平面直角坐标系(第1课时)
A层基础夯实
知识点1 用平面直角坐标系确定点的位置
1.如图,从点O出发,先向西走4步,再向南走3步到达点M,如果点M的位置用(-4,-3)表示,那么(1,2)表示的位置是(B)
A.点A B.点B C.点C D.点D
2.(2023·衢州中考)在如图所示的方格纸上建立适当的平面直角坐标系,若点A的坐标为(0,1),点B的坐标为(2,2),则点C的坐标为 (1,3) .
3.某学校的平面示意图如图,如果实验楼所在位置的坐标为(-2,-3),教学楼所在位置的坐标为(-1,2),那么坐标为(-4,3)的位置是 图书馆 .
4.现有一张利用平面直角坐标系画出来的某公园景区地图,如图所示,已知游乐园D的坐标为(2,-1),体育馆的坐标为(0,1).
(1)请根据题意建立平面直角坐标系;
(2)写出其他各景点对应的点的坐标.
【解析】(1)由游乐园D的坐标为(2,-1),体育馆的坐标为(0,1),建立平面直角坐标系如图所示;
(2)由(1)中平面直角坐标系可得:
音乐台A坐标为(0,5),
湖心亭B坐标为(-3,3),
望春亭C坐标为(-2,0),
牡丹园E坐标为(3,4).
知识点2 点的坐标与象限
5.在平面直角坐标系中,点P(2 024,-1)位于(D)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
6.在平面直角坐标系中,点A(-2,a)位于第二象限,a的值可能是(B)
A.-2 B.3 C.0 D.-
7.如图,小手盖住的点的坐标可能为(D)
A.(-1,-2) B.(-2,3)
C.(2,0) D.(2,-3)
8.(2025·西安质检)若点P(a,b)在第二象限,则点Q(-b,a-3)一定在第 三 象限.
B层能力进阶
9.如果点A(m-2,2m)在第一、三象限的角平分线上,那么点N(-m+2,m-1)在(D)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
10.小明、小华、小亮去电影院看电影.如图是利用平面直角坐标系画出的影院内分布图,若分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向,建立平面直角坐标系xOy,他们是这样描述自己的座位的:
①小明:表示我座位的坐标为(-2,3);
②小华:在小明的座位向右走4个座位,再向上走2个座位,就可以找到我了;
③小亮:小旗帜所在的位置就是我的座位.
则表示小华、小亮座位的坐标分别为(D)
A.(2,5),(2,-1)
B.(-4,5),(-4,0)
C.(4,2),(4,7)
D.(2,5),(2,0)
11.点P在y轴的左侧,且到x轴、y轴的距离分别是1和2,则点P的坐标是(D)
A.(-1,-2)
B.(-2,-1)
C.(-1,-2)或(-1,2)
D.(-2,-1)或(-2,1)
12.(2025·郑州质检)如图,在4×4的正方形网格中,每个小正方形的顶点称为格点,每个小正方形的边长都是1,若点A,B的坐标分别是(-2,1),(0,-1),则点C的坐标为 (-2,0) .
13.在平面直角坐标系xOy中,已知点M的坐标为(3-t,2t),将点M到x轴的距离记作d1,到y轴的距离记作d2.
(1)若t=4,则d1+d2= ;
(2)若t<0,3d1=d2,求点M的坐标.
【解析】(1)因为t=4,
所以3-t=3-4=-1,2t=2×4=8,所以点M的坐标为(-1,8),
所以d1=|8|=8,d2=|-1|=1,
所以d1+d2=8+1=9.
答案:9
(2)因为t<0,所以3-t>0,2t<0,
所以d1=|2t|=-2t,d2=|3-t|=3-t.因为3d1=d2,
所以3×(-2t)=3-t,解得t=-,
所以3-t=3-(-)=3+=,2t=2×(-)=-,
所以点M的坐标为(,-).
C层创新挑战(选做)
14.(空间观念、几何直观)给出如下定义:在平面直角坐标系xOy中,已知点P1(a,b),P2(c,b),P3(c,d),这三个点中任意两点间的距离的最小值称为点P1,P2,P3的“完美间距”.如图,点P1(-1,2),P2(1,2),P3(1,3)的“完美间距”是1.
(1)点Q1(4,1),Q2(5,1),Q3(5,5)的“完美间距”是 ;
(2)已知点O(0,0),A(4,0),B(4,y).
①若点O,A,B的“完美间距”是2,则y的值为 ;
②点O,A,B的“完美间距”的最大值为 .
【解析】(1)如图,在给出图形中标出点Q1,Q2,Q3,
因为Q1(4,1),Q2(5,1),Q3(5,5),
所以Q1Q2=1,Q2Q3=4,
在Rt△Q1Q2Q3中,Q1Q3=,
因为1<4<,所以“完美间距”为1.
答案:1
(2)①如图:
因为O(0,0),A(4,0),B(4,y),
所以OA=4,AB=|y|,
在Rt△ABO中,OB>OA,OB>AB,
又因为点O,A,B的“完美间距”是2,且4>2,所以|y|=2,所以y=±2.
答案:±2
②由①可得,OB>OA,OB>AB,
所以“完美间距”的值为OA或AB的长,
因为OA=4,AB=|y|,
当AB≥OA时,“完美间距”为4,
当AB
A层基础夯实
知识点1 用平面直角坐标系确定点的位置
1.如图,从点O出发,先向西走4步,再向南走3步到达点M,如果点M的位置用(-4,-3)表示,那么(1,2)表示的位置是( )
A.点A B.点B C.点C D.点D
2.(2023·衢州中考)在如图所示的方格纸上建立适当的平面直角坐标系,若点A的坐标为(0,1),点B的坐标为(2,2),则点C的坐标为 .
3.某学校的平面示意图如图,如果实验楼所在位置的坐标为(-2,-3),教学楼所在位置的坐标为(-1,2),那么坐标为(-4,3)的位置是 .
4.现有一张利用平面直角坐标系画出来的某公园景区地图,如图所示,已知游乐园D的坐标为(2,-1),体育馆的坐标为(0,1).
(1)请根据题意建立平面直角坐标系;
(2)写出其他各景点对应的点的坐标.
知识点2 点的坐标与象限
5.在平面直角坐标系中,点P(2 024,-1)位于( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
6.在平面直角坐标系中,点A(-2,a)位于第二象限,a的值可能是( )
A.-2 B.3 C.0 D.-
7.如图,小手盖住的点的坐标可能为( )
A.(-1,-2) B.(-2,3)
C.(2,0) D.(2,-3)
8.(2025·西安质检)若点P(a,b)在第二象限,则点Q(-b,a-3)一定在第 象限.
B层能力进阶
9.如果点A(m-2,2m)在第一、三象限的角平分线上,那么点N(-m+2,m-1)在( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
10.小明、小华、小亮去电影院看电影.如图是利用平面直角坐标系画出的影院内分布图,若分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向,建立平面直角坐标系xOy,他们是这样描述自己的座位的:
①小明:表示我座位的坐标为(-2,3);
②小华:在小明的座位向右走4个座位,再向上走2个座位,就可以找到我了;
③小亮:小旗帜所在的位置就是我的座位.
则表示小华、小亮座位的坐标分别为( )
A.(2,5),(2,-1)
B.(-4,5),(-4,0)
C.(4,2),(4,7)
D.(2,5),(2,0)
11.点P在y轴的左侧,且到x轴、y轴的距离分别是1和2,则点P的坐标是( )
A.(-1,-2)
B.(-2,-1)
C.(-1,-2)或(-1,2)
D.(-2,-1)或(-2,1)
12.(2025·郑州质检)如图,在4×4的正方形网格中,每个小正方形的顶点称为格点,每个小正方形的边长都是1,若点A,B的坐标分别是(-2,1),(0,-1),则点C的坐标为 .
13.在平面直角坐标系xOy中,已知点M的坐标为(3-t,2t),将点M到x轴的距离记作d1,到y轴的距离记作d2.
(1)若t=4,则d1+d2= ;
(2)若t<0,3d1=d2,求点M的坐标.
C层创新挑战(选做)
14.(空间观念、几何直观)给出如下定义:在平面直角坐标系xOy中,已知点P1(a,b),P2(c,b),P3(c,d),这三个点中任意两点间的距离的最小值称为点P1,P2,P3的“完美间距”.如图,点P1(-1,2),P2(1,2),P3(1,3)的“完美间距”是1.
(1)点Q1(4,1),Q2(5,1),Q3(5,5)的“完美间距”是 ;
(2)已知点O(0,0),A(4,0),B(4,y).
①若点O,A,B的“完美间距”是2,则y的值为 ;
②点O,A,B的“完美间距”的最大值为 . 平面直角坐标系(第2课时)
A层基础夯实
知识点1 特殊直线上的点的坐标
1.下列各点中在y轴负半轴上的是( )
A.(0,7) B.(0,-7) C.(3,0) D.(-3,0)
2.已知点P在x轴上,位于原点右侧,到原点的距离为2个单位长度,则点P的坐标是( )
A.(0,2) B.(-2,0) C.(0,-2) D.(2,0)
3.(2025·合肥质检)若点A(a-1,2a+1)在x轴上,则a的值为( )
A.- B. C.-1 D.1
4.在平面直角坐标系中,点Q(2-2m,m-3)在y轴上,则点Q的坐标是 .
5.已知点P(2a-6,a+1),若点P在坐标轴上,则点P的坐标为 .
6.已知点A(m,n)是平面直角坐标系中的一点,且2m=6+n.
(1)若点A在x轴上,求点A的坐标;
(2)若点A在第二、四象限的角平分线上,求点A的坐标;
(3)已知点B(3,5),若AB∥y轴,求m的值.
知识点2 构建直角坐标系表示图形的顶点坐标
7.北京时间2024年1月11日13时30分,我国太原卫星发射中心在山东海阳附近海域使用引力一号遥—商业运载火箭,将搭载的云遥一号18~20星3颗卫星顺利送入预定轨道,飞行试验任务获得圆满成功.此次任务是引力一号商业运载火箭的首次飞行.在这次发射中,探测人员发现卫星在如图所示的阴影区域内运行,则卫星的坐标可能是( )
A.(-3,300) B.(9,600)
C.(7,-500) D.(-2,-800)
8.为了更好地开展景区规划工作,某景区对区内的5个景观利用坐标确定了位置,并且设置了导航路线.
(1)在如图所示的正方形网格中建立平面直角坐标系xOy,使得景观A,B的位置分别表示A(1,2),B(0,-1);
(2)在建立的平面直角坐标系中,景观C的坐标为 ;
(3)在平面直角坐标系中标出D(-1,-2),E(1,-2)的位置,连接AC,DE,则AC与DE的位置关系是 .
9.如图,△ABC是边长为6的等边三角形,在平面直角坐标系中,边AB在x轴上,
点C在x轴上方,点B的坐标为(9,0).
(1)求点A,C的坐标.
(2)求△ABC的面积.
B层能力进阶
10.在平面直角坐标系中,已知点A(a-1,3),点B(-2,a+1),且直线AB∥y轴,则点(-a,a+3)位于( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
11.(2025·济南质检)已知直线MN∥x轴,点M的坐标为(2,3),并且线段MN=3,则点N的坐标为( )
A.(-1,3) B.(5,3)
C.(1,3)或(5,3) D.(-1,3)或(5,3)
12.(2025·西安质检)已知点P在x轴上,且点P到y轴的距离等于6,则点P的坐标是 .
13.已知点P(2m-6,m+1),试分别根据下列条件直接写出点P的坐标.
(1)点P在y轴上;
(2)点P的纵坐标比横坐标大5;
(3)点P到x轴的距离与到y轴的距离相等.
C层创新挑战(选做)
14.(几何直观、应用意识)在平面直角坐标系xOy中,对于点P(x,y),若点Q的坐标为(ax+y,x+ay),其中a为常数,则称点Q是点P的“a级关联点”,如:点P(1,4)的“3级关联点”为Q(3×1+4,1+3×4),即Q(7,13).
(1)已知点A(2,-6)的“级关联点”是点B,求点B的坐标;
(2)已知点M(m-1,2m)的“-4级关联点”N位于坐标轴上,求点N的坐标.平面直角坐标系(第2课时)
A层基础夯实
知识点1 特殊直线上的点的坐标
1.下列各点中在y轴负半轴上的是(B)
A.(0,7) B.(0,-7) C.(3,0) D.(-3,0)
2.已知点P在x轴上,位于原点右侧,到原点的距离为2个单位长度,则点P的坐标是(D)
A.(0,2) B.(-2,0) C.(0,-2) D.(2,0)
3.(2025·合肥质检)若点A(a-1,2a+1)在x轴上,则a的值为(A)
A.- B. C.-1 D.1
4.在平面直角坐标系中,点Q(2-2m,m-3)在y轴上,则点Q的坐标是 (0,-2) .
5.已知点P(2a-6,a+1),若点P在坐标轴上,则点P的坐标为 (-8,0)或(0,4) .
6.已知点A(m,n)是平面直角坐标系中的一点,且2m=6+n.
(1)若点A在x轴上,求点A的坐标;
(2)若点A在第二、四象限的角平分线上,求点A的坐标;
(3)已知点B(3,5),若AB∥y轴,求m的值.
【解析】(1)因为点A在x轴上,所以n=0.因为2m=6+n,所以m=3,所以A(3,0).
(2)因为点A在第二、四象限的角平分线上,
所以m+n=0,所以n=-m.
因为2m=6+n,所以2m=6-m,
解得m=2,所以n=-2,所以A(2,-2).
(3)因为AB∥y轴,所以点A,B的横坐标相等,纵坐标不相等,
所以m=3.因为2m=6+n,所以n=0,所以A(3,0),符合题意,所以m=3.
知识点2 构建直角坐标系表示图形的顶点坐标
7.北京时间2024年1月11日13时30分,我国太原卫星发射中心在山东海阳附近海域使用引力一号遥—商业运载火箭,将搭载的云遥一号18~20星3颗卫星顺利送入预定轨道,飞行试验任务获得圆满成功.此次任务是引力一号商业运载火箭的首次飞行.在这次发射中,探测人员发现卫星在如图所示的阴影区域内运行,则卫星的坐标可能是(C)
A.(-3,300) B.(9,600)
C.(7,-500) D.(-2,-800)
8.为了更好地开展景区规划工作,某景区对区内的5个景观利用坐标确定了位置,并且设置了导航路线.
(1)在如图所示的正方形网格中建立平面直角坐标系xOy,使得景观A,B的位置分别表示A(1,2),B(0,-1);
(2)在建立的平面直角坐标系中,景观C的坐标为 ;
(3)在平面直角坐标系中标出D(-1,-2),E(1,-2)的位置,连接AC,DE,则AC与DE的位置关系是 .
【解析】(1)如图,平面直角坐标系xOy即为所求.
(2)(-1,2)
(3)如图,可得AC∥DE.
答案:平行
9.如图,△ABC是边长为6的等边三角形,在平面直角坐标系中,边AB在x轴上,
点C在x轴上方,点B的坐标为(9,0).
(1)求点A,C的坐标.
(2)求△ABC的面积.
【解析】(1)因为点B的坐标为(9,0),所以OB=9,
又因为等边三角形的边长为6,即AB=6,所以OA=3,所以A(3,0),
过点C作CD⊥AB于点D,如图,
因为△ABC是等边三角形,所以AD=AB=3,所以OD=6,在Rt△ACD中,CD===3,所以C(6,3).
(2)S△ABC=×6×3=9.
B层能力进阶
10.在平面直角坐标系中,已知点A(a-1,3),点B(-2,a+1),且直线AB∥y轴,则点(-a,a+3)位于(A)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
11.(2025·济南质检)已知直线MN∥x轴,点M的坐标为(2,3),并且线段MN=3,则点N的坐标为(D)
A.(-1,3) B.(5,3)
C.(1,3)或(5,3) D.(-1,3)或(5,3)
12.(2025·西安质检)已知点P在x轴上,且点P到y轴的距离等于6,则点P的坐标是 (6,0)或(-6,0) .
13.已知点P(2m-6,m+1),试分别根据下列条件直接写出点P的坐标.
(1)点P在y轴上;
(2)点P的纵坐标比横坐标大5;
(3)点P到x轴的距离与到y轴的距离相等.
【解析】(1)因为点P在y轴上,
所以2m-6=0,所以m=3,
所以m+1=4,所以P(0,4).
(2)因为点P的纵坐标比横坐标大5,所以m+1-(2m-6)=5,解得m=2,所以2m-6=-2,m+1=3,
所以点P的坐标为(-2,3).
(3)因为点P到x轴的距离与到y轴的距离相等,所以|2m-6|=|m+1|,
所以2m-6=m+1或2m-6=-m-1,解得m=7或m=,
当m=7时,2m-6=8,m+1=8,即点P的坐标为(8,8);
当m=时,2m-6=-,m+1=,即点P的坐标为(-,).
故点P的坐标为(8,8)或(-,).
C层创新挑战(选做)
14.(几何直观、应用意识)在平面直角坐标系xOy中,对于点P(x,y),若点Q的坐标为(ax+y,x+ay),其中a为常数,则称点Q是点P的“a级关联点”,如:点P(1,4)的“3级关联点”为Q(3×1+4,1+3×4),即Q(7,13).
(1)已知点A(2,-6)的“级关联点”是点B,求点B的坐标;
(2)已知点M(m-1,2m)的“-4级关联点”N位于坐标轴上,求点N的坐标.
【解析】(1)根据题意,得B(×2-6,2-×6),即B(-5,-1),
所以点B的坐标是(-5,-1).
(2)根据题意,得N(-2m+4,-7m-1).
当点N位于x轴上,即当-7m-1=0时,解得m=-,N(,0);
当点N位于y轴上,即当-2m+4=0时,解得m=2,N(0,-15).
所以点N的坐标为(,0)或(0,-15).
