山东省菏泽市郓城县2024-2025学年下学期七年级 数学期末试题
一、单选题
1．下列四种化学仪器的示意图中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．2023年9月23日晚，杭州亚运会主火炬在万众瞩目之中点燃，由超过1亿人参与数字火炬传递而汇聚成的“数字火炬手”高擎火炬，从钱塘江踏着浪花一步步来到“大莲花”上空，最终与火炬手汪顺一同点燃了杭州亚运会主火炬．其中数据1亿用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
3．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，两个平面镜平行放置，光线经过平面镜反射时，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．小明观察某个路口的红绿灯，发现该红绿灯的时间设置为：红灯20秒，黄灯5秒，绿灯15秒．当他下次到达该路口时，遇到绿灯的概率是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，中，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．小亮在放学回家的路上，看到同学小明在前方，便加快速度追赶小明，在距离学校60米处追上了小明，如图反映了这一过程，其中（单位：米）表示与学校的距离，（单位：秒）表示时间．根据相关信息，以下说法错误的是（ ）．
A．开始时小明与小亮之间的距离是30米
B．15秒时小亮追上了小明
C．小亮走了60米追上小明
D．小亮追上小明时，小明走了60米
8．如图，，，下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
9．在实验课上，小亮利用同一块木板，测得小车从不同高度h（cm）下滑的时间t（s），得到如下数据：
支撑物高h（cm） 10 20 30 40 50 …
下滑时间t（s） 3.25 3.01 2.81 2.66 2.56 …
以下结论错误的是（ ）
A．当h＝10时，t为3.25秒
B．随支撑物高度增加，下滑时间越来越短
C．估计当h＝80时，t一定小于2.56秒
D．高度每增加10cm，下滑时间就会减少0.24秒
10．如图，在中，．分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，作直线分别交于点．以为圆心，的长为半径画弧，交于点，连接．则下列说法错误的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
11．北普陀山是锦州著名的景点之一，五一期间，某中学组织20名教师和名学生到北普陀山开展活动，已知成人票每张50元，学生票每张25元，若设门票的总费用为元，则与之间的关系式为 ．
12．如图，点E，F在线段上(不与点A，C重合)，，若，则的长为 ．
13．如图，两个正方形的泳池，面积分别是和，两个泳池的面积之和，点B是线段上一点，设，在阴影部分铺上防滑瓷砖，则所需防滑瓷砖的面积为 ．
14．如图，在锐角三角形中，是边上的高，在，上分别截取线段，，使；分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，在内，两弧交于点P，作射线，交于点M，过点M作于点N．若，，则 ．
15． 如图，牧童在A处放牛，其家在B处，A、B到河岸的距离分别为AC和BD，且AC=BD，若点A到河岸CD的中点的距离为500米，则牧童从A处把牛牵到河边饮水再回家，最短距离是 米．
三、解答题
16．计算：
(1)
(2)
17．已知：如图，点都在的边上，，且．
(1)求证：；
(2)若平分，=110°，求的度数．
18．一个不透明的袋中装有若干个红球和白球，它们除颜色外其他均相同．已知袋中共有30个球，将袋中的球摇匀后，从中任意摸出一个球是红球的概率是．
(1)求袋中共有多少个白球；
(2)从袋中取走10个球（其中没有白球），并将袋中球摇匀后，求从剩余的球中任意摸出一个球是白球的概率．
19．如图，点在线段上，，，．求证：．
20．麒麟某数学兴趣小组的同学用数学知识测一池塘的长度，他们所绘如图，点B，F，C（点F，C之间不能直接测量，为池塘的长度），点A，D在l的异侧，且，，测得．
(1)求证：；
(2)若，求池塘的长．
21．2024年6月2日，锦州迎来了一场体育盛宴——“跑遍辽宁”“奔赴山海前程‘是’锦”2024锦州马拉松赛．这场全民参与的体育盛宴在风景如画的滨河路淩川大桥下拉开帷幕．甲、乙两名选手均参加了健康跑项目（处折返），他们同时出发，两选手所跑的路程与时间之间的关系如图所示，请根据图象回答下列问题：
(1)求甲选手前的平均速度；
(2)乙选手追上甲选手时，他们距离终点还有多少千米？
(3)若甲选手跑最后一段的平均速度与他前的平均速度相同，那么当乙选手到达终点时，甲选手还要经过多长时间到达终点？
22．如图，E，F分别是长方形的边上的点（不与端点重合），连接，将四边形沿EF折叠，点C，D的对应点分别为点，若，求的度数．
23．【背景材料】对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被用于建筑、器物、绘画、标识等作品的设计上，比如图1．同时，对称在解决生活中的实际问题时，也往往有很大的作用．
【问题提出】某小区要在街道旁修建一个奶站，向居民区A，B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使A，B到它的距离之和最短？该问题给牛奶公司造成了困扰，现向居民们征求意见．
【问题解决】小明同学将小区和街道抽象出的平面图形，并用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题．
如图2，作A关于直线m的对称点，连接与直线m交于点C，点C就是所求的位置．
（1）请你在下列阅读、应用的过程中，完成解答并填空：
证明：如图3，在直线m上另取任一点D，连结，，，
∵直线m是点A，的对称轴，点C，D在m上，
∴ ， ，
∴ ．
在中，
∵，
∴．
∴，即最小．
（2）如图4，在等边中，E是上的点，是的平分线，P是上的点，若，则的最小值为 ．
【拓展应用】
（3）“龙舟水”来势汹汹，深圳“雨雨雨”模式开启，深圳某学校的志愿者们在查阅地图后，画出了平面示意图5．其中，点A表示龙潭公园，点B表示宝能广场，点C表示万科里，点D表示万科广场，点E表示龙城广场地铁站．如图6，志愿者计划在B宝能广场和D万科广场之间摆放一批共享雨伞，使得共享雨伞的位置到B宝能广场、C万科里、D万科广场和E龙城广场地铁站的距离的和最小．若点A与点C关于对称，请你用尺子在上画出“共享雨伞”的具体摆放位置(用点G表示)．
参考答案
1．B
解：A．不是轴对称图形，故本选项不合题意；
B．是轴对称图形，故本选项合题意；
C．不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D．不是轴对称图形，故本选项不合题意．
故选：B．
2．C
解：数据1亿用科学记数法表示为．
故选：C．
3．D
解：A.，故该选项错误，不符合题意；
B.，故该选项错误，不符合题意；
C.，故该选项错误，不符合题意；
D.，故该选项正确，符合题意；
故选：D．
4．C
解：∵，
∴，
∵两个平面镜平行放置，
∴经过两次反射后的光线与入射光线平行，
∴；
故选C．
5．C
解：红灯20秒，黄灯5秒，绿灯15秒，
遇到绿灯的概率是，
故选：C．
6．C
解：，
，
，
故选：C．
7．D
解：A、由纵坐标看出，一开始时小明与小亮之间的距离是30米，故A不合题意；
B、由横坐标看出，15秒时小亮追上了小明，故B不合题意；
C、由纵坐标看出，小亮走了60米追上小明，故C不合题意；
D、由纵坐标看出，小亮追上小明时，小明走了30米，故D符合题意．
故选D．
8．D
解：∵，
，
故A选项正确；
∵中，，
，
，
∴，
故B选项正确；
∵中，，
，
，
，
，
∴，
故C选项正确；
∵，
，
，
故D选项错误．
故选：D
9．D
解：由表格知：h＝10，t＝3.25．
故A结论正确．
由表格知：随着高度的增加，下滑时间越来越短．
故B，C结论正确．
当支撑物高度从10cm升高到20cm，下滑时间的减少0.24s，
从20cm升高到30cm时，下滑时间就减少0.2s，
从30cm升高到40cm时，下滑时间就减少0.15s，
从40cm升高到50cm时，下滑时间就减少0.1s，
因此，“高度每增加了10cm，时间就会减少0.24秒”的说法是错误的，
故选项D结论错误．
故选：D．
10．B
解：由题意可知，垂直平分，
，则选项A正确；
，
，
，
，
，
，
，
∴，则选项 D正确；
∵，
∴，则选项C正确；
假设，
，
又 ∵，
∴与矛盾，
则假设不成立，选项B错误；
故选：B．
11．
解：依等量关系式“总费用老师费用学生费用”可得：．
故答案为：．
12．3
解：∵，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
故答案为：3．
13．4
设，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴阴影部分的面积为；
故答案为：4．
14．6
解：作图可知平分，
∵是边上的高，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：6．
15．1000
【详解】
作出A的对称点A′，连接A′B与CD相交于M，则牧童从A处把牛牵到河边饮水再回家，最短距离是A′B的长．易得△A′CM≌△BDM，AC=BD，所以A′C=BD，则A′C /BD ="CM" /MD ，
所以CM=DM，M为CD的中点，
由于A到河岸CD的中点的距离为500米，
所以A′到M的距离为500米，
A′B=1000米．
故最短距离是1000米．
16．(1)
(2)
（1）解：；
（2）
．
17．(1)见解析
(2)
（1）证明：∵，
，
，
，
；
（2）∵平分，
，
由（1）得，
，
，
，
∵，
．
18．(1)12个
(2)
（1）解：设袋中共有x个红球，
因为袋中共有30个球，从中任意摸出一个球是红球的概率是，
所以解得．
因为（个），
所以袋中共有12个白球．
（2）从袋中取走10个球（其中没有白球），袋中还剩个球，袋中共有12个白球．
则从剩余的球中任意摸出一个球是白球的概率为．
19．见解析
证明：∵，
∴，
∴在和中，
，
∴，
∴．
20．(1)见解析
(2)的长是40m
（1）证明：∵，
∴，
在与中，
∴；
（2）解：∵
∴
∴，
∴，
∵
∴m．
答：的长是40m
21．(1)甲选手起跑时的速度为；
(2)相遇时他们距离终点还有；
(3)乙到达终点后，甲选手经过后也到达了终点．
（1）解∶ 根据图象可知，，
答∶甲选手起跑时的速度为；
（2）解∶ 由图象可知，，
相遇时他们距离终点的路程，
答∶相遇时他们距离终点还有．
（3）解∶ 由图象可知，甲最后的冲刺阶段距离终点还有．
所以．
答∶乙到达终点后，甲选手经过后也到达了终点．
22．
解：∵长方形，
∴，
∴，
∴，
由折叠性质可知，
∴，
∴．
23．（1），，（2）5（3）见解析
解：（1）证明：如图3，在直线m上另取任一点D，连结，，，
∵直线m是点A，的对称轴，点C，D在m上，
∴，，
∴．
在中，
∵，
∴．
∴，即最小．
故答案为：，，；
（2）∵是的平分线，
∴可在上找到点E关于直线对称的对称点，
作出点，连接，则，
过点B作，
由垂线段最短可知，当点B、P、三点共线，且垂直时，有最小值，
即的最小值是的长度，
∵等边三角形每条边上的高相等，
∴的最小值为：，
故答案为：5；
（3）到的距离和最小的点在线段上，
∵点A与点C关于对称，
∴到的距离和最小的点是线段和的交点，
∴到这四个点的距离和最小的点是线段和的交点，
故连接交于点G，点G即为所求作的点，
