一定是直角三角形吗
A层基础夯实
知识点1 直角三角形的判别方法
1.满足下列关系的三条线段a,b,c组成的三角形一定是直角三角形的是( )
A.a
C.a=b=c D.a2=b2-c2
2.(2025·济南期中)在△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别记为a,b,c,其中不能判定△ABC为直角三角形的是( )
A.b2=(a+c)(a-c)
B.∠A=∠B=∠C
C.∠A∶∠B∶∠C=2∶3∶4
D.a∶b∶c=3∶4∶5
3.一个三角形的三边长分别为15 cm,20 cm,25 cm,则这个三角形最长边上的高是 cm.
知识点2 勾股数
4.下列各组数据中,不是勾股数的是( )
A.6,8,10 B.5,7,9
C.10,24,26 D.12,16,20
5.下列几组数中,是勾股数的有( )
①0.6,0.8,1; ②7,24,25;
③9,12,15; ④,,.
A.1组 B.2组 C.3组 D.4组
知识点3 勾股定理及其逆定理的综合应用
6. (2025·宁波期中)如图,点D在△ABC中,∠BDC=90°,CD=3,BD=4,AC=12,AB=13.
(1)求BC的长;
(2)求图中阴影部分的面积.
B层能力进阶
7.下列由三条线段a,b,c构成的三角形:①∠A+∠B=∠C;②a=9,b=12,c=15;③∠A∶∠B∶∠C=5∶12∶13;④a∶b∶c=5∶12∶13.其中能构成直角三角形的是( )
A.①④ B.①②④ C.②③④ D.①②③
8.清代数学家梅文鼎在著作《平三角举要》中,对宋代数学家秦九韶提出的计算三角形面积的“三斜求积术”给出了一个完整的证明,证明过程中创造性地设计直角三角形,得出了一个结论:如图,AD是锐角三角形ABC的高,则BD=(BC+).当AB=15,BC=14,AC=13时,线段BD的长为 .
9.(2025·南京期中)如图,CD是△ABC的高.
(1)若CD=12,AD=9,BD=16,则AC的长为 ,BC的长为 ;
(2)若CD=a,AD=b,BD=c,且a2=bc,求证:△ABC是直角三角形.
10.(探究与运用)我国古代某数学著作记载,将一根直尺折成一个直角,两端连接得一个直角三角形,如果勾是三,股是四,那么弦就等于五.后人概括为“勾三、股四、弦五”.
(1)观察3,4,5;5,12,13;7,24,25;….发现这些勾股数的“勾”都是奇数,且从3起就没有间断过,计算(9-1),(9+1)与(25-1),(25+1),并根据你发现的规律,分别写出能用7,24,25中的勾表示股和弦的算式.
(2)根据(1)的规律,用含n(n为奇数且n≥3)的代数式来表示所有这些勾股数的勾、股、弦.猜想它们之间的两种相等关系,并对其中一种猜想加以说明.
(3)继续观察4,3,5;6,8,10;8,15,17;….可以发现各组的第一个数都是偶数,且从4起也没有间断过,运用类似上述探索的方法,直接用含m(m为勾,m为偶数且m≥4)的代数式来表示它们的股和弦.
C层创新挑战(选做)
11.(运算能力、推理能力、应用意识)(新定义问题)定义:在△ABC中,若BC=a,AC=b,AB=c,a,b,c满足ac+a2=b2,则称这个三角形为“类勾股三角形”.请根据以上定义解决下列问题:
(1)如图1所示,若等腰三角形ABC是“类勾股三角形”,其中AB=BC,AC>AB,请求∠A的度数.
(2)如图2所示,在△ABC中,∠B=2∠A,且∠C>∠A.请证明△ABC为“类勾股三角形”.一定是直角三角形吗
A层基础夯实
知识点1 直角三角形的判别方法
1.满足下列关系的三条线段a,b,c组成的三角形一定是直角三角形的是(D)
A.a
C.a=b=c D.a2=b2-c2
2.(2025·济南期中)在△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别记为a,b,c,其中不能判定△ABC为直角三角形的是(C)
A.b2=(a+c)(a-c)
B.∠A=∠B=∠C
C.∠A∶∠B∶∠C=2∶3∶4
D.a∶b∶c=3∶4∶5
3.一个三角形的三边长分别为15 cm,20 cm,25 cm,则这个三角形最长边上的高是 12 cm.
知识点2 勾股数
4.下列各组数据中,不是勾股数的是(B)
A.6,8,10 B.5,7,9
C.10,24,26 D.12,16,20
5.下列几组数中,是勾股数的有(B)
①0.6,0.8,1; ②7,24,25;
③9,12,15; ④,,.
A.1组 B.2组 C.3组 D.4组
知识点3 勾股定理及其逆定理的综合应用
6. (2025·宁波期中)如图,点D在△ABC中,∠BDC=90°,CD=3,BD=4,AC=12,AB=13.
(1)求BC的长;
(2)求图中阴影部分的面积.
【解析】(1)因为∠BDC=90°,BD=4,CD=3,所以BC=5.
(2)因为AB=13,AC=12,BC=5,
所以AC2+BC2=122+52=144+25=169=132=AB2,所以△ACB是直角三角形,∠ACB=90°,所以S阴影=S△ACB-S△BDC=BC·AC-BD·CD=×5×12-×4×3=24.
B层能力进阶
7.下列由三条线段a,b,c构成的三角形:①∠A+∠B=∠C;②a=9,b=12,c=15;③∠A∶∠B∶∠C=5∶12∶13;④a∶b∶c=5∶12∶13.其中能构成直角三角形的是(B)
A.①④ B.①②④ C.②③④ D.①②③
8.清代数学家梅文鼎在著作《平三角举要》中,对宋代数学家秦九韶提出的计算三角形面积的“三斜求积术”给出了一个完整的证明,证明过程中创造性地设计直角三角形,得出了一个结论:如图,AD是锐角三角形ABC的高,则BD=(BC+).当AB=15,BC=14,AC=13时,线段BD的长为 9 .
9.(2025·南京期中)如图,CD是△ABC的高.
(1)若CD=12,AD=9,BD=16,则AC的长为 ,BC的长为 ;
(2)若CD=a,AD=b,BD=c,且a2=bc,求证:△ABC是直角三角形.
【解析】(1)因为CD⊥AB,所以△ACD是直角三角形,△CDB是直角三角形,
在Rt△ACD中,因为CD=12,AD=9,AC2=CD2+AD2,所以AC=15.
在Rt△CDB中,因为CD=12,BD=16,BC2=CD2+BD2,所以BC=20.
答案:15 20
(2)因为CD是△ABC的高,所以∠CDA=∠CDB=90°,所以在Rt△ACD中,AD2+CD2=AC2,即a2+b2=AC2.
同理,a2+c2=BC2.因为a2=bc,
所以AC2+BC2=a2+b2+a2+c2
=b2+c2+2bc
=(b+c)2
=AB2,
所以△ABC是直角三角形.
10.(探究与运用)我国古代某数学著作记载,将一根直尺折成一个直角,两端连接得一个直角三角形,如果勾是三,股是四,那么弦就等于五.后人概括为“勾三、股四、弦五”.
(1)观察3,4,5;5,12,13;7,24,25;….发现这些勾股数的“勾”都是奇数,且从3起就没有间断过,计算(9-1),(9+1)与(25-1),(25+1),并根据你发现的规律,分别写出能用7,24,25中的勾表示股和弦的算式.
(2)根据(1)的规律,用含n(n为奇数且n≥3)的代数式来表示所有这些勾股数的勾、股、弦.猜想它们之间的两种相等关系,并对其中一种猜想加以说明.
(3)继续观察4,3,5;6,8,10;8,15,17;….可以发现各组的第一个数都是偶数,且从4起也没有间断过,运用类似上述探索的方法,直接用含m(m为勾,m为偶数且m≥4)的代数式来表示它们的股和弦.
【解析】(1)因为×(9-1)=4,×(9+1)=5,×(25-1)=12,×(25+1)=13,
所以表示7,24,25这一组数的股与弦的算式为:×(49-1)=×(72-1),×(49+1)=×(72+1).
(2)用n(n为奇数,且n≥3)的代数式来表示,股:×(n2-1),弦:×(n2+1).
猜想它们之间的相等关系:勾2+股2=弦2,弦-股=1,
理由:n2+[×(n2-1)]2=n4+n2+=[×(n2+1)]2.
(3)用m(m为偶数,且m≥4)的代数式来表示,股:m2-1,弦:m2+1.
C层创新挑战(选做)
11.(运算能力、推理能力、应用意识)(新定义问题)定义:在△ABC中,若BC=a,AC=b,AB=c,a,b,c满足ac+a2=b2,则称这个三角形为“类勾股三角形”.请根据以上定义解决下列问题:
(1)如图1所示,若等腰三角形ABC是“类勾股三角形”,其中AB=BC,AC>AB,请求∠A的度数.
(2)如图2所示,在△ABC中,∠B=2∠A,且∠C>∠A.请证明△ABC为“类勾股三角形”.
【解析】(1)因为AB=BC,AC>AB,所以a=c,b>c,因为△ABC是“类勾股三角形”,
所以ac+a2=b2,所以c2+a2=b2,
所以△ABC是等腰直角三角形,所以∠A=45°.
(2)如图,在AB边上取点D,连接CD,使∠ACD=∠A,作CG⊥AB于点G,
因为∠CDB+∠CBD+∠BCD=180°,∠A+∠ACD+∠CBD+∠BCD=180°,
所以∠CDB=∠ACD+∠A=2∠A.
因为∠B=2∠A,所以∠CDB=∠B,所以CD=CB=a.
因为∠ACD=∠A,所以AD=CD=a,
所以DB=AB-AD=c-a.
因为CG⊥AB,所以DG=BG=(c-a),
所以AG=AD+DG=a+(c-a)=(a+c).
在Rt△ACG中,CG2=AC2-AG2
=b2-[(a+c)]2,
在Rt△BCG中,CG2=BC2-BG2
=a2-[(c-a)]2,
所以b2-[(a+c)]2=a2-[(c-a)]2,所以b2=ac+a2,
所以△ABC是“类勾股三角形”.
