小专题(六) 利用分段函数解决实际问题
类型一 行程问题
第1题
1. 甲、乙两人在一条400m长的直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步,先到终点的人原地休息.已知甲先出发3s,在跑步过程中,甲、乙两人之间的距离y(m)与乙出发的时间x(s)之间的函数关系如图所示.有下列结论:① 乙的速度为5m/s;② 离开起点后,甲、乙两人第一次相遇时,距离起点12m;③ 当甲、乙两人之间的距离超过32m时,44
2. (2024·龙东地区)甲、乙两货车分别从相距225km的A,B两地同时出发,甲货车从A地出发途经配货站时,停下来卸货,半小时后继续驶往B地,乙货车沿同一条公路从B地驶往A地,但乙货车到达配货站时接到紧急任务立即原路原速返回B地,结果比甲货车晚半小时到达B地.如图是甲、乙两货车距A地的距离y(km)与行驶时间x(h)之间的函数图象,结合图象回答下列问题:
(1) 甲货车到达配货站之前的速度是 km/h,乙货车的速度是 km/h;
(2) 求甲货车在配货站卸货后驶往B地的过程中,甲货车距A地的距离y(km)与行驶时间x(h)之间的函数表达式;
(3) 甲、乙两货车在行驶的过程中,出发后 h,甲、乙两货车与配货站的距离相等.
第2题
类型二 工程问题
3. 某市制米厂接到加工大米的任务,要求5天内加工完220吨大米,制米厂安排甲、乙两车间共同完成加工任务,乙车间加工中途停工一段时间维修设备,然后改变加工效率继续加工,直到与甲车间同时完成加工任务.甲、乙两车间各自加工大米的质量y(吨)与甲车间的加工时间x(天)之间的函数关系如图①所示;未加工大米的质量w(吨)与甲车间的加工时间x(天)之间的函数关系如图②所示.请结合图象回答下列问题:
(1) 甲车间每天加工大米 吨,a的值为 .
(2) 求乙车间维修设备后,乙车间加工大米的质量y(吨)与x(天)之间的函数表达式.
(3) 如果55吨大米恰好装满一节车厢,那么加工多长时间恰好装满第一节车厢 再加工多长时间恰好装满第二节车厢
类型三 方案选择问题
4. (2023·广元改编)某公司推出A,B,C三种通话套餐,收费方式如下表:
套 餐 月保底费/元 套餐内通话时间/分钟 超时费/(元/分)
A 38 120 0.1
B
C 118 不限时
设月通话时间为x分钟,A套餐、B套餐的收费金额分别为y1元、y2元.其中y2与x之间的函数关系如图所示.
(1) 结合表格信息,求y1关于x的函数表达式,并写出自变量x的取值范围;
(2) 结合图象信息补全表格中B套餐的数据;
(3) 选择哪种套餐所需费用最少
第4题
小专题(六) 利用分段函数解决实际问题
1. B
2. (1) 30 40 解析:由题图可知,甲货车到达配货站之前的速度是105÷3.5=30(km/h);乙货车的速度是(225-105)×2÷6=40(km/h).
(2) ∵ 3.5+0.5=4(h),6-0.5=5.5(h),∴ E(4,105),F(5.5,225).设线段EF对应的函数表达式为y=kx+b(4≤x≤5.5).将E(4,105)和F(5.5,225)分别代入,得解得∴ 甲货车在配货站卸货后驶往B地的过程中,甲货车距A地的距离y(km)与行驶时间x(h)之间的函数表达式为y=80x-215(4≤x≤5.5)
(3) 或或5 解析:易得线段CM对应的函数表达式为y=-40x+225(0≤x≤3),线段MN对应的函数表达式为y=40x-15(3
(2) 设乙车间维修设备后,乙车间加工大米的质量y(吨)与x(天)之间的函数表达式为y=kx+b.把(2,15),(5,120)代入,得解得∴ 所求函数表达式为y=35x-55 (3) 由题图②,可知当w=220-55=165时,恰好是第二天加工结束.∴ 加工2天恰好装满第一节车厢.当2≤x≤5时,甲、乙两车间每天加工的总质量为=55(吨),∴ 再加工1天恰好装满第二节车厢
4. (1) ∵ 当0≤x≤120 时,y1=38;当x>120时,y1=38+0.1(x-120)=0.1x+26,∴ y1=
(2) 由题图,可知B套餐的月保底费为58元,套餐内通话时间为360分钟,超时费为(70-58)÷(480-360)=0.1(元/分).∴ 表格中B套餐的数据依次为58,360,0.1
(3) 当x>360时,设y2=kx+b.∵ 图象过(360,58),(480,70)两点,∴ 解得∴ y2=0.1x+22,∴ y2=∵ 当y1=58时,由0.1x+26=58,解得x=320,∴ 当x=320时,选择A,B套餐所需费用一样多,且都比选择C套餐花费少.∵ 当0≤x<320时,y1
