1.5 《等腰三角形》同步练习
【题型1等腰三角形的定义】
1．一个等腰三角形的两边长分别是3 cm和7 cm，则它的周长是（ ）cm．
A．10 B．13 C．17 D．13或17
2．已知有理数a，b满足，则以a，b的值为两边长的等腰三角形周长是（ ）
A．17 B．22 C．17或22 D．以上答案均不对
3．等腰三角形一边长是，另一边长是，则第三边的长是 ．
4．等腰三角形的周长为，其中一边长为，则其腰长为 ．
【题型2三线合一】
1．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的中线，∠B＝25°，则∠BAD的度数为（ ）
A．55° B．65° C．75° D．85°
2．如图，在中，，，若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，连接AD．若∠B＝35°，则∠CAD的度数为（ ）
A．110° B．70° C．55° D．35°
4．如图，中，，平分，则下列结论中，错误的是（ ）
A． B．
C． D．
5．河南所有行政村实现了网络覆盖，如图，为了让安装设备的电线杆垂直于地面，工程人员从电线杆上一点往地面拉两条长度相等的固定绳与，当，且点，，在同一直线上时，电线杆.这种操作方法的依据是（ ）
A．等角对等边 B．两点之间线段最短
C．等腰三角形三线合一的性质 D．垂线段最短
【题型3格点图中画等腰三角形】
1．在正方形网格中，网格线的交点称为格点．如图所示，已知A，B是两个格点，如果点C也是图中的格点，且使为等腰直角三角形，那么点C的个数是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
2．如图，在的方格纸中，均为格点，若为等腰三角形，则满足该条件的格点共有（ ）
A．4个 B．6个 C．8个 D．10个
3．在如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知点A，B是格点，如果点P也是图中的格点，且使得是以为腰的等腰直角三角形；则点P的个数是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
4．如图，在的网格中，以为一边，点在格点处，使为等腰三角形的点有（ ）个
A．2个 B．5个 C．3个 D．1个
5．如图，在正方形网格中，网格线的交点称为格点，已知点、在格点上，若点也在格点上，并使得以点、、为顶点的三角形是等腰直角三角形，符合条件的点有 个．
【题型4等腰三角形的判定】
1．如图，在中，点是的中点，，，、为垂足，，则，请说明理由．
2．中，，的高与角平分线交于点．
(1)求证；
(2)求证：为等腰三角形．
3．如图，，，、相交于点O．
(1)求证：；
(2)求证：．
4．如图，在中，．
(1)求证：；
(2)若，判断的形状，并说明理由．
5．如图，，与交于点O，．求证：
(1)；
(2)是等腰三角形．
6．如图，是的角平分线，，求证：是等腰三角形．
7．如图，点为平分线上一点，交于点．求证：是等腰三角形．
8．如图，点，在上，，，
(1)求证：；
(2)若与的交点为点，求证：是等腰三角形
【题型5等腰三角形的性质和判定综合】
1．已知：如图中，，，平分，平分，过作直线平行于，交，于，．
(1)求证：是等腰三角形；
(2)求的周长．
2．如图，在中，平分，过线段上一点E作，交于点F，交的延长线于点G．
(1)求证：是等腰三角形．
(2)若，，求的度数．
3．如图1，在中，和的平分线相交于点，过点作，分别交和于点和．
(1)求证：是等腰三角形．
(2)若，，求的周长．
4．如图，在中，，是的平分线，，交于点E，且．
(1)求证：是等腰三角形；
(2)求的度数．
5．如图，在中，平分交于点E，．
(1)求证：是等腰三角形；
(2)若，，求的大小．
6．如图，在中，，，BD平分交AC于点D，点E是AB的中点，连接DE．
(1)求证：是等腰三角形；
(2)求的度数．
【题型6 等边三角形的性质】
1．已知：如图，D、E分别是等边三角形两边、上的点，连接、，与交于点O，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，是等边三角形，，是的平分线，延长到E，使，则的长为（ ）
A．7 B．8 C． D．9
3．如图，直线，等边的两个顶点分别落在直线，上，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在等边中，平分交于点D，点F在上，连接，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，将等边的边向两边延长，使，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6.如图，是等边三角形，是的平分线，延长到E，使，则的长为（ ）
A．7 B．8 C． D．9
【题型7等边三角形的判定】
1．如图，已知点A、F、E、B在同一条直线上，与交于点M，，，，若，求证：是等边三角形．
2．如图，在中，，是上的一点，过点作的垂线交于点，连接，交于点．
(1)求证：平分；
(2)若，试判断的形状，并说明理由．
3．如图，在四边形中，平分．若，求证：是等边三角形．
4．如图，．
(1)在中， ______， ______；
(2)求证：是等边三角形．
5．如图，点D在线段上，，．
(1)求证：；
(2)判断是什么特殊三角形，并说明理由．
6．如图，点在的外部，点在边上，交于点，若，，．
(1)求证：；
(2)若，判断的形状，并说明理由．
【题型8等边三角形的判定和性质】
1．如图，在等腰中，于点D，点P是延长线上一点，在上截取并连接，点O是线段上一点，连接交于点F，连接，若，．
(1)求证：是等边三角形；
(2)请你判断是否成立，并说明理由．
2．如图，是等边三角形，，，垂足分别为D、E，、相交于点O，连接．
(1)求证：是等边三角形；
(2)若，求的长．
3．如图，已知是等边三角形，，．
(1)判断的形状，并说明理由．
(2)求证：．
4．如图，已知和都是等边三角形，且B、C、E三点共线，交于点F，连接．
(1)求证：；
(2)试问之间有何数量关系，请说明理由．
5．如图，在中，，为的中点，于点，于点，且，连接，点在的延长线上，且．
(1)求证：是等边三角形；
(2)若，求线段的长．
【题型9含30度角的直角三角形】
1．如图，小丽在荷塘边观看荷花，她把一株竖直的荷花拉到岸边，花柄正好与水面成夹角，测得长，则长为（ ）
A． B． C． D．
2．如图于，则的长度为（ ）．
A．5 B．4 C．2 D．1
3．如图，已知在中，，，的垂直平分线交于点D，交于点E．若，则的值是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在等边三角形中，，点D是的中点，过点D作于点F，过点F作于点E，则的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
5．如图，在中，，是高，若，，则的长是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
6．图是高铁站入口的智能闸机及其示意图，如图，当双翼展开时，双侧挡板边缘的端点与之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角，可以通过闸机的物体的最大宽度为（ ）
A． B． C． D．
【题型10斜边的中线等于斜边的的一半】
1．如图，在中，，将沿方向向右平移至处，使恰好过边的中点D，连接，若，则（ ）
A．3 B．2 C．1 D．
2．如图，，，，为中点，则 ．
3．如图，在中，，D为线段的中点，则 °．
4．某房梁如图所示，立柱，E，F分别是斜梁，的中点．若，则的长为 m．
5．如图，已知在中，，是边上的中线，，则的长度是 ．
参考答案
【题型1等腰三角形的定义】
1．C
【分析】本题考查了等腰三角形的定义，以及三条线段构成三角形的条件，掌握三角形三边关系是解题的关键．
根据等腰三角形的定义及三角形三边关系，分两种情况讨论：3 cm为腰或7 cm为腰，排除不符合条件的情况后计算周长．
【详解】解：若3 cm为腰，7 cm为底边，此时，不能构成三角形，故3不能为腰；
若3 cm为底边，7 cm为腰，此时三角形的三边分别为3 cm，7 cm，7 cm，周长为(cm)，
综上可知，三角形的周长为17 cm．
故选：C．
2．B
【分析】此题考查了绝对值和平方数的非负性，等腰三角形的概念和三角形的三边关系．首先根据绝对值和平方数的非负性求出，，然后根据等腰三角形的概念和三角形的三边关系分情况讨论，进而求解即可．
【详解】解：∵，
∴，，
∴解得，．
当4是等腰三角形的腰时，
三角形三边分别为，4，4，9，
∵，围不成三角形，不符合题意；
当9是等腰三角形的腰时，
三角形三边分别为，4，9，9，
∵，能围成三角形，符合题意；
∴三角形的周长为．
故选：B．
3．或
【分析】此题考查了等腰三角形的定义，以及三角形三边关系，解题的关键是掌握等腰三角形的定义以及三角形三边关系．
分两种情况，当腰长分别为或时，结合三角形三边关系，求解即可．
【详解】解：当腰长为时，则三角形三边分别为、、，
∵
∴满足三角形三边关系，能构成三角形，
当腰长为，则三角形三边分别为、、，
∵，
∴满足三角形三边关系，符合题意．
故答案为：或．
4．
【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，三角形的三边关系，关键在于分析讨论为腰长还是底边长．分当腰长为时，当底边长为时两种情况，结合三角形的三边关系求解即可．
【详解】解：由题意，
当腰长为时，底边长为，但，不符合三角形三边关系，舍去；
当底边长为时，腰长为，符合三角形三边关系，
故腰长为，
故答案为：．
【题型2三线合一】
1．B
【分析】根据等腰三角形“三线合一”的性质可得AD⊥BC，可得∠ADB=90°，根据直角三角形两锐角互余的性质即可得答案．
【详解】∵AB＝AC，AD为BC边上的中线，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∵∠B＝25°，
∴∠BAD=90°-∠B=65°，
故选：B．
2．A
【分析】先根据等腰三角形的性质得到BD＝CD，再根据勾股定理即可得到结论．
【详解】解：∵AB＝AC，AD⊥BC，BC＝8，
∴BD＝CD＝BC＝4，
∵AD＝3，BD＝4，AD⊥BC，
∴AB＝＝5，
故选：A．
3．C
【分析】根据等腰三角形三线合一的性质可得AD⊥BC，然后利用直角三角形两锐角互余的性质解答．
【详解】解：∵AB＝AC，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，∠B=∠C
∵∠B＝35°
∴∠C＝35°
∴∠CAD＝90° 35°＝55°．
故选：C．
4．B
【分析】此题考查等腰三角形的三线合一的性质，等边对等角，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
【详解】解：∵中，，平分，
∴，
故A，C，D正确，
没有条件证明，故B错误，
故选：B．
5．C
【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形三线合一是解题的关键．根据等腰三角形的性质进行求解即可．
【详解】解：，
，
依据是等腰三角形三线合一的性质．
故选C．
【题型3格点图中画等腰三角形】
1．A
【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的判定，以为直角顶点有2个，以A为直角顶点有2个，以C为直角顶点有2个，据此结合网格的特点画出示意图即可得到答案．
【详解】解：如图所示，即为所求，
故选：A．
2．C
【分析】本题考查了格点图中画等腰三角形，结合等腰三角形的判定与网格特征，进行分类讨论且作图，即可作答．
【详解】解：依题意，当为等腰三角形的底边时，则如图所示：
共有个点；
当为等腰三角形的腰时，则如图所示：
或
共有个点；
综上：为等腰三角形，则满足该条件的格点共有8个，
故选：C．
3．A
【分析】本题考查了在格点图中画等腰三角形，根据是以为腰的等腰直角三角形，进行作图，即可作答．
【详解】解：∵是以为腰的等腰直角三角形，
∴当时，结合正方形小网格的特征，或
如下图所示：
∴当时，结合正方形小网格的特征，或
如下图所示：
综上：满足是以为腰的等腰直角三角形的点P有个，
故选：A
4．B
【分析】本题考查了等腰三角形的定义，分两种情况：当为底边时，当为腰时，分别画出图形，即可得出答案．
【详解】解：如图，当为底边时，以为底边的等腰三角形有3个，
；
如图，当为腰时，以为腰的等腰三角形有2个，
；
综上所述，使为等腰三角形的点有个，
故选：B．
5．6
【分析】本题主要考查等腰直角三角形的性质．结合图形，分两种情况讨论：①为等腰直角三角形的底边；②为等腰直角三角形的一条腰； 接下来分别找出上述两种情况下满足条件的点的个数，然后相加即可得到答案．
【详解】解：如图，分情况讨论：
①为等腰直角三角形的底边时，符合条件的P点有2个；
②为等腰直角三角形的一条腰时，符合条件的P点有4个．
所以使得为等腰直角三角形的点P有6个．
【题型4等腰三角形的判定】
1．解：理由如下：
∵点D是的中点，
∴，
∵，，
∴，
∵在和中，
，
∴，
∴，
∴．
2．（1）证明：∵是的高，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
（2）证明：由（1）得：，
∵是的角平分线，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴为等腰三角形．
3．（1）证明：在和中，
，
．
（2）证明：∵，
，
，
，
．
4．（1）证明：∵，
∴在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：是等腰三角形，理由如下：
∵，
∴在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形．
5．（1）证明：∵，
∴和是直角三角形，
∵在和中，
，
∴，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
∴
∴是等腰三角形．
6．证明：∵是的角平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形．
7．证明：平分，
．
，
，
，
，
是等腰三角形．
8．（1）证明：∵，
∴，即，
∵，，
∴；
（2）证明：由（1）得：，
∴，
∴，
∴是等腰三角形
【题型5等腰三角形的性质和判定综合】
1．（1）证明：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形；
（2）∵，
∴
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴
．
2．（1）证明：∵平分，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴是等腰三角形；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，平分，
∴，
∴，
∴．
3．（1）证明：∵是的平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形．
（2）解：由（1）得：，同理可得，
∴的周长，
∵，，
∴的周长．
4．（1）证明：是的平分线，
，
又∵，
，
，
，
是等腰三角形；
（2）解：，
，
，
，
．
5．（1）证明：∵，
∴，
∵平分交于点E，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形．
（2）解：∵平分交于点E，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴．
6．（1）证明：∵，
∴
∵BD平分
∴，
∴
即是等腰三角形；
（2）解：∵点E是AB的中点
∴
∵是等腰三角形
∴
∴
【题型6 等边三角形的性质】
1．B
【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质，找出全等三角形是解题关键．根据等边三角形的性质证明，得到，再结合三角形外角的性质求解即可．
【详解】解：是等边三角形，
，，
在和中，
，
，
，
，
故选：B．
2．D
【分析】本题主要查了等边三角形的性质．根据等边三角形的性质，可得，，即可求解．
【详解】解：由题意可知：，
∵是的平分线，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：D．
3．D
【分析】本题考查了等边三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握这些知识点是解题的关键．过点作，由平行公理的推论得出，根据等边三角形的性质得出，据平行线的性质得出，再由平行线的性质求出的度数．
【详解】解：如图，过点作，
直线，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：D．
4．C
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，与角平分线有关的三角形内角和定理，等边对等角等知识，由等边三角形的性质与角平分线的定义可得出，再由等边对等角和三角形内角和定理即可得出答案．
【详解】解：∵是等边三角形，且平分，
∴，
∵，
∴，
故选：C
5．A
【分析】本题考查等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，三角形的内角和定理．
由是等边三角形得到，，从而得到，，因此，，再根据三角形外角的性质求出，，最后根据三角形的内角和定理即可解答．
【详解】解：∵是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，，
∴，，
，，
∴，，
．
故选：A．
6.D
【分析】本题主要查了等边三角形的性质，根据等边三角形的性质，可得，，即可求解．
【详解】解：由题意可知：，
∵是的平分线，，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：D．
【题型7等边三角形的判定】
1．证明：在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形．
2．（1）证明：，
，
，
，
，
，
，
平分，
即平分．
（2）解：是等边三角形，理由：
，
，
，
，
，
，
，
3．证明：如图，过点作于点交的延长线于点，
则，
平分
，
，
，
在和中，
，
平分，
，
，
，
，
是等边三角形．
4．（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
故答案为：，2；
（2）由（1）知：，
∴，
∴是等边三角形．
5．（1）∵，
，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）答：是等边三角形．
理由：∵
∴，
又∵，
∴是等边三角形．
6．（1）∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）是等边三角形．理由：
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形．
【题型8等边三角形的判定和性质】
1．（1）证明：，
，
，
是等边三角形．
（2）解：成立，理由如下：
连接，如图所示，
由（1）易得，，
在等腰中，垂直平分，，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
为等边三角形，
，，
，
在和中，
，
，
，
．
2．（1）证明：是等边三角形．理由如下：
∵是等边三角形，，，
∴，，，
∴是等边三角形；
（2）解：∵是等边三角形，，，
∴、分别是的中线，
∴，
∴，
∴，
∴，而，
∴．
3．（1）解：是等边三角形，理由如下：
∵是等边三角形，
∴．
∵，
∴．
∴
∴是等边三角形
（2）证明：∵
∴．
在和中
∴．
∴．
又由（1）是等边三角形
∴，
∴．
4．（1）证明： 和都是等边三角形，
，．
，
即：．
在和中，
，
，
，
．
（2）解：之间的数量关系为：，
理由如下：
在上截取，连接，
（已证），
，
是等边三角形，
，
是等边三角形，
，
，
即：．
在和中，
．
，
．
5．（1）证明：∵于点，于点，
∴，
∵为的中点，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
即，
∴，
∵
∴，
∴是等边三角形；
（2）解：由（）知，是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
【题型9含30度角的直角三角形】
1．B
【分析】本题考查了直角三角形的性质，掌握直角三角形角所对的直角边为斜边的一半是解题的关键．由题意可得的度数，根据直角三角形的性质可得．
【详解】解：在中，，，
∴，
∵，
则，
故选B．
2．D
【分析】本题主要考查角平分线的性质、平行线的性质、直角三角形的性质等知识点，正确作出辅助线是解题的关键．
作于E，根据角平分线的性质可得，根据平行线的性质可得，由直角三角形中的角所对的直角边等于斜边的一半即可求得，进而完成解答．
【详解】解：如图：作于E，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴在中，，
∴．
故选D．
3．A
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，含角的直角三角形的性质等知识，根据线段垂直平分线的性质，得出，根据等边对等角得出，根据三角形外角的性质求出，然后根据含角的直角三角形的性质求解即可．
【详解】解：连接，
∵是垂直平分线，
∴，
∴，
∴，
又，
∴，
故选：A．
4．C
【分析】本题考查了等边三角形的性质，含角的直角三角形，由等边三角形性质得到，，根据含角的直角三角形求出，求出，再根据含角的直角三角形求出，即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：∵是等边三角形，
∴，，
∵是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
5．C
【分析】本题考查了直角三角形的性质，根据高定义求出，根据直角三角形的两锐角互余求出，再根据直角三角形的两锐角互余求出，根据含角的直角三角形的性质得出，，再把代入求出即可．
【详解】解：∵是高，
∴，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
故选：C．
6．C
【分析】本题考查了直角三角形的性质，解决本题的关键是根据直角三角形中所对的直角边等于斜边的一半求出、的长度即可．
【详解】解：如下图所示，过点作，过点作，
，，
，
同理可得：，
．
故选：C ．
【题型10斜边的中线等于斜边的的一半】
1．B
【分析】本题考查直角三角形斜边中线性质和平移的性质，熟练掌握直角三角形斜边中线的性质是解题的关键．
根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，结合，得，由平移得到，根据平移对应线段相等，可知，进而得．
【详解】在中，，是中点，
∴，
∵，
∴，
∵沿方向向右平移至，
∴，
故选：B．
2．
【分析】本题考查直角三角形斜边中线等于斜边的一半及等腰三角形的性质，掌握相关性质正确推理计算是解题关键．根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半及等腰三角形等边对等角的性质可得，进而即可求解．
【详解】解：，，，为中点，
，
，
，
故答案为：．
3．40
【分析】本题考查了直角三角形的性质．由“直角三角形的两个锐角互余”得到，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”得到 ，则等边对等角，即．
【详解】解：∵在中，，
∴，
∵D为线段的中点，
∴ ，
∴．
4．4
【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，是解题的关键．根据，得出为直角三角形，根据直角三角形的性质得出．
【详解】解：∵，
∴为直角三角形，
∵E是斜梁的中点，
∴．
故答案为：4．
5．4
【分析】本题考查直角三角形斜边上中线的性质，直接根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解即可．
【详解】解：∵在中，是斜边边上的中线，
∴，
∴．
故答案为：4
