2024-2025 学年上海市金山中学高二下学期期末数学试卷
一、单选题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若 ， 是不相同的直线， , 是不重合的平面，则下列命题为真命题的是( )
A.若 !/ ， // ，则 // B.若 // ， ，则 //
C.若 // ， // ，则 // D.若 // ， ，则 //
2.等轴双曲线 过点 (3,1)，则双曲线 的右焦点 2到其中一条渐近线的距离为( )
A. 3 B. 2 C. 2 2 D. 2 3
3.已知(2 )2025= 0 + 1( + 1) + 2( + 1)2 + + 20252025( + 1) ，则 0 + 1 + + 2025 =( )
A. 22025 B. 24050 C. 1 D. 0
4.已知 ( ) = sin + ln ，将 = ( )的所有极值点按照由小到大的顺序排列，得到数列 ，对于正整数
( 1) < < (2 1) > (2 +1) 有如下两个命题：甲： ；乙： 2 +1 2 恒成立；则( )
A.甲正确，乙正确 B.甲正确，乙错误 C.甲错误，乙正确 D.甲错误，乙错误
二、填空题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。
5.设集合 = {0,1,2}， = {1, }，若 ，则实数 =
6.若直线 1: + 3 6 = 0 与直线 2: + ( 2) 2 = 0 垂直，则 = ．
7.不等式 lg( + 1) > 1 的解集为 ．
→ → → → → →
8.已知 , 为单位向量， = 3，则 , 的夹角为 ．
9.从高三某班抽取 10 名同学，他们的数学成绩如下：102，110，117，120，122，122，122，126，134，
145(单位：分)，则这 10 名同学数学成绩的第 70 百分位数是 ．
10 2 1.底面半径为 的圆柱的侧面积是圆柱表面积的2，则该圆柱的高为
11.已知点 ( , 1)在抛物线 ： = 2上，且点 与焦点的距离为 3，则 的值为 ．
12 .设由复数组成的数列 满足：对任意的正整数 ，都有 +1 = i(i 是虚数单位)，则数列 的前 2024
项的和为 ．
13.《红楼梦》四十一回中，凤姐为刘姥姥准备了一道名为“茄鲞”的佳肴，这道菜用到了鸡汤、鸡脯肉、
香菌、新笋、豆腐干、果干、茄子净肉七种原料，烹饪时要求香菌、新笋、豆腐干一起下锅，茄子净肉在
鸡脯肉后下锅，鸡汤最后下锅，则烹饪“茄鲞”时不同的下锅顺序共有 种.
14.已知 > 0, > 0，且 = 1 1 + 1 8，则2 2 + + 的最小值为 ．
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15.已知定义在 R 上的函数 ( )的导函数 ′( )，若 ′( ) < e ，且 (2) = e2 + 2，则不等式 (ln ) > + 2
的解集是 ．
16.已知实数 1, 2, 2 2 2 21, 2满足： 1 + 1 = 2, 2 + 2 = 2, 1 2 1 2 = 2，则 1 + 1 2 + 2 + 2 2
的最大值是 ．
三、解答题：本题共 5 小题，共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题 14 分)
在四棱锥 中，底面为梯形， // ，∠ = ∠ = 90°， = = = 2， ⊥ ，四
棱锥 的体积为 4．
(1)求证： ⊥平面 ；
(2)求 与平面 所成角. (结果用反三角函数表示)
18.(本小题 14 分)
已知函数 ( ) = 2sin( + )， ( ) = 2cos ， > 0， ∈ [0, )，它们的最小正周期为 ．
(1)若 = ( )是奇函数，求 ( )和 ( )在[0, ]上的公共减区间 ；
(2)若 = ( ) + ( )的一个零点为 = 6，求 ( ) + ( )的最大值．
19.(本小题 14 分)
为大力弘扬中华民族尊老、敬老、爱老的传统美德，某医院从 ， 两个科室的志愿者中随机抽调 4 人为某
社区养老院的老人进行“免费健康体检”活动，已知 ， 两个科室中的志愿者分布如下：
志愿者
类别科室
医生 护士
科室 2 3
科室 3 3
(1)求抽到的 4 人中，恰好有 2 名医生，且这 2 名医生恰好来自同一科室的概率；
(2)设 为选出的 4 人中医生的人数，求随机变量 的分布列和数学期望．
20.(本小题 14 分)
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2 2
已知椭圆 : 2 + 2 = 1( > > 0)的长轴为 ，椭圆的离心率 =
3
2 ，左右焦点分别记作 1、 2，且 1
1 = 1，过 1、 2分别作直线 1、 2交椭圆于 、 ( , 在 轴上方)，且 1// 2；
(1)求此椭圆方程．
(2)当直线 1的斜率 1与直线 的斜率 2都存在时，求证： 1 2为定值．
(3)求四边形 1 2 面积的最大值．
21.(本小题 14 分)
已知函数 = ( )，若点 是函数 = ( )的图像的两条互相垂直的切线的交点，则点 是函数 = ( )的
“特征点”，记 = ( )的所有“特征点”的集合为 ；
(1)若 ( ) = ln ，求 ；
(2)若 ( ) = 2，求证：函数 = ( )的所有“特征点”在一条定直线上，并求出这条直线的方程；
(3)若 ( ) = 3 2，记函数 = ( )的所有点组成的集合为 ，且 ∩ = ，求实数 的取值范围．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.0，2
6.32
7.(9, + ∞)
8.2 3
9.124
10.2
11.18/0.125
12.0
13.12
14.4
15. 0, e2
16.4 + 2 2
17.解：(1) ∵ ∠ = ∠ = 90°，∴ ⊥ ， ⊥ ，
又 // ，所以 ⊥ ，
∵ ∩ = ， ， 面 ，
∴ ⊥平面 ；
(2)如图，作 的中点 ，连结 ， ，
∵ = ， ⊥
∴ ⊥ 1， = 2 2， = 2 = 2．
由(1) ⊥平面 ，故 ⊥ ，
又 ∩ = ， ， 面 ，
所以 ⊥平面 ，即 为四棱锥 的高，
∠ 为 与平面 所成，．
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由四棱锥 的体积为 4，可得：
4 = 1 1 + 1 2+ 3 梯形 = 3 2 = 3 2 2 2 2，
解得 = 4，
在 中， = 2 + 2 = 22 + 42 = 2 5，
在 中，sin∠ = 2 = 2 5 =
10
10 ，∠ = arcsin
10
10 ，
所以 与平面 所成角为 arcsin 1010 ．
18. 2 解：(1)由 = | | = ，得 = 2，
又因为 = ( )是奇函数且 ∈ [0, )，所以 = 0，
所以 ( ) = 2sin2 ， ( ) = 2cos2 ，
在[0, ] 3 上，函数 ( ) = 2sin2 的单调递减区间是 1 = 4 , 4 ，
函数 ( ) = 2cos2 的单调递减区间是 2 = 0, 2 ，
所以 = 1 ∩ 2 = 4 , 2 ．
(2) = ( ) + ( ) = 2sin(2 + ) + 2cos2 ，
1
把点 6 , 0 代入得 2sin 3 + + 2cos 3 = 0，即 sin 3 = 2，
因为 ∈ [0, )，所以 = 6，
所以 = ( ) + ( ) = 2sin 2 + 6 + 2cos2 = 6
1
2 sin2 +
3
2 cos2
= 6sin 2 + 3 ，
所以当 2 + = 3 2 + 2 , ∈ =
，即 12 + , ∈ 时， = ( ) + ( )取最大值 6，
即 ( ) + ( ) max = 6．
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19.解：(1)由已知，恰好有 2 名医生的情况包含这 2 名医生都来自 科室和都来自 科室，
有C2 2 2 22C6 + C3C6种情况，从 11 人中抽 4 人有C411种情况，
C2C2+C2C2 60 2
所以所求的概率为 2 6 3 64 =C11 330
= 11．
(2)随机变量 的所有可能取值为 0、1、2、3、4，
0 4 1 3
( = 0) = C5C6 = 14 22， ( = 1) =
C5C6 10
C C4
=
11 11 33
，
2
( = 2) = C5C
2 5 C3C1 4 06 5 6
4 = 11， ( = 3) = 4 =
2 C5C6 1
C11 C11 11
， ( = 4) = = ，
C411 66
所以随机变量 的分布列为
0 1 2 3 4
1 10 5 2 1
22 33 11 11 66
所以 ( ) = 0 × 1 + 1 × 1022 33 + 2 ×
5 2 1
11+ 3 × 11 + 4 × 66 =
20
11．
20.解：(1)设 2 = 2 2， > 0，
1 1 = ( )( + ) = 1，得到 2 = 1；
= 3又因为 2 ，所以
2 = 4， 2 = 3， 2 = 1．
2
即椭圆方程为 4 +
2 = 1．
(2)设 1, 1 ， 2, 2 ，根据对称性，有 1, 1 ，因为 1, 1 ， 2, 2 都在椭圆 上，
2 2 2 2
所以 1 + 2 = 1 ， 2 + 2 = 1，二式相减得， 1 2 + 2 24 1 4 2 4 1 2 = 0，
2 2
所以 1
2 1 2+ 1 2 1 1
2 = + = 2 2 = 4为定值．2 1 2 1 2 1
(3)由题意得，直线 1的倾斜角不为 0，由对称性得四边形 为平行四边形，
= 2 1 2 = 4 ，
2 1 3, 0 ，设直线 1的方程为 = 3，代入 24 + = 1，
得 2 + 4 2 2 3 1 = 0. 2 3 1显然Δ > 0， 1 + 2 = 2+4， 1 2 = 2+4．
= 1 3 = 3 2 3
2 2
所以 2 1 2 2 2+4 4
1
2+4 = 2 3
+1
，
2+4 2
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设 2 + 1 = ，所以 2 = 1， ∈ (1 + ∞)．
2+1 = = 1 ≤ 1所以 ．
2
2 2 9
+4 +6 +9 + +6 12
当且仅当 = 9 1 即 =± 2时等号成立，所以 max = 2 3 12 = 1．
所以平行四边形面积的最大值为 1 2 = 2 = 2．
21.解：(1)假设 ( ) = ln ( > 0)存在“特征点”，则 ( )存在两条互相垂直的切线，
设为 = 1和 = 2处的切线，
1
因为 ′( ) = ，所以
′ ′1 2 =
1
> 0，1 2
所以 ( )不存在“特征点”，所以 = ．
(2)设“特征点” 0, 0 是 ( )在 = 1和 = 2处的切线的交点，
因为 ( ) = 2，所以 ′( ) = 2 ，
所以 ( )在 = 1和 = 2处的切线方程为 = 2 1 21， = 2 2 22，
= 2 2 1
联立 1 1解得 = 2 1 + 2 12 ，即 + , ， = 2 2 2 = 2
1 2 1 2
1 2
因为两条切线相互垂直，所以 ′ ′1 2 = 4 1 2 = 1，
1 1
所以 1 2 = 4，所以 ( )的所有“特征点”在一条定直线 = 4上.
(3)因为 ∩ = ，所以由题意可知不存在 ( )图象上的点，使得该点是“特征点”，
先证明：对任意的实数 ，若 ( )图象上的点是“特征点”，则该点本身一定是切点，
反证法：假设该点 1, 1 不是切点，则存在切线 = ′ 2 2 + 2 ，
它与函数图象交于点 ，所以 1 = 3 22 2 2 1 2 + 32 22 = 31 21，
化简得 1 22 1 + 2 2 = 0，因为 1 ≠ 2，所以 1 = 2 2，
同理可得 1 = 2 3，所以 1 = 2，两条切线重合，矛盾，所以该点本身一定是切点；
假设 2, 2 ， 3, 3 处切线互相垂直，不妨令 是两条切线的交点，
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则由前文可知 3 = 2 2，所以 ′ 2 = 3 22 2 2， ′ 33 = 3 3 2 3 = 3 2 22 2
2 2 22 = 12 2 8 2 + ，
因为 ′ 2 ′ 3 = 1，
所以 3 22 2 2 12 2 22 8 2 + = 1，即 3 2 22 2 2 12 2 8 2 + 2 + 1 = 0，
2 2 2
设 = 3 22 2
2 = 3 2 3 3 ≥
3，
则有 4 + 2 + 1 = 4 2 + 2 + 1 = 0，
由题意可知 ( )图象上的点都不是“特征点”，即不存在这样的点 ，
2
所以方程 4 2 + 2 + 1 = 0 对 ≥ 3无解，
2 2
设 ( ) = 4 2 + 2 + 1，其对称轴为 = 8 ≥ 3，
2 4
所以当 = 8时 ( )
取最小值 1 16，
4
要使得 ( ) = 0 无解，只需 1 16 > 0，解得 ∈ ( 2,2)．
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