为，所以，在不等式两边同时乘以，根据不等式的基本性质，不等号方向不变，可得，故C正确.
选项D：若，，，，则，，此时不成立，故D错误.
综上，答案选C.
5.【答案】D
【解析】展开得，由，式子化为.
因为正数，，故.
则，当时取等.
所以最大值为，选D.
6.【答案】D
【解析】由韦达定理可得，解得，，
不等式，则解集为.
故选：D.
7.【答案】C
【解析】，根据奇函数定义知，所以函数是奇函数，其图象关于原点对称，因此排除选项A和D.
又因为在上单调递增，在上也单调递增，所以函数在上单调递增，所以选项B不符合，应排除.
综上，答案选C.
8.【答案】C
【解析】已知是定义在上的偶函数.
根据偶函数定义域关于原点对称，有，解得.
又因为，即，
可得恒成立，所以.
则.
故选：C．
二、多选题
9.【答案】BC
【解析】分析选项与“”的集合关系：
A. “”包含“”，是必要不充分条件，错误.
B. “”是“”的真子集，为充分不必要条件，正确.
C. “”是“”的真子集，为充分不必要条件，正确.
D. “”包含“”，是必要不充分条件，错误.
故选：BC.
10.【答案】BCD
【解析】A选项：
解不等式，得或.
所以“”是“”的充分不必要条件，A错误.
B选项：
“任意，则”是全称命题.
其否定为特称命题“存在，则”，B正确.
C选项：
由，可得.
所以“”是“”的充分不必要条件，C正确.
D选项：
当，时，，充分性不成立.
当时，则且，必要性成立，D正确.
综上，答案选BCD.
11.【答案】ABD
【解析】选项A，根据均值不等式，当且仅当，即时等号成立，所以A正确.
选项B，由，两边同时加上可得，即，两边同时除以得，所以B正确.
选项C，当，时，，，此时，所以C错误.
选项D，，当且仅当，即时等号成立，所以D正确.
综上，答案选ABD.
三、填空题
12.【答案】
【解析】由，，，得.
.
由基本不等式，，则，当且仅当取等.
13.【答案】
【解析】由绝对值不等式，令，.
则，故最小值为.
因对任意，恒成立，所以.
即实数的最大值为.
14.【答案】
【解析】为上奇函数，故，.
对，由，设，得，即.
令，则在递增.
又，为偶函数，在递减.
当，即.由，得，，故.
当，即，，故.
时，，符合条件.
综上，不等式解集为.
四、解答题
15.【答案】解：（1）已知集合，，
所以.
（2）已知，因为恒成立，所以.
若，则说明集合中的所有元素都属于集合，那么可得不等式组， 解可得，结合，解得.
所以实数的取值范围为.【难度】中档题
16.【答案】解：（1）已知不等式的解集为，则，且和是方程的两根.
，可得：
由，解得；将代入，可得，即，解得.
所以.
（2）当时，，即，得 .
因为，方程的两根为， .
当时，，不等式的解集为.
当时，不等式化为，此时解集为.
当时，，不等式的解集为.
综上，当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为.
17.【答案】解：（1）原年总投入万元.
调整后新能源研发部有人，人均投入万元.
由，化简得，解得.
取整得，新能源研发部最少人.
（2）由，化简得，即.
利用基本不等式，当取等，故.
正整数最大值为.
18.【答案】解：（1）当时，即，
化简得，即，解得或，
解集为或.
（2）对任意成立，即恒成立.
由，（当且仅当取等），
故，即，取值范围.
（3）需.
在递增，.
分析：
时，在递增，，恒成立，故；
，，由，得；
，，由，得.
综上，的取值范围.
19.【答案】解：（1）由，根据，可得. 由，可得.
将，，代入上式，得.
（2）因为，通分可得，即.
由均值不等式（当且仅当时取等号），则，设，即，解得，所以.
因为，当时，取得最小值. 所以函数存在下确界，下确界为.
（3）已知在上关于单调递增，则对任意成立. 即， 移项化简可得：
设，因为，则， .
此时.
当时，，由对勾函数性质，，，.
当时，，，， .
当时，.
所以，则.
