2024-2025 学年吉林省延边州敦化实验中学高一（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数 = 2 + ，则( )
A. 的虚部为 B. | | = 5 C. = 2 D. >
2.已知平行四边形 中， 是 的中点，则 =( )
A. 1 B. + 1 C. + 1 2 2 2
D. 12
3.已知△ 中，角 、 、 的对边分别为 、 、 ，若 ： ： = 1：1：4，则 ： ： =( )
A. 1：1： 3 B. 2：2： 3 C. 1：1：2 D. 1：1：4
4.若单位向量 ， 满足| + 3 | = 6，则| | =( )
A. 2 6 B. 2 3 63 3 C. 3 D.
30
3
5.如图，在空间四边形 各边 、 、 、 上分别取点 、 、 、 ，若直线 、 相交于点 ，
则( )
A.点 必在直线 上
B.点 必在直线 上
C.点 必在平面 内
D.点 必在平面 内
6.tan( 877.5°) =( )
A. 2 1 B. 1 2 C. 2 1 D. 2 12
7.山西应县木塔，始建于 1056 年，是世界上现存最高大、最古老的纯木楼阁式建筑，与意大利比萨斜塔、
巴黎埃菲尔铁塔并称“世界三大奇塔”.某同学为了估算木塔的高度 ，他在塔的附近找到一座建筑物 ，
高为 15 ，在地面上点 处( , , 在同一水平面上且三点共线)测得木塔顶部 ，建筑物顶部 的仰角分别为
60°和 15°，在 处测得木塔顶部 的仰角为 30°，则可估算木塔的高度为( )
A. (15 + 45 2) B. (45 + 15 2) C. (15 + 45 3) D. (45 + 15 3)
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8.在△ 中，点 满足 1 = ，| | = 2，点 在线段 上，则 ( 2
+ )的取值范围是( )
A. [ 4, 32 ] B. [ 2,
3
2 ] C. [ 2, + ∞) D. [ 2,0]
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列关于空间几何体的叙述错误的是( )
A.底面是正方形的棱锥是正四棱锥
B.任何一个几何体都必须有顶点、棱和面
C.有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台
D.一个棱柱至少有 5 个面
10.已知 , , 是三个非零向量，则下列说法正确的是( )
A.若 = ，则 =
B.若| + | = | |，则 ⊥
C.若| | = | | + | |，则 //
D.若 // ，则( ) = ( )
11.若 1， 2是复数，则下列说法错误的是( )
A.若| 1| = 1
1
，则 + 1 ∈ 1
B.若 3 31 = 2，则 1 = 2
C.若 1 2 ∈ ，|
1
2| ≠ 0，则 ∈ 2
D.若 21 + 22 = 0，则 1 = 2或 1 = 2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.若向量 = (3,6), = ( 1,1)，则向量 在向量 上的投影向量的坐标为______．
13.在边长为 2 的菱形 中， ， 分别为 ， 的中点， = 5，则 = ．
14 .已知某地区某天的温度(单位：℃)随时间 (单位： )的变化近似满足函数关系 ( ) = 28 + ( 8 +
3
4 )( > 0)， ∈ [0,24)，且这天的最大温差为 8℃，则 = ______；若温度不低于 30℃需要开空调降温，
则这天需要降温的时长为______ .
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知向量 = ( 2,3)， = ( , 2 )．
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(1)若 // ，求实数 的值；
(2)若 + 2 与 2 垂直，求实数 的值．
16.(本小题 15 分)
如图所示， ′ ′ ′ ′为四边形 的斜二测直观图，其中 ′ ′ = 3， ′ ′ = 1， ′ ′ = 1．
(1)画出四边形 的平面图并标出边长，并求平面四边形 的面积；
(2)若该四边形 以 为旋转轴，旋转一周，求旋转形成的几何体的体积及表面积．
17.(本小题 15 分)
函数 ( ) = ( + )( > 0, > 0,0 < < )在一个周期内的图象如图所示．
(1)求 ( )的解析式；
(2)将 ( ) 的图象向左平移3个单位长度后得到函数 ( )的图象，求 ( )在区间[ 12 , 2 ]上的最大值和最小值．
18.(本小题 17 分)
如图，在直角梯形 中， // ， ⊥ ， = 2 = 2 = 2， 为 上靠近点 的一个三等分
点， 为线段 上的一个动点．
(1)用 和 表示 ；
(2)设 = + ，求 的取值范围．
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19.(本小题 17 分)
在△ 中， 是 边上靠近 的三等分点．
(1)若 = ，证明： + 2 ∠ = 0；
(2) ∠ = 若 3， = 3．
( )求△ 面积的最大值；
( )求 的最小值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.( 32 ,
3
2 )
13.132
14.4 6
15.解：向量 = ( 2,3)， = ( , 2 )．
(1) // ，可得 2(2 ) 3 = 0，解得 = 4；
(2) + 2 与 2 垂直，
2
可得( + 2 ) (2 ) = 0 2，即 2 + 3 2 = 0，
即 2[( 2)2 + 32] + 3[ 2 + 3(2 )] 2[ 2 + (2 )2] = 0，整理得：4 2 + 7 36 = 0，解得 = 4
或 = 94．
16.解：(1)平面四边形 的平面图如下图所示：
由上图可知，平面四边形 为直角梯形，
(1+3)×2
所以面积为 2 = 4；
(2)旋转而成的几何体可以看成圆柱加上一个同底的圆锥，
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由(1)可知几何体底面圆半径为 = 2，圆柱母线长和高都为 1，即 1 = 1 = 1，
圆锥的高为 2 = 2，母线长为 2 = 2 2，
1
所以体积 = 柱 +
2 2
锥 = 1 + 3 2 = 4 +
8
3 =
20
3 ，
所以表面积 = 2 + 2 1 + 2 = 4 + 4 + 4 2 = (8 + 4 2) ．
17.解：(1)函数 ( ) = ( + )( > 0, > 0,0 < < )在一个周期内的图象如图所示，
由最值得 = 2，
= ( ) = = 2 由相邻两个对称中心之间的距离得2 6 3 2，则 = ，即 = 2，
此时 ( ) = 2 (2 + )，
( ) 图象的一个最高点坐标为( 12 , 2)，代入 ( ) = 2 (2 + )得 sin( 6 + ) = 1，
则 6 + =
2
2 + 2 ( ∈ )，即 = 3 + 2 ( ∈ )，
2
又因为 0 < < ，所以 = 0, = 3，
2
故函数的解析式为 ( ) = 2 (2 + 3 )；
(2)将 ( ) 的图象向左平移3个单位长度后得到函数 ( )的图象，
由题意得 ( ) = 2 [2( + ) + 2 3 3 ] = 2 (2 +
4
3 ) = 2 (2
2
3 )，
∈ [ , ] 2 2 5 因为 12 2 ，所以 3 ∈ [ 6 , 3 ]，
又 = [ 5 , 在 6 2 ]
上单调递减，在[ 2 , 3 ]上单调递增，
2 2 所以当 3 = 2，即 = 12时， ( )取到最小值，为 2；
2 2 当 3 = 3时，即 = 2时， ( )取到最大值，为 3．
18.解：(1) ∵ 为 上靠近点 的一个三等分点， // ， = 2 = 2 = 2，
∴ = + 2 = + 23 3 (
+ + 1 ) = 2 2 2 3 + 3 ；
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(2) = + = 1 + 2 ，设
= = 2 ，0 ≤ ≤ 1，则：
= ( ) + 2 = ( +
) 2
，
= 1 = 1
∴ 1根据平面向量基本定理得： 1+ 2 =
1，∴
2 =
3 ，且 0 < ≤ 1， ≥ 1，
3
∴ = ∈ ( ∞, 3],
的取值范围为( ∞, 3]．
19.(1)证明：因为 是 边上靠近 的三等分点，
所以 = 1 ，即 = 1 ( )，化简得 = 1 + 2 3 3 3 3
．
设△ 内角 、 、 的对边分别为 、 、 ，则| | = | | = 13 ，
因为
2
= ( 1 3
+ 2 3 )
2 1 1 4，所以 29 =
2
9 + 9
2 + 49 ∠ ，即
2 = 2 + 4 2 + 4 ∠ …①，
在△ 中，由余弦定理得 2 = 2 + 2 2 ∠ …②，
①②两式消去 ，可得 2 + 2 2 ∠ = 2 + 4 2 + 4 ∠ ，
化简得 + 2 ∠ = 0，即 + 2 ∠ = 0；
(2)解：( ) 在△ 中，∠ = 3 , = 3，
由余弦定理 2 = 2 + 2 2 cos∠ = 3，化简得 2 + 2 = 3，
由基本不等式得 2 + 2 ≥ 2 ，当且仅当 = 时，等号成立．
所以 3 = 2 + 2 ≥ ，当 = 时， 取得最大值 3．
根据点 是 3边上靠近 的三等分点，可得 △ = 2 △ ，
3 3
所以 △ = 2 △ = 4 sin 3 ≤
3
4 × 3 ×
3
2 =
9 3 9 3
8 ，当 = 时，△ 面积的最大值为 8 ．
( )在△ 中，∠ = 3 , = 3，
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3
由正弦定理得 = sin∠ = sin∠ = sin = 2，3
2 2
结合∠ = 3 ，可得 = 2 ， = 2 ∠ = 2 ( 3 ) = 3 + ．
由∠ + ∠ = ，可得 cos∠ + cos∠ = 0，
2+ 2 2 2+ 2 2
根据余弦定理，可得 2 + 2 = 0，
将 = 2 = 3 9 3 1代入上式，化简得 2 = 4 + 2
2 2
2 9 3 1， 2 = + 2 24 2 2 ，
所以 2 = 94+
3 2 1
2 × 4 2 ( 3 + )
2 = 9 + 6 2 34 2 cos
2 12 sin
2 3
= 3 24 + 7 3 =
17 74 2 2
3
2 2 =
17
4 13sin(2 + )
7 3
，其中 = 3 ，
当 2 + = 2，即 sin(2 + ) = 1 时，
2 17 13 2 13 2取得最小值 4 13 = ( 2 )
2，可知 的最小值为 2 ．
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