第37讲 二次函数的最值问题
考点展示·课标透视
中考考点 新课标要求
二次函数的图像对称性 会求二次函数的最大值或最小值，并能确定相应自变量的值.
二次函数图像的增减性
二次函数与几何图形结合 知道二次函数和变换之间的关系，会利用二次函数的图像求函数的最值.
二次函数与函数结合
知识导航·学法指引
分类研究·深度理解
考点一 代数最值：定轴定区间最值问题
解题方法：对于二次函数在m≤x≤n上的最值问题(其中 a、b、c、m和n均为定值，表示y的最大值，表示y的最小值.
1）若自变量x为全体实数，如图①，函数在x=时，取到最小值，无最大值.
2）若m≤≤n，n时，如图②，当，当
3) 若m≤≤n，n时，如图③，当，当
4) 若m≤x≤n＜时，如图④，当，当
5) 若＜m≤x≤n时，如图⑤，当，当
【典例1】（2025·湖南·中考真题）如图，已知二次函数的图象过点，连接点，，，是此二次函数图象上的三个动点，且，过点作轴交线段于点．
(1)求此二次函数的表达式；
(2)如图1，点、在线段上，且直线、都平行于轴，请你从下列两个命题中选择一个进行解答：
①当时，求证：；
②当时，求证：；
(3)如图，若，，延长交轴于点，射线、分别与轴交于点，，连接，分别在射线、轴上取点、（点在点的右侧），且，．记，试探究：当为何值时，有最大值？并求出的最大值．
【分析】（1）将代入，待定系数法求解析式，即可求解；
（2）根据题意得出，，，①当时，，因式分解得出，根据得出；②当时，，因式分解得出，根据，得出；
（3）延长交轴于点，过点分别作轴的垂线，垂足分别为，证明，，得出，进而证明 ，得出，结合已知可得，勾股定理求得，进而证明，可得，则，则 ，根据二次函数的性质，即可求解．
【详解】（1）解：将代入得，
，
解得：
∴
（2）证明：设直线的解析式为，代入得，
∴
∴直线为，
∵，，过点作轴交线段于点．直线、都平行于轴，在上，
∴，，，
①当时，，
∴，
∵，
∴，
∴，即；
②当时，，
∴，
∵，即，
∴，即，
（3）解：如图，延长交轴于点，过点分别作轴的垂线，垂足分别为
∵，
∴，，
又∵，，
∴，
∴
∴
设直线的解析式为，代入，
∴
解得：
∴直线的解析式为
当时，即
又∵
∴
∵的解析式为
∴，
又∵
∴
∴，即
又∵，
∴
∵
∴
∵
∴
又∵
∴
∴
∴
∴
当时，有最大值为．
【点睛】本题考查了二次函数综合应用，待定系数法求解析式，二次函数的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．
【典例2】（2025·浙江·中考真题）已知抛物线（a为常数）经过点．
(1)求a的值．
(2)过点与x轴平行的直线交抛物线于两点，且点B为线段的中点，求t的值．
(3)设，抛物线的一段夹在两条均与x轴平行的直线之间．若直线之间的距离为16，求的最大值．
【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，熟练掌握二次函数的图象性质，是解题的关键：
（1）待定系数法求出函数解析式即可；
（2）先求出对称轴，由题意，可知，关于对称轴对称，的纵坐标均为，中点得到，对称性得到，求出，再代入函数解析式求出的值即可；
（3）根据题意，易得要使最大，则，为一条直线与抛物线的交点，和关于对称轴对称，根据直线之间的距离为16，为定值，得到当一条直线恰好经过抛物线的顶点，即：时，最大，此时另一条直线的解析式为，令，求出的值，进而确定的值，进行求解即可．
【详解】（1）解：把代入，得：，
解得：；
（2）由（1）知：，
∴对称轴为直线，
∵点在轴上，过点与x轴平行的直线交抛物线于两点，
∴关于对称轴对称，的纵坐标均为，
又∵点B为线段的中点，
∴，
∴，
∴，
∴代入，得：，
∴；
（3）∵，
∴抛物线的顶点坐标，
当抛物线的一段夹在两条均与x轴平行的直线之间时，
为直线与抛物线的交点，
∴要使最大，则，为一条直线与抛物线的交点，和关于对称轴对称，
又∵直线之间的距离为16，为定值，
∴当一条直线恰好经过抛物线的顶点，即：时，最大，此时另一条直线的解析式为，如图：
∴当时，解得：，
即：，
∴的最大值为：．
考点二 利用对称轴与图像解决图系关系问题
解题方法：开口方向不确定时，先讨论开口方向;
1）开口向上时，离对称轴越近，函数值越小，离对称轴越远，函数值越大;
2）开口向下时，离对称轴越近，函数值越大，离对称轴越远，函数值越小。
【典例1】如图，已知直线与y轴交于点A，与x轴交于点D，抛物线与直线交于A、E两点，与x轴交于B、C两点，且线段．（注：抛物线的对称轴为）
(1)求该抛物线的解析式；
(2)动点P在x轴上移动，当是直角三角形时，求点P的坐标；
(3)在抛物线的对称轴上找一点M，使的值最大，求点M的坐标．
【答案】(1)抛物线的解析式为
(2)点P的坐标为或或或；
(3)
【分析】（1）首先得点，，那么把，坐标代入即可求得函数解析式；
（2）让直线解析式与抛物线的解析式结合即可求得点的坐标．是直角三角形，应分点为直角顶点，点是直角顶点，点是直角顶点三种情况探讨；
（3）首先得的值最大，应找到关于对称轴的对称点，连接交对称轴的一点就是．应让过的直线解析式和对称轴的解析式联立即可求得点坐标．
【详解】（1）直线与轴交于点，
令，则
点坐标为，
线段，直线与x轴交于B点，
，
∵抛物线与直线交于A点，与x轴交于B点，
将、坐标代入
得，解得，
抛物线的解析式为；
（2）设点的横坐标为，则它的纵坐标为，
即点的坐标，
又点在直线上，
解得（舍去），，
的坐标为．
（Ⅰ）当为直角顶点时，
过作交轴于点，设，
∵直线与x轴交于点D，
令，则
∴点坐标为，
∵，
∴
∵
∴，
∴，即，
，
．
（Ⅱ）同理，当为直角顶点时，过作交轴于点，过作轴于，
同理可证，
∴，
∵点坐标为，的坐标为
∴
即，
，
，
，
∴点坐标为．
（Ⅲ）当为直角顶点时，设，
由，得，
∴，
由得，
解得，，
此时的点的坐标为或，
综上所述，满足条件的点的坐标为或或或；
（3）抛物线的对称轴为，
、关于对称，
，
要使最大，即是使最大，
由三角形两边之差小于第三边得，当、、在同一直线上时的值最大．
∵，，
设直线的解析式为
∴，解得
∴直线的解析式为
由，得，
．
【点睛】此题主要考查了二次函数综合以及待定系数法求二次函数解析式和相似三角形的判定与性质等知识，根据一个三角形是直角三角形，应分不同顶点为直角等多种情况进行分析；求两条线段和或差的最值，都要考虑做其中一点关于所求的点在的直线的对称点得出是解题关键．
【典例2】图，已知直线分别交x轴、y轴于点B．抛物线过A，B两点． P是线段AB上一动点，过点P作PC⊥x轴于点C，交抛物线于点D．
(1)若抛物线的顶点M的坐标为，其对称轴交于点N．
①求抛物线的解析式．
②在抛物线的对称轴上找一点Q，使的值最大，试求出点Q的坐标．
③是否存在点P，使四边形MNPD为平行四边形？若存在，求出此时点P的坐标．
(2)当点P的横坐标为1时，是否存在这样的抛物线，使得以B，P，D为顶点的三角形与相似？若存在，直接写出满足条件的抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)①；②；③存在，
(2)存在，或
【分析】（1）①利用待定系数法求解即可；
②设抛物线与x轴左侧的交点为，则点A，R关于抛物线的对称轴对称，
根据题意得到当点R，B，Q三点共线时，的值最大，即，然后求出直线的解析式为，将代入求解即可；
③首先求出点M和点N的坐标，得到，然后设点P的坐标为，则点D的坐标为，得到，然后利用平行四边形的判定得到，解方程即可求解；
（2）根据题意分两种情况讨论：和，分别利用相似三角形的性质和待定系数法 即可．
【详解】（1）①将代入得，，
解得，
∴，
∵抛物线的顶点的坐标为，
∴设，
抛物线过点A，根据一次函数可得代入解析式得，，
∴抛物线解析式为；
②设抛物线与x轴左侧的交点为，则点A，R关于抛物线的对称轴对称，
∵点A，R关于抛物线的对称轴对称，
∴抛物线的对称轴垂直平分．所以．
∴，
连接并延长交抛物线的对称轴于点Q，连接，
∴当点R，B，Q三点共线时，的值最大，即，
∴设直线的解析式为，
将，代入得，，
∴解得，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴所以点Q的坐标为；
③存在．
理由：将代人，得，
∴点，
由点，得，
设点P的坐标为，则点D的坐标为，
∴，
∵，
∴当时，四边形为平行四边形，
即．解得（舍去），，
∴点P的坐标为；
（2）当点P的横坐标为1时，则其坐标为，
由题意，得轴，
∴，
①如图1，当时，以B，P，D为顶点的三角形与相似，
∴，
∴轴，
∴点B，D关于抛物线的对称轴对称，
∴点，
∴设抛物线解析式为，
∴将，，代入得，，
∴解得，
∴拋物线的解析式为；
②如图2，当时，以B，P，D为顶点的三角形与相似．
由点A， B的坐标可得，
∴，
由点P的坐标可得，
同理可得，
∴，
由，得，
∴，
∴，
∴点D的坐标为，
∴同理利用待定系数法可求得抛物线的解析式为．
【点睛】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和菱形的判定，会利用待定系数法求函数解析式，理解坐标与图形性质，灵活运用相似比表示线段之间的关系，会运用分类讨论的思想解决数学问题．
考点三 定轴动区间最值问题（区间有一端不确定）
解题方法：对于二次函数中含有参数，对称轴不确定，要求在定区间m≤x≤n条件下函数的最值，那么就需要分别讨论对称轴x=，相对于区间m≤x≤n的位置:
1）轴在区间左侧：如图①，当＜m，对称轴在区间的左侧，那么在区间内，y随着x的增大而增大，所以，当x=m时，y取值最小值；当x=n时，y取得最大值.
2）轴在区间中间：如图②③，当m≤≤n，对称轴在区间中间，那么在区间内，y值先随着x的增大而减小，又随着x的增大而增大，所以，当x=时，y取得最小值，m、n两个数谁离对称轴远，就在谁处取得最大值，或者把x=m时的y值和 x=n时的y值计算出来并进行比较，谁大谁就是最大值.
3）轴在区间右侧：如图④，当＞m，对称轴在区间的右侧，那么在区间内，y随着x的增大而减小，所以，当x=m时，y取值最大值；当x=n时，y取得最小值.
【典例1】（2025·辽宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴的正半轴相交于点，二次函数的图象经过点，且与二次函数的图象的另一个交点为，点的横坐标为．
(1)求点的坐标及的值．
(2)直线与二次函数的图象分别相交于点，与直线相交于点，当时，
①求证：；
②当四边形的一组对边平行时，请直接写出的值．
(3)二次函数与二次函数组成新函数，当时，函数的最小值为，最大值为，求的取值范围．
【答案】(1)点的坐标为，的值分别为
(2)①见解析②或
(3)
【分析】本题考查二次函数的图像综合问题，二元一次方程组，一元一次不等式组，一次函数，平行线的性质，相似三角形，正确作出辅助线是解题的关键．
（1）先求出，，再分别代入，列出二元一次方程组，即可解答．
（2）①设直线的解析式为，将，分别代入，得直线的解析式为，设点E的坐标为，求出，设，，则，，即可解答．
②当时，，当时，，再分类讨论，即可解答．
（3）易得，当时，取得最小值为，解出；当时，函数的最大值为，解得；当时，，解得，或（舍去），，即可解答．
【详解】（1）解：当时，，
解得，
∴，
将代入，得，
∴，
将，分别代入，得
，
解得．
答：点的坐标为，的值分别为．
（2）①证明：如图，
设直线的解析式为，将，分别代入，得
，解得，
∴直线的解析式为，
设点E的坐标为
∵，
∴，
将代入得，
将代入，得，
∴，
，
∴
②如图
当时，，
∴，
∴，
即，解得．
当时，，
∴，
∴，
即，解得，
∴或．
（3）∵次函数与二次函数组成新函数，
∴，
∴当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小；
当时，y随x的增大而增大．且当时，取得最小值．
∵当时，函数的最小值为，最大值为，
∴当时，取得最小值为，即，
解得．
∵时，函数的最大值为，
∴当时，函数的最大值为，即，
解得；
当时，，
解得，或（舍去），
∴，
∵，
∴，
解得，．
考点三 几何最值问题
题型01 二次函数中的线段最值问题
平行于坐标轴的线段的最值问题，常常用线段两端点的坐标差表示线段长对应的函数表达式，然后运用二次函数的性质求最值.解决这类问题的关键如下：
①确定线段长对应的函数表达式，当线段平行于y轴时，用上端点的纵坐标减去下端点的纵坐标；
当线段平行于x轴时，用右端点的横坐标减去左端点的横坐标；
②确定函数的最值，注意函数自变量的取值范围.
注意：单线段最值求解时一定要保证线段是非负的.
题型02 二次函数线段和、差最值
1）线段和最小问题
图形
条件 如图，A，B两定点分布在直线m两侧，点D为直线上一动点，求AD+BD的最小值. 如图，A，B两定点分布在直线m同侧，点D为直线上一动点，求AD+BD的最小值.
结论 当A，D，B三点共线时，AD+BD取得最小值，最小值为AB的长. 当A，D，B'三点共线时，AD+BD取得最小值，最小值为AB'的长.
2）线段差最大问题
图形
条件 如图，A，B两点分布在直线m同侧，点D为直线m上一动点,求|AD-BD|的最大值. 如图，A，B两点分布在直线m两侧，点D为直线m上一动点,求|AD-BD|的最大值.
结论 当A，B，D三点共线时，|AD-BD|取得最大值，最大值为AB的长 当A、B'、D三点共线时，|AD-BD|取得最大值，最大值为AB'的长
题型03 二次函数周长最值问题
无论是线段和的最小值或是周长的最小值，还是两条线段差的最大值等，解决该类问题的最基本依据就是“两点之间，线段最短”,基本模型就是最短路径问题，即“将军饮马问题”.解题方法就是通过轴对称作出对称点加以解决，若需要三边和最小，则需过两定点(即已知定长线段的两顶点)分别作出关于x轴与y的对称点，从而将三边转化到同一条直线上.
题型04 二次函数面积最值问题
解题思路：
1.设动点P的坐标为，过点P做辅助线；
2.利用水平宽铅锤高、割补法等，写出面积表达式(一般为二次函数的形式)；
3.写出表示面积的二次函数的顶点式,求出最值,即可得到三角形面积的最大值.
题型05 将军饮马最值问题
图示 如图，点D为直线上一动点，求AD+BD的最小值. 如图，点M，N分别为m1，m2上的动点，点P为定点，求PM+PN+MN的最小值. 如图，点C，D分别为OM，ON上的动点，点A，B为∠MON内的两个定点，求AC+CD+BD+AB的最小值.
解题策略 做B点关于直线m的对称点B'，连接DB',根据轴对称的性质，可知DB'=DB，所以，AD+BD=AD+DB'≥AB'，当且仅当A、D、B'三点共线时，AD+BD取得最小值，最小值为AB'的距离. 做点P关于m1，m2的对称点P',P''，那么当P'，M，N，P''四点共线时，PM+PN+MN取得最小值，最小值为的距离. 做A点关于OM的对称点A'，做B点关于ON的对称点B'，当A'，C，D，B'四点共线时，AC+CD+BD取得最小值，最小值为A'B'的长.所以，AC+CD+BD+AB的最小值就是A'B'+AB.
【典例1】（2025·四川德阳·中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)如图2，连接，过点C作与抛物线相交于另一点D．
①求点D的坐标；
②如图3，点E，F为线段上两个动点（点E在点F的右侧），且，连接，．求的最小值．
【答案】(1)
(2)①，②5
【分析】（1）利用两点式求解抛物线解析式；
（2）①延长与x轴相交于点G，证明是等腰直角三角形，从而得到点坐标，求出直线的解析式，联立抛物线解析式求解即可；②过点O作，且，连接，，设交轴为点，然后证明四边形是平行四边形，根据，得出时，最小，进一步求出即可．
【详解】（1）解：在二次函数的图象上，设该二次函数为，
，
．
（2）解：①把代入，
得，
如图，延长与x轴相交于点G．
，
．
，
．
，
．
，
，
．
设直线的解析式为：，把代入，
得解得，
直线的解析式为：，
点D是直线与二次函数的交点，
联立解析式，
解得或，
．
②如图，过点O作，且，连接，，设交轴为点．
，且，
四边形是平行四边形，
．
，
．
为等腰直角三角形，
，
，，
，
．
，
当时，最小．
，
．
此时D、E、H三点共线且轴，
点F的坐标为与点C重合，满足在线段上．
的最小值为5．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，等腰直角三角形的性质，二次函数与一次函数交点问题，二次函数与特殊四边形问题，两点之间线段最短，勾股定理，解题的关键是添加适当的辅助线，通过数形结合的思想求解；
专项训练·深度理解
专项训练三十七：二次函数的最值问题
（时间：60分钟，总分100分）
一、选择题（本题共6题，每题5分，共30分）
1. （2023·浙江杭州·统考中考真题）设二次函数是实数，则（ ）
A．当时，函数的最小值为 B．当时，函数的最小值为
C．当时，函数的最小值为 D．当时，函数的最小值为
【答案】A
【分析】令，则，解得：，，从而求得抛物线对称轴为直线，再分别求出当或时函数y的最小值即可求解．
【详解】解：令，则，
解得：，，
∴抛物线对称轴为直线
当时， 抛物线对称轴为直线，
把代入，得，
∵
∴当，时，y有最小值，最小值为．
故A正确，B错误；
当时， 抛物线对称轴为直线，
把代入，得，
∵
∴当，时，y有最小值，最小值为，
故C、D错误，
故选：A．
【点睛】本题考查抛物线的最值，抛物线对称轴．利用抛物线的对称性求出抛物线对称轴是解题的关键．
2. （2024 广州）函数y1＝ax2+bx+c与y2＝的图象如图所示，当（ ）时，y1，y2均随着x的增大而减小．
A．x＜﹣1 B．﹣1＜x＜0 C．0＜x＜2 D．x＞1
【分析】根据二次函数和反比例函数图象解答即可．
【解答】解：根据二次函数图象当x＞1时，y1随着x的增大而减小，同样当x＞1时，反比例函数y2随着x的增大而减小．
故选：D．
【点评】本题考查了反比例函数与二次函数的图象与性质，数形结合是解答本题的关键．
3. （2023·四川泸州·统考中考真题）已知二次函数（其中是自变量），当时对应的函数值均为正数，则的取值范围为（ ）
A． B．或
C．或 D．或
【答案】D
【分析】首先根据题意求出对称轴，然后分两种情况：和，分别根据二次函数的性质求解即可．
【详解】∵二次函数，
∴对称轴，
当时，
∵当时对应的函数值均为正数，
∴此时抛物线与x轴没有交点，
∴，
∴解得；
当时，
∵当时对应的函数值均为正数，
∴当时，，
∴解得，
∴，
∴综上所述，
当时对应的函数值均为正数，则的取值范围为或．
故选：D．
【点睛】此题考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是分两种情况讨论．
4. （2025·甘肃平凉·中考真题）如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置，喷头M向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式是，则水流喷出的最大高度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的实际应用，正确理解题意、将抛物线转化为顶点式是解题关键；
将抛物线化为顶点式即可解决问题.
【详解】解：∵，
∴当时，；
故选：B.
5. （2024·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为，点C的坐标为，连接．
点P是抛物线在第四象限图象上的任意一点，当的面积最大时，则边上的高的值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】本题考查待定系数法求函数解析式，二次函数与图形的面积，掌握待定系数法是解题的关键．
（1）直接利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）先求出直线的解析式，然后过点P作轴交于点D，设点P的坐标为，则点D的坐标为，根据求出面积的最大值，然后求高即可．
【详解】（1）解：把和代入得：
，解得，
∴二次函数的解析式为；
（2）解：令，则，解得：，，
∴点B的坐标为，
∴，
设直线的解析式为，代入得：
，解得，
∴直线的解析式为，
过点P作轴交于点D，
设点P的坐标为，则点D的坐标为，
∴，
∴，
∴最大为，
∴．
故答案为A
6. 如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，若点为抛物线上一点且横坐标为，点为轴上一点，点在以点为圆心，为半径的圆上，则的最小值（ ）
A． B． C． D．
【分析】先求出点，点，作点关于轴对称的点，则点，连接交与轴于，交于，过点作轴于，连接，当点与点重合，点与点重合时，为最小，最小值为线段的长，然后可在中由勾股定理求出，进而可得，据此可得出答案．
【详解】解：对于，当时，，
解得：，，
点的坐标为，
对于，当时，，
点的坐标为，
作点关于轴对称的点，则点，
连接交与y轴于，交于，过点作轴于，连接，
当点与点重合，点与点重合时，为最小，最小值为线段的长．
理由如下：
当点与点不重合，点与点不重合时，
根据轴对称的性质可知：，
，
根据“两点之间线段最短”可知：，
即：，
，
，
即：，
当点与点重合，点与点重合时，为最小．
点，，
，，，
，
在中，，，
由勾股定理得：，
．
即为最小值为．
故答案为：A．
【点睛】此题主要考查了二次函数与轴的交点，利用轴对称求最短路线，圆的性质，勾股定理等，解答此题的关键是准确的求出二次函数与轴的交点坐标，难点是确定当为最小时，点，的位置．
二、填空题（本题共4题，每题5分，共20分）
7. （2024 成都）在平面直角坐标系xOy中，A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）是二次函数y＝﹣x2+4x﹣1图象上三点．若0＜x1＜1，x2＞4，则y1 ＞ y2（填“＞”或“＜”）；若对于m＜x1＜m+1，m+1＜x2＜m+2，m+2＜x3＜m+3，存在y1＜y3＜y2，则m的取值范围是 ﹣＜m＜1 ．
【分析】先求得二次函数的对称轴，再根据二次函数的性质求解即可．
【解答】解：∵y＝﹣x2+4x﹣1＝﹣（x﹣2）2+3，
∴二次函数y＝﹣x2+4x﹣1图象的对称轴为直线x＝2，开口向下，
∵0＜x1＜1，x2＞4，
∴2﹣x1＜x2﹣2，即（x1，y1）比（x2，y2）离对称轴直线的水平距离近，
∴y1＞y2；
∵m＜x1＜m+1，m+1＜x2＜m+2，m+2＜x3＜m+3，
∴x1＜x2＜x3，
∵对于m＜x1＜m+1，m+1＜x2＜m+2，m+2＜x3＜m+3，存在y1＜y3＜y2，
∴x1＜2，x3＞2，且A（x1，y1）离对称轴最远，B（x2，y2）离对称轴最近，
∴2﹣x1＞x3﹣2＞|x2﹣2|，
∴x1+x3＜4，且 x2+x3＞4，
∵2m+2＜x1+x3＜2m+4，2m+3＜x2+x3＜2m+5，
∴2m+2＜4，且2m+5＞4，
解得﹣＜m＜1，
故答案为：＞，﹣＜m＜1．
【点评】本题考查二次函数的性质、不等式的性质以及解不等式组，熟练掌握二次函数的性质是解答的关键．
8. （2024 新疆）如图，抛物线与y轴交于点A，与x轴交于点B，线段CD在抛物线的对称轴上移动（点C在点D下方），且CD＝3．当AD+BC的值最小时，点C的坐标为 （4，1） ．
【分析】作A点关于对称轴的对称点A′，A′向下平移3个单位，得到A″，连接A″B，交对称轴于点C，此时，AD+BC的值最小，利用解析式求得A、B点的坐标，根据抛物线的对称性求得A′的坐标，进一步求得A″的坐标，利用待定系数法求得直线A″B的解析式，即可求得点C的坐标．
【解答】解：作A点关于对称轴的对称点A′，A′向下平移3个单位，得到A″，连接A″B，交对称轴于点C，此时AD+BC的值最小，AD+BC＝A″B，
在中，令x＝0，则y＝6，
∴点A（0，6），
令y＝0，则，
解得x＝2或x＝6，
∴点B（2，0），
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝4，
∴A′（8，6），
∴A″（8，3），
设直线A″B的解析式为y＝kx+b，
代入A″、B的坐标得，
解得，
∴直线A″B的解析式为y＝x﹣1，
当x＝4时，y＝1，
∴C（4，1）．
故答案为：（4，1）．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与几何变换，数形结合是解题的关键．
9. （2024·江苏徐州·中考真题）如图，A、B为一次函数的图像与二次函数的图像的公共点，点A、B的横坐标分别为0、4．P为二次函数的图像上的动点，且位于直线的下方，连接、．则的面积的最大值是 ．
【分析】本题考查二次函数的综合，一次函数的性质，用割补法得出△PAB的面积是关键．
先求出A，B的坐标，再用待定系数法求出b，c；由（1）可得：，设，作交于E，则，则，得出面积，即可解答．
【详解】解：当时，；当时，，
则，，
则，解得：；
可得解析式为：，设，作交于E，
则，则，
∴，
当时，最大值为8．
故答案为8.
10. （2023·四川宜宾·统考中考真题）如图，抛物线经过点，顶点为，且抛物线与轴的交点B在和之间（不含端点），则下列结论：
①当时，；
②当的面积为时，；
③当为直角三角形时，在内存在唯一点P，使得的值最小，最小值的平方为．
其中正确的结论是___________．（填写所有正确结论的序号）
【答案】①②③
【分析】根据条件可求抛物线与x轴的另一交点坐标，结合图象即可判断①；设抛物线为，即可求出点M的坐标，根据割补法求面积，判断②；分三种情况讨论，然后以点O为旋转中心，将顺时针旋转至，连接，，，得到，判断③．
【详解】解：∵抛物线经过点，顶点为，
∴对称轴，
∴抛物线与x轴的另一交点坐标为，
由图象可得：当时，；
∴①正确，符合题意；
∵抛物线与x轴的另一交点坐标为，
∴设抛物线为，
当时，，当时，，
∴，，
如图所示，过点M作平行于y轴的直线l，过点A作，过点B作，
∴，
设直线的解析式为，
把，代入得：，
解得：，
∴直线的解析式为，
当是，，
∴，
∴，
∴，
解得：，故②正确；
∵点B是抛物线与y轴的交点，
∴当时，，
∴，
∵为直角三角形，
当时，
∴，
∵，，，
∴，整理得：，
解得：或（舍）
∴，
当时，
∴，
∴，整理得：
解得：或（舍）
∴，
当时，
∴，
∴，无解；
以点O为旋转中心，将顺时针旋转至，连接，，，如图所示，
则，为等边三角形，
∴，，
∴，
∵为等边三角形，
∴，，
∴，
当时，
∵，
当时，
，
∴的值最小，最小值的平方为，故③正确；
故答案为：①②③．
【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，综合性较强，难度较大，扎实的知识基础是关键．
三、解答题（本题共6题，共50分）
11. （6分）（2023·浙江绍兴·统考中考真题）已知二次函数．
(1)当时，
①求该函数图象的顶点坐标．
②当时，求的取值范围．
(2)当时，的最大值为2；当时，的最大值为3，求二次函数的表达式．
【答案】(1)①；②当时，；(2)
【分析】（1）①将代入解析式，化为顶点式，即可求解；
②已知顶点，根据二次函数的增减性，得出当时，有最大值7，当时取得最小值，即可求解；
（2）根据题意时，的最大值为2；时，的最大值为3，得出抛物线的对称轴在轴的右侧，即，由抛物线开口向下，时，的最大值为2，可知，根据顶点坐标的纵坐标为3，求出，即可得解．
【详解】（1）解：①当时，，
∴顶点坐标为．
②∵顶点坐标为．抛物线开口向下，
当时，随增大而增大，
当时，随增大而减小，
∴当时，有最大值7．
又
∴当时取得最小值，最小值；
∴当时，．
（2）∵时，的最大值为2；时，的最大值为3，
∴抛物线的对称轴在轴的右侧，
∴，
∵抛物线开口向下，时，的最大值为2，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴二次函数的表达式为．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，顶点式，二次函数的最值问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
12. （6分）（2023·浙江嘉兴·统考中考真题）在二次函数中，
(1)若它的图象过点，则t的值为多少？
(2)当时，y的最小值为，求出t的值：
(3)如果都在这个二次函数的图象上，且，求m的取值范围．
【答案】(1)；(2)；(3)或
【分析】（1）将坐标代入解析式，求解待定参数值；
（2）确定抛物线的对称轴，对待定参数分类讨论，分，当时，函数值最小，以及，当时，函数值最小，求得相应的t值即可 得；
（3）由关于对称轴对称得，且A在对称轴左侧，C在对称轴右侧；确定抛物线与y轴交点，此交点关于对称轴的对称点为，结合已知确定出；再分类讨论：A，B都在对称轴左边时，A，B分别在对称轴两侧时，分别列出不等式进行求解即可．
【详解】（1）将代入中，
得，
解得，；
（2）抛物线对称轴为．
若，当时，函数值最小，
，
解得．
，
若，当时，函数值最小，
，
解得（不合题意，舍去）
综上所述．
（3）关于对称轴对称
，且A在对称轴左侧，C在对称轴右侧
抛物线与y轴交点为，抛物线对称轴为直线，
此交点关于对称轴的对称点为
且
，解得．
当A，B都在对称轴左边时，
，
解得，
当A，B分别在对称轴两侧时
到对称轴的距离大于A到对称轴的距离
，
解得
综上所述或．
【点睛】本题考查二次函数图象的性质、极值问题；存在待定参数的情况下，对可能情况作出分类讨论是解题的关键．
13. （8分）（2025·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线经过点O和点．
(1)求c的值，并用含a的式子表示b；
(2)过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线于点N．
①若，，求的长；
②已知在点P从点O运动到点的过程中，的长随的长的增大而增大，求a的取值范围．
【答案】(1)0，
(2)①4；②且
【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图像与性质、二次函数与一次函数综合应用等知识，解题关键是运用数形结合和分类讨论的思想分析问题．
（1）分别将，代入抛物线解析式，即可获得答案；
（2）①结合题意，分别确定点的坐标，即可获得答案；②首先确定，再分和两种情况分析求解即可．
【详解】（1）解：将点代入，抛物线，
可得，
∴该抛物线解析式为，
将点代入，抛物线，
可得，解得；
（2）①若，则该抛物线及直线解析分别为，，
当时，可有点，
如下图，
∵轴，
∴，
将代入，可得，即，
将代入，可得，即，
∴；
②当点P从点O运动到点的过程中，
∵轴，，
∴，
将代入，可得，即，
将代入，可得，即，
∴，
令，即，解得或，
若，可有，即点在轴右侧，如下图，
当时，可有，其图像开口向下，对称轴为，
若的长随的长的增大而增大，即的长随的增大而增大，
则，解得，
当时，可有，其图像开口向上，对称轴为，不符合题意；
若，可有，即点在轴左侧，如下图，
当时，可有，其图像开口向上，对称轴为，
若的长随的长的增大而增大，即的长随的减小而增大，
则，解得，
∴．
综上所述，a的取值范围为且．
14. （8分）（2025·四川泸州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与轴交于点和点．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)点在直线上，点在轴上，是抛物线上位于第一象限的点，若四边形是正方形，求点的坐标；
(3)设点在抛物线上，点在抛物线上，当时，的最小值为3，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）直接利用待定系数法求解即可；
（2）如图所示，过点D作轴于M，过点F作轴于N，设直线于y轴交于T，先求出，进而求出；由正方形的性质可得，证明，得到；设，则；导角证明，得到，解得到，则，据此可求出，再由在直线上，得到，解方程即可得到答案；
（3）分别求出，，令 ，可得，则二次函数的对称轴为直线，且开口向上，再分，，，三种情况根据当时，的最小值为3进行讨论求解即可．
【详解】（1）解：∵，抛物线经过点，与轴交于点，
∴，
∴，
∴抛物线解析式为；
（2）解：如图所示，过点D作轴于M，过点F作轴于N，设直线于y轴交于T，
∴，
在中，当时，，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴；
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
设，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∵在直线上，
∴，
∴，
解得或（舍去），
∴，
∴；
（3）解：∵点在抛物线上，点在抛物线上，
∴，，
令
∴
，
∴二次函数的对称轴为直线，且开口向上，
当时，∵时，的最小值为3，
∴当时，，
∴，
解得或（舍去）；
当时，∵时，的最小值为3，
∴当时，，
∴，
解得或（舍去）
当时，∵时，的最小值为3，
∴当时，，
∴，
解得（舍去）；
综上所述，或．
【点睛】本题主要考查了二次函数综合，解直角三角形，二次函数的最值问题，待定系数法求函数解析式，全等三角形的性质与判定等等，解（2）的关键在于构造全等三角形，从而用点F的横坐标表示出点D的坐标；解（3）的关键在于构造新二次函数，通过讨论对称轴的位置求解．
15. （10分）（2023·山东东营·统考中考真题）如图，抛物线过点，，矩形的边在线段上（点B在点A的左侧），点C，D在抛物线上，设，当时，．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)当t为何值时，矩形的周长有最大值？最大值是多少？
(3)保持时的矩形不动，向右平移抛物线，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G，H，且直线平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离．
【答案】(1)；(2)当时，矩形的周长有最大值，最大值为；(3)4
【分析】（1）设抛物线的函数表达式为，求出点C的坐标，将点C的坐标代入即可求出该抛物线的函数表达式；
（2）由抛物线的对称性得，则，再得出，根据矩形的周长公式，列出矩形周长的表达式，并将其化为顶点式，即可求解；
（3）连接A，相交于点P，连接，取的中点Q，连接，根据矩形的性质和平移的性质推出四边形是平行四边形，则，．求出时，点A的坐标为，则，即可得出结论．
【详解】（1）解：设抛物线的函数表达式为．
∵当时，，
∴点C的坐标为．
将点C坐标代入表达式，得，
解得．
∴抛物线的函数表达式为．
（2）解：由抛物线的对称性得：，
∴．
当时，．
∴矩形的周长为
．
∵，
∴当时，矩形的周长有最大值，最大值为．
（3）解：连接，相交于点P，连接，取的中点Q，连接．
∵直线平分矩形的面积，
∴直线过点P．．
由平移的性质可知，四边形是平行四边形，
∴．
∵四边形是矩形，
∴P是的中点．
∴．
当时，点A的坐标为，
∴．
∴抛物线平移的距离是4．
【点睛】本题主要考查了求二次函数的解析式，二次函数的图象和性质，矩形的性质，平移的性质，解题的关键是掌握用待定系数法求解二次函数表达式的方法和步骤，二次函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，以及平移的性质．
16. （12分）（2025·四川达州·中考真题）如图，已知抛物线交x轴于A，B两点，交y轴于C点，B的坐标为，C的坐标为，顶点为M．
(1)求抛物线的解析式；
(2)连接，过第四象限内抛物线上一点作的平行线，交x轴于点E，交y轴于点F．
①连接，当时，求内切圆半径r与外接圆半径R的比值；
②连接，当点F在的内角平分线上，上的动点P满足的值最小时，求的面积．
【答案】(1)
(2)①；②的面积为2或3或
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）①先求出点A的坐标，进而可判断，是等腰直角三角形，然后根据的外接圆直径是，可得其外接圆的半径，再利用等积法求出r，即可解决问题；
②先求得抛物线的顶点M的坐标和对称轴与x轴的交点T的坐标，作轴于点P，可得，继而可得，于是可得当M、P、Q三点共线且轴时，的值最小，此时Q、T重合，然后分点F在不同内角平分线上共三种情况，外加当点重合于点O时，此时点F在的平分线上这种特殊情况，讨论求解即可．
【详解】（1）解：把B的坐标，C的坐标代入抛物线的解析式。
得，解得：，
∴抛物线的解析式是；
（2）解：①令，
解得：，
∴，
∵B，C，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵,
∴，
∴当时，是等腰直角三角形，且，
∴，
∴的外接圆直径是，
则其外接圆的半径，
∵，
∴，即，
解得：，
∴；
②∵，
∴抛物线的对称轴是直线，顶点M的坐标是，
∴直线与x轴的交点T的坐标是，
作轴于点P，则在直角三角形中，，
∴，
∴当M、P、Q三点共线且轴时，的值最小，此时Q、T重合，
当点F在的内角的平分线上即时，如图，
∵，
∴，
∴，
∴E、T重合，
∵B，C，
∴直线的解析式是，
当时，，
∴点P的坐标是，
∴，
∴；
当点F在的内角的平分线上时，如图，作于点K，
则，
设，则，
∵，且,
∴，
解得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
由于，
∴点F不可能在的内角的平分线上；
当点重合于点O时，此时平分即点F在的平分线上，符合题意，则，
∴；
综上：的面积为2或3或．
【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数的解析式、平行线的性质、角平分线的性质、解直角三角形、三角形的内切圆和外接圆等知识，综合性强、难度较大，属于中考压轴题，熟练掌握函数、图形等相关知识的综合应用、灵活应用数形结合思想是解题的关键.
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "()
" ()
第37讲 二次函数的最值问题
考点展示·课标透视
中考考点 新课标要求
二次函数的图像对称性 会求二次函数的最大值或最小值，并能确定相应自变量的值.
二次函数图像的增减性
二次函数与几何图形结合 知道二次函数和变换之间的关系，会利用二次函数的图像求函数的最值.
二次函数与函数结合
知识导航·学法指引
分类研究·深度理解
考点一 代数最值：定轴定区间最值问题
解题方法：对于二次函数在m≤x≤n上的最值问题(其中 a、b、c、m和n均为定值，表示y的最大值，表示y的最小值.
1）若自变量x为全体实数，如图①，函数在x=时，取到最小值，无最大值.
2）若m≤≤n，n时，如图②，当，当
3) 若m≤≤n，n时，如图③，当，当
4) 若m≤x≤n＜时，如图④，当，当
5) 若＜m≤x≤n时，如图⑤，当，当
【典例1】（2025·湖南·中考真题）如图，已知二次函数的图象过点，连接点，，，是此二次函数图象上的三个动点，且，过点作轴交线段于点．
(1)求此二次函数的表达式；
(2)如图1，点、在线段上，且直线、都平行于轴，请你从下列两个命题中选择一个进行解答：
①当时，求证：；
②当时，求证：；
(3)如图，若，，延长交轴于点，射线、分别与轴交于点，，连接，分别在射线、轴上取点、（点在点的右侧），且，．记，试探究：当为何值时，有最大值？并求出的最大值．
【典例2】（2025·浙江·中考真题）已知抛物线（a为常数）经过点．
(1)求a的值．
(2)过点与x轴平行的直线交抛物线于两点，且点B为线段的中点，求t的值．
(3)设，抛物线的一段夹在两条均与x轴平行的直线之间．若直线之间的距离为16，求的最大值．
考点二 利用对称轴与图像解决图系关系问题
解题方法：开口方向不确定时，先讨论开口方向;
1）开口向上时，离对称轴越近，函数值越小，离对称轴越远，函数值越大;
2）开口向下时，离对称轴越近，函数值越大，离对称轴越远，函数值越小。
【典例1】如图，已知直线与y轴交于点A，与x轴交于点D，抛物线与直线交于A、E两点，与x轴交于B、C两点，且线段．（注：抛物线的对称轴为）
(1)求该抛物线的解析式；
(2)动点P在x轴上移动，当是直角三角形时，求点P的坐标；
(3)在抛物线的对称轴上找一点M，使的值最大，求点M的坐标．
【典例2】图，已知直线分别交x轴、y轴于点B．抛物线过A，B两点． P是线段AB上一动点，过点P作PC⊥x轴于点C，交抛物线于点D．
(1)若抛物线的顶点M的坐标为，其对称轴交于点N．
①求抛物线的解析式．
②在抛物线的对称轴上找一点Q，使的值最大，试求出点Q的坐标．
③是否存在点P，使四边形MNPD为平行四边形？若存在，求出此时点P的坐标．
(2)当点P的横坐标为1时，是否存在这样的抛物线，使得以B，P，D为顶点的三角形与相似？若存在，直接写出满足条件的抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．
考点三 定轴动区间最值问题（区间有一端不确定）
解题方法：对于二次函数中含有参数，对称轴不确定，要求在定区间m≤x≤n条件下函数的最值，那么就需要分别讨论对称轴x=，相对于区间m≤x≤n的位置:
1）轴在区间左侧：如图①，当＜m，对称轴在区间的左侧，那么在区间内，y随着x的增大而增大，所以，当x=m时，y取值最小值；当x=n时，y取得最大值.
2）轴在区间中间：如图②③，当m≤≤n，对称轴在区间中间，那么在区间内，y值先随着x的增大而减小，又随着x的增大而增大，所以，当x=时，y取得最小值，m、n两个数谁离对称轴远，就在谁处取得最大值，或者把x=m时的y值和 x=n时的y值计算出来并进行比较，谁大谁就是最大值.
3）轴在区间右侧：如图④，当＞m，对称轴在区间的右侧，那么在区间内，y随着x的增大而减小，所以，当x=m时，y取值最大值；当x=n时，y取得最小值.
【典例1】（2025·辽宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴的正半轴相交于点，二次函数的图象经过点，且与二次函数的图象的另一个交点为，点的横坐标为．
(1)求点的坐标及的值．
(2)直线与二次函数的图象分别相交于点，与直线相交于点，当时，
①求证：；
②当四边形的一组对边平行时，请直接写出的值．
(3)二次函数与二次函数组成新函数，当时，函数的最小值为，最大值为，求的取值范围．
考点三 几何最值问题
题型01 二次函数中的线段最值问题
平行于坐标轴的线段的最值问题，常常用线段两端点的坐标差表示线段长对应的函数表达式，然后运用二次函数的性质求最值.解决这类问题的关键如下：
①确定线段长对应的函数表达式，当线段平行于y轴时，用上端点的纵坐标减去下端点的纵坐标；
当线段平行于x轴时，用右端点的横坐标减去左端点的横坐标；
②确定函数的最值，注意函数自变量的取值范围.
注意：单线段最值求解时一定要保证线段是非负的.
题型02 二次函数线段和、差最值
1）线段和最小问题
图形
条件 如图，A，B两定点分布在直线m两侧，点D为直线上一动点，求AD+BD的最小值. 如图，A，B两定点分布在直线m同侧，点D为直线上一动点，求AD+BD的最小值.
结论 当A，D，B三点共线时，AD+BD取得最小值，最小值为AB的长. 当A，D，B'三点共线时，AD+BD取得最小值，最小值为AB'的长.
2）线段差最大问题
图形
条件 如图，A，B两点分布在直线m同侧，点D为直线m上一动点,求|AD-BD|的最大值. 如图，A，B两点分布在直线m两侧，点D为直线m上一动点,求|AD-BD|的最大值.
结论 当A，B，D三点共线时，|AD-BD|取得最大值，最大值为AB的长 当A、B'、D三点共线时，|AD-BD|取得最大值，最大值为AB'的长
题型03 二次函数周长最值问题
无论是线段和的最小值或是周长的最小值，还是两条线段差的最大值等，解决该类问题的最基本依据就是“两点之间，线段最短”,基本模型就是最短路径问题，即“将军饮马问题”.解题方法就是通过轴对称作出对称点加以解决，若需要三边和最小，则需过两定点(即已知定长线段的两顶点)分别作出关于x轴与y的对称点，从而将三边转化到同一条直线上.
题型04 二次函数面积最值问题
解题思路：
1.设动点P的坐标为，过点P做辅助线；
2.利用水平宽铅锤高、割补法等，写出面积表达式(一般为二次函数的形式)；
3.写出表示面积的二次函数的顶点式,求出最值,即可得到三角形面积的最大值.
题型05 将军饮马最值问题
图示 如图，点D为直线上一动点，求AD+BD的最小值. 如图，点M，N分别为m1，m2上的动点，点P为定点，求PM+PN+MN的最小值. 如图，点C，D分别为OM，ON上的动点，点A，B为∠MON内的两个定点，求AC+CD+BD+AB的最小值.
解题策略 做B点关于直线m的对称点B'，连接DB',根据轴对称的性质，可知DB'=DB，所以，AD+BD=AD+DB'≥AB'，当且仅当A、D、B'三点共线时，AD+BD取得最小值，最小值为AB'的距离. 做点P关于m1，m2的对称点P',P''，那么当P'，M，N，P''四点共线时，PM+PN+MN取得最小值，最小值为的距离. 做A点关于OM的对称点A'，做B点关于ON的对称点B'，当A'，C，D，B'四点共线时，AC+CD+BD取得最小值，最小值为A'B'的长.所以，AC+CD+BD+AB的最小值就是A'B'+AB.
【典例1】（2025·四川德阳·中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)如图2，连接，过点C作与抛物线相交于另一点D．
①求点D的坐标；
②如图3，点E，F为线段上两个动点（点E在点F的右侧），且，连接，．求的最小值．
专项训练·深度理解
专项训练三十七：二次函数的最值问题
（时间：60分钟，总分100分）
一、选择题（本题共6题，每题5分，共30分）
1. （2023·浙江杭州·统考中考真题）设二次函数是实数，则（ ）
A．当时，函数的最小值为 B．当时，函数的最小值为
C．当时，函数的最小值为 D．当时，函数的最小值为
2. （2024 广州）函数y1＝ax2+bx+c与y2＝的图象如图所示，当（ ）时，y1，y2均随着x的增大而减小．
A．x＜﹣1 B．﹣1＜x＜0 C．0＜x＜2 D．x＞1
3. （2023·四川泸州·统考中考真题）已知二次函数（其中是自变量），当时对应的函数值均为正数，则的取值范围为（ ）
A． B．或
C．或 D．或
4. （2025·甘肃平凉·中考真题）如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置，喷头M向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式是，则水流喷出的最大高度是（ ）
A． B． C． D．
5. （2024·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为，点C的坐标为，连接．
点P是抛物线在第四象限图象上的任意一点，当的面积最大时，则边上的高的值为（ ）
A． B． C． D．
6. 如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，若点为抛物线上一点且横坐标为，点为轴上一点，点在以点为圆心，为半径的圆上，则的最小值（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本题共4题，每题5分，共20分）
7. （2024 成都）在平面直角坐标系xOy中，A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）是二次函数y＝﹣x2+4x﹣1图象上三点．若0＜x1＜1，x2＞4，则y1 ＞ y2（填“＞”或“＜”）；若对于m＜x1＜m+1，m+1＜x2＜m+2，m+2＜x3＜m+3，存在y1＜y3＜y2，则m的取值范围是 ．
8. （2024 新疆）如图，抛物线与y轴交于点A，与x轴交于点B，线段CD在抛物线的对称轴上移动（点C在点D下方），且CD＝3．当AD+BC的值最小时，点C的坐标为 ．
9. （2024·江苏徐州·中考真题）如图，A、B为一次函数的图像与二次函数的图像的公共点，点A、B的横坐标分别为0、4．P为二次函数的图像上的动点，且位于直线的下方，连接、．则的面积的最大值是 ．
10. （2023·四川宜宾·统考中考真题）如图，抛物线经过点，顶点为，且抛物线与轴的交点B在和之间（不含端点），则下列结论：
①当时，；②当的面积为时，；
③当为直角三角形时，在内存在唯一点P，使得的值最小，最小值的平方为．
其中正确的结论是___________．（填写所有正确结论的序号）
三、解答题（本题共6题，共50分）
11. （6分）（2023·浙江绍兴·统考中考真题）已知二次函数．
(1)当时，
①求该函数图象的顶点坐标．
②当时，求的取值范围．
(2)当时，的最大值为2；当时，的最大值为3，求二次函数的表达式．
12. （6分）（2023·浙江嘉兴·统考中考真题）在二次函数中，
(1)若它的图象过点，则t的值为多少？
(2)当时，y的最小值为，求出t的值：
(3)如果都在这个二次函数的图象上，且，求m的取值范围．
13. （8分）（2025·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线经过点O和点．
(1)求c的值，并用含a的式子表示b；
(2)过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线于点N．
①若，，求的长；
②已知在点P从点O运动到点的过程中，的长随的长的增大而增大，求a的取值范围．
14. （8分）（2025·四川泸州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与轴交于点和点．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)点在直线上，点在轴上，是抛物线上位于第一象限的点，若四边形是正方形，求点的坐标；
(3)设点在抛物线上，点在抛物线上，当时，的最小值为3，求的值．
15. （10分）（2023·山东东营·统考中考真题）如图，抛物线过点，，矩形的边在线段上（点B在点A的左侧），点C，D在抛物线上，设，当时，．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)当t为何值时，矩形的周长有最大值？最大值是多少？
(3)保持时的矩形不动，向右平移抛物线，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G，H，且直线平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离．
16. （12分）（2025·四川达州·中考真题）如图，已知抛物线交x轴于A，B两点，交y轴于C点，B的坐标为，C的坐标为，顶点为M．
(1)求抛物线的解析式；
(2)连接，过第四象限内抛物线上一点作的平行线，交x轴于点E，交y轴于点F．
①连接，当时，求内切圆半径r与外接圆半径R的比值；
②连接，当点F在的内角平分线上，上的动点P满足的值最小时，求的面积．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "()
" ()
