第一章 勾股定理 单元测试
一、单选题
1．已知的一边，另两边长分别是3，4，若是边上异于，的一点，过点作直线截，截得的三角形与原相似，满足这样条件的直线有（ ）条
A．4 B．3 C．2 D．1
2．某小区两面直立的墙壁之间为安全通道，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端A到左墙的距离为，梯子顶端D到地面的距离为，若梯子底端A保持不动，将梯子斜靠在右墙上，梯子顶端C到地面的距离为，则这两面直立墙壁之间的安全通道的宽为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，将矩形ABCD沿直线DE折叠，顶点A落在BC边上F处，已知，，则BF的长为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
4．下列各组数中，不能构成直角三角形的是（ ）
A．3、4、5 B．6、8、10 C．8、15、17 D．10、12、15
5．如图，在四边形中，E，F分别是，的中点，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在中，，将绕点A逆时针旋转，点B落在点D处，则B、D两点间的距离为（ ）
A． B． C．3 D．
7．点P的坐标为，点是垂直于y轴的直线l上的一点，经过点P，且与直线l相切于点A，则点M的纵坐标为（ ）
A． B．1 C．2 D．4
8．如图，点P是⊙O直径AB的延长线上一点，PC切⊙O于点C，已知OB＝3，PB＝2．则PC等于（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
9．一架长的梯子斜靠在墙上，梯子底端到墙的距离为．若梯子顶端下滑，那么梯子底端在水平方向上滑动了（ ）
A． B．小于 C．大于 D．无法确定
10．如图，把含30°的直角三角板ABC绕点B顺时针旋转至如图△EBD，使BC在BE上，延长AC交DE于F，若AF＝8，则AB的长为（ ）
A．4 B．4 C．4 D．6
二、填空题
11．中，分别是斜边上的中线和高，则 ．
12．勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足 ，那么这个三角形是直角三角形．（直角三角形的判定）
13．如图，在正方形网格中，若小方格的边长均为，则是 三角形．
14．将一根24cm的筷子，置于底面直径为5cm、高为12cm的圆柱体中，如图，设筷子露出在杯子外面长为hcm，则h的最小值 ，h的最大值 ．
15．如图，分别以的三边为直径向三角形外作半圆，图中有阴影的三个半圆的面积的关系为，则是 三角形．
三、解答题
16．如图，数学活动课上，老师带领全班学生测量旗杆高度，已知旗杆顶端垂下了一根绳子，绳子的末端点距离地面的高度为米，老师让小明拿起绳子末端向前走了米至点处，此时绳子末端距离地面的高度为米，求旗杆的高度．
17．已知为锐角， ，求，的值．
18．一个直角三角形三边的长为三个连续偶数，求这个三角形的三条边长．
19．如图，正六边形的中心为原点O，顶点在x轴上，半径为．求其各个顶点的坐标．
20．在矩形中，，，点D为边上一点，将沿直线折叠，使点B恰好落在边上的点E处，分别以，所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，求点D的坐标．
《第一章 勾股定理 单元测试》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A B D C A A C A C
1．B
【分析】由，另两边长分别是3，4，可知△ABC是直角三角形，过点P作直线与另一边相交，使所得的三角形与原三角形有一个公共角，只要再作一个直角就可以．
【详解】解：如图，
∵，另两边长分别是3，4，
又∵，
∴，即△ABC是直角三角形，
∵过P点作直线截△ABC，则截得的三角形与△ABC有一公共角，
∴只要再作一个直角即可使截得的三角形与Rt△ABC相似，
∴过点P可作AB的垂线、AC的垂线、BC的垂线，共3条直线．
故选：B．
【点睛】本题主要考查勾股定理的逆定理、三角形相似判定定理及其运用，解题时运用了两角法（有两组角对应相等的两个三角形相似）来判定两个三角形相似．
2．A
【分析】本题考查的是勾股定理的应用，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，领会数形结合思想的应用．先根据勾股定理求出的长，同理可得出的长，进而可得出结论．
【详解】解：在中，，，，
∴，
在中，，，，
∴，
∴，
故选：A．
3．B
【分析】由折叠的性质得到，，根据勾股定理求出BF的长即可求解．
【详解】解：由折叠的性质知：，，
在中，，，
由勾股定理可得：．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用和折叠的性质，理解折叠的性质是解答关键．
4．D
【分析】勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．据此逐一判定即可得到答案．
【详解】解：A、，能构成直角三角形，不符合题意；
B、，能构成直角三角形，不符合题意；
C、，能构成直角三角形，不符合题意；
D、，不能构成直角三角形，符合题意，
故选D．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，解题关键是掌握如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形．
5．C
【分析】连接BD，根据三角形中位线定理求出EF，根据勾股定理的逆定理得到∠BDC=90°，根据正弦的定义计算即可．
【详解】连接，
∵E，F分别是的中点，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴△BCD是直角三角形，，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、勾股定理的逆定理、解直角三角形的知识，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
6．A
【分析】本题考查了旋转的性质及勾股定理，根据勾股定理先求，再根据旋转得出，进而用勾股定理求值即可．
【详解】解：连接，
∵在中，，
∴，
∵将绕点A逆时针旋转，使点C落在线段上的点E处，
∴，
∴，
在中，
．
故选：A．
7．A
【分析】根据切线的性质得到，求得点的横坐标为，设，过作轴于，连接，，则，，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】解：∵直线是的切线，
∴，
∵轴，
∴轴，
∵点，
∴点的横坐标为，
设，
过作轴于，连接，，
则，，，
∴，
∵点的坐标为，
∴，
∴，
在中，，
即，
解得，
∴点M的纵坐标为．
故选：A．
【点睛】本题考查了切线的性质，平行线的性质，勾股定理，正确的作出图形是解题的关键．
8．C
【分析】根据题意连接OC，依据切线性质得出，进而利用勾股定理即可求出PC．
【详解】解：连接OC，
∵PC为⊙O的切线，
∴，
∵OB＝OC=3，PB＝2，
∴,
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查切线的性质，熟练掌握切线的性质以及勾股定理的运用是解题的关键．
9．A
【分析】根据题意作图，利用勾股定理即可求解．
【详解】解：根据题意作图如下，
由题意知，，，
，
，
，
，
梯子底端在水平方向上滑动的距离是．
故选A．
【点睛】本题主要考查勾股定理，解题的关键是根据题意作图分析求解．
10．C
【分析】根据旋转的性质得到AB＝BE，∠A＝∠E＝30°，设BC＝x，根据直角三角形的性质得到AB＝DE＝2x，根据勾股定理得到AC＝，根据题意列方程即可得到结论．
【详解】解：∵把含30°的直角三角板ABC绕点B顺时针旋转得到△EBD，
∴AB＝BE，
∴∠A＝∠E＝30°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠EDF＝90°，
设BC＝x，
∴AB＝BE＝2x，
∴CE＝x，AC＝，
∵∠ECF＝90°，∠E＝30°，
∴CF＝EF，
∵CE＝x，
∴CF＝，
∵AF＝8，
∴，
∴x＝
∴AB＝2x＝，
故选：C
【点睛】本题考查了旋转的性质，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
11．1.4
【分析】由题意可画图，利用勾股定理求出AB的长，然后根据CD是AB边的中线，求出AD的长，再利用 求出CE的长，最后在中利用勾股定理求出AE的长，即可得出最终结果．
【详解】由题意可画图，
在中，
CD是AB边的中线，
CE是AB的高线，
在中，
故答案为：1.4．
【点睛】本题主要考查直角三角形和勾股定理的综合应用，有一定综合性，熟练掌握勾股定理解三角形是关键．
12．a2+b2=c2
【解析】略
13．直角
【分析】根据勾股定理和结合正方形网格分别求出、、的长，再根据勾股定理的逆定理判断出的形状．
【详解】解：依题意，根据勾股定理得，
，
，
；
∵
∴，
∴，
∴是直角三角形．
故答案为：直角
【点睛】本题考查了勾股定理、勾股定理逆定理，充分利用网格是解题的关键．
14． 11cm 12cm
【分析】根据筷子的摆放方式得到：当筷子与杯底垂直时h最大，当筷子与杯底及杯高构成直角三角形时h最小，利用勾股定理计算即可．
【详解】解：当筷子与杯底垂直时h最大，h最大=24﹣12=12（cm）．
当筷子与杯底及杯高构成直角三角形时h最小，
此时，在杯子内的长度==13（cm），
故h=24﹣13=11（cm）．
故h的取值范围是11≤h≤12cm．
故答案为：11cm；12cm．
【点睛】此题考查勾股定理的实际应用，正确理解题意、掌握勾股定理的计算公式是解题的关键．
15．直角
【分析】本题考查勾股定理逆定理，根据圆的面积公式，结合题意求出是解题关键．分别求出，再结合，即可得出，说明是直角三角形．
【详解】解：∵，，，
又∵，
∴，
∴，
∴是直角三角形．
故答案为：直角．
16．旗杆的高度为米
【分析】本题主要考查勾股定理的实际应用，熟练掌握以上知识是解题的关键．
设绳子长为米，过点作于点，根据题意可得米，米，米，米，由勾股定理得，求解出后，即可求旗杆的高度．
【详解】解：设绳子长为米，如图，过点作于点，
根据题意得米，米，米，米，
在中，由勾股定理得，
解得：，
∴旗杆的高度为米．
答：旗杆的高度为米．
17．，
【分析】本题考查了锐角三角函数的概念：在直角三角形中，锐角的正弦等于对边比斜边；余弦等于邻边比斜边；锐角的正切等于对边比邻边．设，，根据勾股定理得，然后利用锐角三角函数的定义求解即可．
【详解】解：如图，，，，
设，．
根据勾股定理，得，
∴．
∴，．
18．6，8，10
【分析】可设该直角三角形的三边长分别为、、，利用勾股定理可得，解方程即可求解．
【详解】解：设该直角三角形的三边长分别为、、，根据题意得：
，
解得（舍去），．
所以斜边长为．
故这个三角形三边长为6、8、10．
【点睛】本题考查了勾股定理，解题的关键是用表示出三边长．
19．A（－2，0），B（－1，－），C（1，－），D（2，0），E（1，），F（－1，）
【分析】过点E作EG⊥x轴，垂足为G，连接OE，得出△OED是正三角形，再利用Rt△OEG中，OG＝OE，EG＝，得出结论．
【详解】解：过点E作EG⊥x轴，垂足为G，连接OE，
∵OE=OD，∠EOD=，
∴△OED是正三角形，∠EOG＝60°，∠OEG＝30°，
∵OE＝2cm，∠OGE＝90°，
∴OG＝OE＝1cm，EG＝＝＝cm，
点E的坐标为（1，），
又由题意知点D的坐标为（2，0），
由图形的对称性可知A（－2，0），B（－1，－），C（1，－），F（－1，）．
故这个正六边形ABCDEF各个顶点的坐标分别为A（－2，0），B（－1，－），C（1，－），D（2，0），E（1，），F（－1，）．
【点睛】本题考查了正六边形的对称性，直角三角形30°的角所对的边等于斜边的一半，勾股定理等知识，解题的关键是熟练运用这些性质．
20．（-3，-10）
【分析】由折叠的性质可求得CE，在Rt△COE中，由勾股定理可求得OE，设AD=m，在Rt△ADE中，由勾股定理可求得m的值，可求得D点坐标．
【详解】∵矩形中，，，
∴，
∵将沿直线折叠，
∴，
在Rt△COE中
∴
设AD=m，则DE=BD=8-m，
在Rt△ADE中，由勾股定理可得AD2+AE2=DE2，
即，解得m=3，
∴D（-3，-10）．
【点睛】本题考查矩形与折叠问题，设未知数利用勾股定理列方程是解题的关键，还考查了直角坐标系中各象限中点的特点．
