广东省2025年秋季八年级开学摸底考试数学模拟卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．考试范围：人教版七年级下册全册+八上第一章
第一部分（选择题 共30分）
选择题（每小题3分，共30分）
1．在平面直角坐标系中，点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．在中，，，则（ ）
A． B． C． D．
3．以下问题，不适合用全面调查的是（ ）
A．了解全市中小学学生每天的零花钱
B．旅客登机前的安检
C．调查“卫星发射器”零部件的质量情况
D．了解全班同学每周体育锻炼的时间
4．甲骨文是我国的一种古代文字，下列甲骨文中，能用其中一部分平移得到的是（ ）
A． B． C． D．
5．下列算式中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．下列变形正确的是（ ）
A．由得 B．由得
C．由得 D．由得
7．下列说法正确的是（ ）
A．和表示同一个点 B．点在轴的正半轴上
C．点到轴的距离为2 D．点到轴的距离为3
8．已知是关于，的二元一次方程的一个解，则的值为( )
A．6 B．4 C．3 D．1
9．如图所示，数轴上表示3、的对应点分别为C、B，点C是的中点，则点A表示的数是（ ）
A．－ B．6－ C．－3 D．＋3
10．已知关于x、y的方程组，给出下列结论：①当时，该方程组的解是；②无论a取何值，x，y的值都不可能互为相反数；③当时，方程组的解也是方程的解；④用含x的式子表示y，．其中正确的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
第二部分（非选择题 共90分）
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．计算： ．
12．如图，用坐标表示邮局的位置，用坐标表示书店的位置，则表示学校位置的点的坐标是 ．
13．如图，将一块直角三角板放置在锐角上，使得该三角板的两条直角边，恰好分别经过点，．若时，点在内，则的值是 ．
14．如果关于的不等式组有且只有5个整数解，则符合条件的所有整数的和为 ．
15．如图，线段与射线交于点，为射线上一动点（不与点重合），连接，过点作直线，过点作直线，交于点（点与不重合）．若，则的度数为 ．
三、解答题（一）本大题共3小题，每小题7分，共21分。
16．（1）计算：．
（2）求的值：
17．解方程组或不等式组：
(1)； (2)．
18．某区在实施居民用水管理前，随机调查了部分家庭（单位：户）去年的月均用水量（单位：t），并将调查数据进行整理，绘制出如下不完整的统计图表：
月均用水量 频数 百分比
6
12
a
10
4
2
合计 b
请解答以下问题：
(1) ， ，补全统计图；
(2)若该小区有2000户家庭，根据此次随机抽查的数据估计，该小区月均用水量不低于20t的家庭有多少户？
(3)为了鼓励节约用水，要确定一个月均用水量的标准，超出该标准的部分按1.5倍价格收费，若要使的家庭水费支出不受影响，那么，你觉得家庭月均用水量应定为多少？
四、解答题（二）本大题共3小题，每小题9分，共27分。
19．在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴、y轴的距离的较大值称为点P的“长距”，点Q到x轴、y轴的距离相等时，称点Q为“完美点”．
(1)点的“长距”是__________；点的“长距”是__________；
(2)若点是“完美点”，求a的值；
(3)若点的长距为4，且点D在第二象限内，点E的坐标为，请判断点E是否为“完美点”，并说明理由．
20．某中学组织七年级学生参加校外研学活动，需租用、两种不同型号的客车，若租用型客车5辆和型客车2辆，则需要租金2500元；若租用型客车1辆和型客车5辆，则需要租金2800元．两种客车的座位数如下表：
客车型号
人数/辆 30 45
(1)求租用、两种型号客车，每辆车租金分别是多少元？
(2)现有七年级师生450人，计划同时租用两种型号客车，一次送完．若学校计划租用两种型号客车共14辆，其中租用型客车的数量不超过型客车数量的，问有几种租车方案？若要使得总费用最少需租用多少辆型客车？最少费用是多少？
21．对于任意有理数x、y定义一种新运算f，规定（其中a、b均为非零常数），等式右边是通常的四则运算．例如：．
(1)已知，求a、b的值；
(2)已知，且，求出符合条件的a、b的整数值．
(3)在（2）的条件下，若关于m的不等式组，恰有两个整数解，求n的取值范围．
五、解答题（三）本大题共2小题，第22小题13分，第23小题14分，共27分。
22．直线，与 的平分线交于点，的延长线交于点，过点作 ，交的延长线于点 ．
(1)如图1，与平行吗？ 为什么？
(2)如图2，点 在线段 上，点在线段 上，连接、， 平分 若 求 的度数；
(3)在（2）的条件下，以点为顶点，为边，在 下方作 ，交 的延长线于点 ，求 与 之间的数量关系．
23．如图，在平面直角坐标系中，，，将线段沿x轴向右平移12个单位长度得到线段，点P 为射线上一动点．
(1)点C 的坐标为_________，点D 的坐标为________；
(2)如图①，点M是线段上一点（不与点C，D重合），当点P 在线段上运动时（点P不与点D重合），连接之间有怎样的数量关系？ 请说明理由；
(3)如图②，点N是y轴上任意一点，连接，若，三角形的面积等于三角形的面积，求点 P 的坐标．
参考答案
1-10.
【答案】B
【答案】B
【答案】A
【答案】D
【答案】D
【答案】D
【答案】C
【答案】C
【答案】B
【答案】A
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】/度
14.【答案】
15.【答案】或
16.解：（1）
；
（2）
，
，
，
．
17.（1）解：
得：，
解得：，代入①中，
解得：，
方程组的解为：；
（2）解：，
解不等式①得
解不等式②得
所以不等式组的解集为．
18．（1）解：（1）∵被调查的总数量，
∴的频数，
补全图形如下：
；
（2）解：（户），
答：估计该小区月均用水量不低于的家庭有240户；
（3）解：∵前三个分组的频率之和为，
∴家庭月均用水量应定为．
答：我觉得家庭月均用水量应定为．
19.（1）解：根据题意，得点到轴的距离为4，到轴的距离为2，
∴点A的“长距”为4．
点到轴的距离为7，到轴的距离为9，
∴点B的“长距”为9．
故答案为：4；9；
（2）解：∵点是“完美点”，
∴，
∴或，
解得或；
（3）解：∵点的长距为4，且点D在第二象限内，
∴，
解得，
∴，
∴点E的坐标为，
∴点E到x轴、y轴的距离都是5，
∴点 E 是“完美点”．
20．（1）解：设租用一辆型号客车元，租用一辆型号客车元，依题意得：
，
解得：，
答：租用一辆型号客车300元，租用一辆型号客车500元．
（2）解：设租用型号客车辆时，则型号客车辆，由题意得：
，
解得，，
为整数，
的取值为9，10，11，12，
有四种租车方案，
租用型号客车9辆，型号客车5辆，此时租车费用为：（元），
租用型号客车10辆，型号客车4辆，此时租车费用为：（元），
租用型号客车11辆，型号客车3辆，此时租车费用为：（元），
租用型号客车12辆，型号客车2辆，此时租车费用为：（元），
答：共有四种租车方案，当租用型号客车12辆，总费用最少，最小费用为4600元．
21．（1）解：由题意得：，
解得：；
（2）解：，，
，
解得：，
为整数，
，
，
，
符合条件的a、b的整数值为，；
（3）解：由（2）可知，，
原不等式组整理为：，
解得：，
原不等式组恰有两个整数解，
，
解得：，
的取值范围是．
22.（1）解：，理由如下，
如图，过点E作，
．
∵，
∴，，
，
平分平分，
，
，
，即，
，
，
，
∴；
（2）解：，理由如下：
设，如图，
∵平分，，
，
，
∵，
∴，
∵，
，
∴．
（3）解：，理由如下：
以点G为顶点，为边，在下方作，交的延长线于点P，画图如下：
是的外角，
，
，
在中，，
，
，
，
，
23．（1）解：由题意可得：，，将线段沿x轴向右平移12个单位长度得到线段，
∴，，
故答案为：，；
（2）解：当点P在点D右边时，如图，过点M作，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
当点P在点D左边时，
同理可得，
∴，
即，
∴或；
（3）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
①点P在点A右边，N在正半轴时，
可得，
设，则，
∴，
∴，
∴；
N在负半轴时，点C在的下方时，
可得，
设，
∴，
∴，
∴；
②点P在点D右边，点C在的上方时如图，连接，
可得，
设，
∴，
∴，
∴，
综上，P点的坐标为或或．
