2024-2025学年黑龙江省佳木斯八中高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若复数满足，则的虚部为( )
A. B. C. D.
2.已知向量，，若向量与向量共线，则( )
A. B. C. D.
3.在某次测量中得到的样本数据如下：，，，，，，若样本数据恰好是样本数据每个都减后所得数据，则、两样本的下列数字特征对应相同的是( )
A. 平均数 B. 标准差 C. 众数 D. 中位数
4.从，，，，中选出三个不同的数字组成一个三位数，则这个三位数是的倍数的概率为( )
A. B. C. D.
5.某市有个旅游景点，经计算，黄金周期间各个景点的旅游人数平均为万，标准差为，后来经核实，发现甲、乙两处景点的旅游人数统计有误，甲景点的旅游人数实际为万，被误统计为万，乙景点的旅游人数实际为万，被误统计为万，更正后重新计算，得到的标准差为，则与的大小关系为( )
A. B. C. D. 不能确定
6.设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题中不正确的是( )
A. 若，，，则
B. 若，，，则
C. 若，，则
D. 若，，，则
7.甲、乙两人独立地破译一份密码，破译的概率分别为，则密码被破译的概率为( )
A. B. C. D.
8.如图，等边三角形中，为边的中点，于将沿翻折至的位置，连结C.那么在翻折过程中：
总有成立；
存在某个位置，使；
在线段上，存在异于两端点的点，使线段的长度始终保持不变．
其中所有正确结论的编号是( )
A. B. C. D. 以上选项都不对
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知个数据的分位数是，则下列说法不正确的是( )
A. 这个数据中一定是个数小于或等于
B. 把这个数据从小到大排列后，是第个数据
C. 把这个数据从小到大排列后，是第个数据和第个数据的平均数
D. 把这个数据从小到大排列后，是第个数据和第个数据的平均数
10.设，，为复数，下列命题中正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
11.下列命题中，正确的是( )
A. 在中，，则
B. 在锐角中，不等式恒成立
C. 在中，若，则必是等腰直角三角形
D. 在中，若，，则必是等边三角形
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.向量是单位向量，，，则______．
13.正三棱柱的底面边长和高均为，点为侧棱的中点，连接，，则与平面所成角的正弦值为______．
14.我国古代数学名著九章算术有一抽样问题：“今有北乡若干人，西乡七千四百八十八人，南乡六千九百一十二人，凡三乡，发役三百人，而北乡需遣一百零八人，问北乡人数几何？”其意思为：今有某地北面若干人，西面有人，南面有人，这三面要征调人，而北面征调人用分层随机抽样的方法，则北面共有______人
四、解答题：本题共3小题，共27分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
计算：
；
；
．
16.本小题分
如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面．
求证：平面；
求证：．
17.本小题分
我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年位居民每人的月均用水量单位：吨，将数据按照，，分成组，制成了如图所示的频率分布直方图．
Ⅰ求直方图中的值；
Ⅱ设该市有万居民，估计全市居民中月均用水量不低于吨的人数．
Ⅲ估计居民月均用水量的中位数．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.．
．
．
16.证：在四棱锥中，底面为菱形，
所以，
平面，平面，
平面
连结平面，平面，
底面为菱形，
，
，，平面，
平面，又平面
17.解：由频率和为，，
整理，得，解得．
由已知中的频率分布直方图可得月均用水量不低于吨的频率为，
又样本容量为万，
所以样本中月均用水量不低于吨的户数为万．
Ⅲ根据频率分布直方图得；，
，
所以中位数应在组内，设中位数为，
由，
解得，
所以中位数是．
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