浙江省温州市鹿城区2024-2025学年上学期八年级期中数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2024八上·鹿城期中）下列在线学习平台的图标中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
、是轴对称图形，故本选项符合题意；
、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
故答案为：．
【分析】一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，据此选择即可．
2．（2024八上·鹿城期中）如果一个三角形的两边长都是6，则第三边的长不能是（ ）
A．3 B．6 C．9 D．13
【答案】D
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：设第三边长为x，
∴x＞0，x＜12，
∴x的取值范围为0＜x＜12，
∵13＞12，
∴第三边长不能为13.
故答案为：D
【分析】利用三角形的三边关系定理可知第三边长的取值范围为0＜第三边长＜12，观察各选项，可得答案.
3．（2024八上·鹿城期中）如果，下列各式中不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：∵a＞b，
A、两边同时减去4，不等号方向不变，正确，故不符合题意；
B、两边同时乘以-2，不等号方向改变，正确，故不符合题意；
C、两边同时减去1，不等号方向不变，错误，故符合题意；
D、两边同时除以3，不等号方向不变，正确，故不符合题意；
故选C．
【分析】利用不等式的基本性质逐一判断即可解题．
4．（2024八上·鹿城期中）下列选项中，可以用来证明命题“若a >1,则a＞1”是假命题的反例是（ ）
A．a=－2. B．a=－1 C．a=1 D．a=2
【答案】A
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】根据要证明一个结论不成立，可以通过举反例的方法来证明一个命题是假命题：
用来证明命题“若a2＞1，则a＞1”是假命题的反例可以是：a=－2．因为a=－2时，a2＞1，但a＜1．
故答案为：A
【分析】根据要证明一个结论不成立，可以通过举反例的方法来证明一个命题是假命题．
5．（2024八上·鹿城期中）将不等式组 的解集表示在数轴上，下列正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【知识点】在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：不等式在数轴上向右画，用空心的点，
不等式也向右画，用实心的圆点，
故答案为：A
【分析】直接在数轴上表示两个不等式的解集即可求出答案.
6．（2024八上·鹿城期中）中，，，所对的边分别为，，，下列条件不能判断是直角三角形的是（ ）
A． B．，，
C． D．
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理；直角三角形的概念
【解析】【解答】解：A、，
，
∴是直角三角形，此选项不符合题意；
B、，，，
，
，
∴是直角三角形，此选项不符合题意；
C、，
最大角，
不是直角三角形，此选项符合题意；
D、，，
，
∴是直角三角形，此选项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】A、根据勾股定理的逆定理可得∠C=90°，然后根据直角三角形的性质可判断求解；
B、由题意先计算a2+b2、c2的值，根据计算结果可得a2+b2=c2，由勾股定理的逆定理可得∠C=90°，然后根据直角三角形的性质可判断求解；
C、由三角形的内角和等于180°并结合已知可求得最大角∠C的度数，根据最大角∠C的度数和直角三角形的定义即可判断求解；
D、由三角形的内角和等于180°并结合已知可求得最大角∠A的度数，根据最大角∠A的度数和直角三角形的定义即可判断求解.
7．（2024八上·鹿城期中）将一副三角板按如图位置摆放，若∠BDE＝75°，则∠AMD的度数是（ ）
A．75° B．80° C．85° D．90°
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质
【解析】【解答】解：∵∠B＝60°，
∴∠A＝30°，
∵∠BDE＝75°，∠FDE＝45°，
∴∠ADF＝180°﹣75°﹣45°＝60°，
∴∠AMD＝180°﹣30°﹣60°＝90°，
故选：D．
【分析】根据三角形的内角和求出∠ADF的度数，然后根据直角三角形的两锐角互余得到∠A的度数，然后再根据三角形的内角和定理解题.
8．（2024八上·鹿城期中）如图， 在中，， 使． 再分别以点 D、E为圆心， 大于，两弧在内交于点F， 作射线交边于点 G， 若，， 则的面积为（ ）
A．12 B．16 C．24 D．32
【答案】B
【知识点】角平分线的性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】如图，作于，
由尺规作图可知，是的角平分线，
∵，，
∴，
∴的面积为∶．
故选：B．
【分析】由作图可得是的角平分线，即可得到，然后利用三角形的面积公式计算即可．
9．（2024八上·鹿城期中）如图，四边形是正方形，直线分别通过三点，且．若a与b之间的距离是与c之间的距离是7，则正方形的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：如图：过作交于M，过D作交于N，
则，
，，
，
四边形是正方形，
，
，
在和中
，
，
，
a与b之间的距离是5，b与c之间的距离是7，
，
在中，
由勾股定理得：，
即正方形的面积为74，
故选：C．
【分析】过作交于M，过D作交于N，则有，，，然后证明，即可得到，求得，在中，根据勾股定理即可得到．
10．（2024八上·鹿城期中）如图，是的角平分线，，，，P，Q分别是和上的任意一点，连接，，，，给出下列结论：
①；
②；
③的最小值是；
④若平分，则的面积为9．
其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【答案】B
【知识点】垂线段最短及其应用；三角形三边关系；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理
【解析】【解答】解：①∵，是的角平分线，
∴，，
∴垂直平分，
∴，
∴，
在 APQ中，，
∴，
∴原结论正确；
②∵，
∴，，
∵是的角平分线，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴原结论正确；
③由①可得，，
∴当最小时，最小，
过点A作于点M，如图所示：
当点P在与交点上时，，且最小值为，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
即的最小值是，
∴原结论错误；
④过点P作于点N，如图所示：
∵平分，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴原结论正确；
综上可得，正确的有①②④．
故答案为：B.
【分析】
①根据等腰三角形的性质“等腰三角形的三线合一”可得垂直平分，由线段的垂直平分线的性质“线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”可得，再根据三角形三边关系“三角形的任意两边之和大于第三边”即可求解；
②根据角平分线的定义，平行线的性质、等腰三角形的性质，证明，，得出，，即可得出结论；
③过点A作于点M，当点P在与交点上时，，此时最小，且最小值为，根据等积法求出即可；
④过点P作于点N，得出，求出，即可求出结果．
二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分．
11．（2024八上·鹿城期中）命题“两直线平行，内错角相等”的题设是 ，结论是
【答案】如果两条平行线被第三条直线所截；那么内错角相等
【知识点】定义、命题、定理、推论的概念
【解析】【解答】解：题设：如果两条平行线被第三条直线所截；结论：那么内错角相等．
【分析】命题由题设和结论两部分组成．题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项．命题常常可以写为“如果…那么…”的形式，如果后面接题设，而那么后面接结论．
12．（2024八上·鹿城期中）在中，，，，点D是的中点，则 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：如图，在中，
，，，
点D是的中点，
．
故答案为：．
【分析】先根据勾股定理得到，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解题即可．
13．（2024八上·鹿城期中）已知关于x的不等式组无解，则a的取值范围为 ．
【答案】
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解： 解不等式得，解不等式得，
不等式组无解，，求得.
故答案为：.
【分析】根据不等式组解集同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解，求解a的取值范围.
14．（2024八上·鹿城期中）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D，E分别在AB，BC上，连结 CD，DE，若BC= BD，AC=1，∠CDE=45°， 则BE的长为 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝BD=1
∴AB=，∠A＝∠B＝45°．
∵∠CDB＝∠A＋∠ACD＝∠CDE＋∠BDE，∠CDE＝45°，
∴∠ACD＝∠BDE，
∴△CAD△DBE，
∴BE=AD=AB-BD=．
故答案是：
【分析】先利用勾股定理求出AB=，然后利用AAS得到△CAD△DBE，即可得到BE=AD解题即可．
15．（2024八上·鹿城期中）如图，在矩形中，点E在边上，沿折叠得到，且点B，F，E三点共线，连接，若，，则 ， ．
【答案】；
【知识点】勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：设交于H，如图：
设，，
∵沿折叠得到，
∴，，
∵，
∴，
在中，，
∴①，
在中，，
∴②，
①②联立解方程组得，或（舍去），
∴，，
∴；
，
∵沿折叠得到，
∴，，
∴，
∴，
∴；
故答案为：，．
【分析】设交于H，，，根据勾股定理可得，，即可得关于x、y的方程组，解方程组得，，然后根据三角形的面积求出的值，再根据线段的构成DF=DH+FH即可求解．
三、计算题：本大题共1小题，共6分．
16．（2024八上·鹿城期中）如图，是等边三角形，D、E分别是边、上的点，且，且、交于点G，且，垂足为F．
（1）求证：；
（2）若，求DG的长度．
【答案】（1）证明：∵是等边三角形，∴，，
∵
∴
∴
在与中，，
∴≌，
∴
（2）解：∵，
∴，
∴
∵，即，
∴，
∴在中，，
∵
∴DG=2
【知识点】等边三角形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）利用等边三角形的性质可证得AC=BC=AB，∠A=∠BCE=60°，同时可证得AD=CE，利用SAS可证得≌，然后利用全等三角形的性质可证得结论
（2）利用由（1）可求出∠DGF、∠EGC的度数，即可求出∠FDG的度数，然后利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，可求出GD的长
（1）证明：∵是等边三角形，
∴，，
∵
∴
∴
在与中，，
∴≌，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴
∵，即，
∴，
∴在中，，
∵，
∴．
四、解答题：本题共8小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（2024八上·鹿城期中）“x与7的和大于2”用不等式表示为 ．
【答案】x+7>2
【知识点】列一元一次不等式
【解析】【解答】解： x与7的和大于2”用不等式表示为 ：x+7>2
故答案为：x+7>2.
【分析】根据题意把文字描述转化为数学符号语言即可.
18．（2024八上·鹿城期中）解不等式：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：移项得：，
合并同类项得：，
解得：；
（2）解：去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
解得：．
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【分析】（1）根据移项，合并，系数化为1解不等式即可；
（2）利用去分母，去括号，移项，合并，系数化为1解不等式即可．
（1）解：移项得：，
合并同类项得：，
解得：；
（2）去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
解得：．
19．（2024八上·鹿城期中）解不等式组，并写出该不等式组的非负整数解．
【答案】解：，
对于，去括号，得：，
移项，得：，
合并同类项，得：，
对于，移项，得：，
合并同类项，得：，
系数化为，得：，
不等式组的解集为，
该不等式组的非负整数解为或
【知识点】一元一次不等式组的特殊解
【解析】【分析】先分别解两个不等式，然后求出不等式组的解集，最后得到非负整数解即可．
20．（2024八上·鹿城期中）如图，在中，．
（1）用直尺和圆规作的中垂线，交于点D；（要求保留作图痕迹）
（2）连接，若，，求的周长．
【答案】（1）解：如图所示，直线即为所求．
（2）解：由（1）可知，直线是线段的垂直平分线，
，
的周长=．
，
∴的周长为．
答： ACD的周长为12.
【知识点】线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）根据线段垂直平分线的尺规作图步骤“分别以B、C为圆心，大于BC的长为半径画弧，过两弧的交点作直线MN，直线MN即为所求”可求解；
（2）由线段垂直平分线的性质“线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”可得，然后有三角形的周长等于三边之和可求解.
21．（2024八上·鹿城期中）如图，点E，F在上，，，．
（1）证明：；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）证明：∵，
∴．
即．
∵，，
∴．
（2）解：∵，
∴．
∵，且，
∴．
【知识点】三角形全等的判定-SSS；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】先根据线段的和差得到，利用SSS得到解题；
（2）根据全等三角形的对应角相等得到，即可得到，解题即可 ．
（1）∵，
∴．
即．
∵，，
∴．
（2）∵，
∴．
∵，且，
∴．
22．（2024八上·鹿城期中）已知关于x的方程的解为负数．
（1）求a的取值范围；
（2）已知，且，求的取值范围．
【答案】（1）解∶解关于x的方，
得
因为解为负数，
所以
解这个不等式，得
所以a的取值范围是；
（2）解：，
，
，
，
，
，
，
∴，
，
，
【知识点】解一元一次不等式组；解系数含参的一元一次方程
【解析】【分析】（1）先解方程求出x的值，再根据方程的解是负数列不等式，解不等式即可；
（2）先求出a的取值范围，然后代入代数式求出a+b=2a+3，利用a的取值范围解题即可.
（1）解∶解关于x的方，
得
因为解为负数，
所以
解这个不等式，得
所以a的取值范围是
（2）
∴，
23．（2024八上·鹿城期中）为更好的推进生活垃圾分类，改善城市生态环境，某小区准备购买A、B两种型号的垃圾箱，市场调研得知：购买3个A型垃圾箱和2个B型垃圾箱共需390元，购买2个A型垃圾箱比购买1个B型垃圾箱少用20元．
（1）求每个A型垃圾箱和每个B型垃圾箱分别多少元？
（2）该小区计划用不多于1500元的资金购买A、B两种型号的垃圾箱共20个，且A型号垃圾箱个数不多于B型号垃圾箱个数的3倍，则该小区购买A、B两种型号的垃圾箱有哪些方案？
【答案】（1）解：设每个A型垃圾箱x元，每个B型垃圾箱y元．
依题意，得：
，
解得：．
答：每个A型垃圾箱50元，每个B型垃圾箱120元；
（2）解：设购买m个B型垃圾箱，则购买个A型垃圾箱．
依题意，得：
，
解得：．
又∵m为整数，
∴m可以为5，6，7，
∴有3种购买方案：方案1：购买15个A型垃圾箱，购买5个B型垃圾箱；
方案2：购买14个A型垃圾箱，购买6个B型垃圾箱；
方案3：购买13个A型垃圾箱，购买7个B型垃圾箱．
【知识点】一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的应用-和差倍分问题
【解析】【分析】（1）设每个A型垃圾箱x元，每个B型垃圾箱y元，根据“购买3个A型垃圾箱的费用+2个B型垃圾箱的费用=390元，购买2个A型垃圾箱的费用=购买1个B型垃圾箱的费用-20元”可得关于x、y的二元一次方程组，解之即可求解；
（2）设购买B型垃圾箱m个，则购买A型垃圾箱个，根据“购买（20-m）个A型垃圾箱的费用+m个B型垃圾箱的费用≤1500元， A型号垃圾箱个数≤3×B型号垃圾箱个数 ”列出关于m的不等式组，解不等式组求出m的范围，并结合m为整数即可求解．
24．（2024八上·鹿城期中）如图，于点，连接，，，，点在线段上运动时（不与A，重合），点在线段上，满足，连接．当为中点时，恰好与点重合．
（1）求的长．
（2）若，运动到中点时，求证：直线．
（3）连接，当是等腰三角形时，请写出所有符合条件的的长．
【答案】（1）解：∵于点E，∴，
∵，，
∴，
∵当P为中点时，Q恰好与点E重合，且，
∴，
∴，
∴的长是12．
（2）证明：由已知得，当P为中点时，Q恰好与点E重合，如图，延长交于点F，
∵，P为中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
（3）解：当是等腰三角形，且时，如图，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴；
时，如图，
∵，且，，，
∴，
∴，
∴，
∴；
∵垂直平分，
∴若点Q与点C重合，则，
∵点P不与B重合，且，
∴点Q不与点C重合，
∴不存在的情况；
综上所述，的长为或．
【知识点】垂线的概念；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）利用勾股定理得到，再根据中点得到，然后利用线段的和差求出；
（2）延长交于点F，即可得到，进而求出，可以证明，即可得到结论；
（3）分，，三种情况，分别利用勾股定理和三线合一解题即可．
（1）解：∵于点E，
∴，
∵，，
∴，
∵当P为中点时，Q恰好与点E重合，且，
∴，
∴，
∴的长是12．
（2）证明：由已知得，当P为中点时，Q恰好与点E重合，
如图，延长交于点F，
∵，P为中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
（3）解：当是等腰三角形，且时，如图，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴；
时，如图，
∵，且，，，
∴，
∴，
∴，
∴；
∵垂直平分，
∴若点Q与点C重合，则，
∵点P不与B重合，且，
∴点Q不与点C重合，
∴不存在的情况；
综上所述，的长为或．
浙江省温州市鹿城区2024-2025学年上学期八年级期中数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2024八上·鹿城期中）下列在线学习平台的图标中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024八上·鹿城期中）如果一个三角形的两边长都是6，则第三边的长不能是（ ）
A．3 B．6 C．9 D．13
3．（2024八上·鹿城期中）如果，下列各式中不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024八上·鹿城期中）下列选项中，可以用来证明命题“若a >1,则a＞1”是假命题的反例是（ ）
A．a=－2. B．a=－1 C．a=1 D．a=2
5．（2024八上·鹿城期中）将不等式组 的解集表示在数轴上，下列正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2024八上·鹿城期中）中，，，所对的边分别为，，，下列条件不能判断是直角三角形的是（ ）
A． B．，，
C． D．
7．（2024八上·鹿城期中）将一副三角板按如图位置摆放，若∠BDE＝75°，则∠AMD的度数是（ ）
A．75° B．80° C．85° D．90°
8．（2024八上·鹿城期中）如图， 在中，， 使． 再分别以点 D、E为圆心， 大于，两弧在内交于点F， 作射线交边于点 G， 若，， 则的面积为（ ）
A．12 B．16 C．24 D．32
9．（2024八上·鹿城期中）如图，四边形是正方形，直线分别通过三点，且．若a与b之间的距离是与c之间的距离是7，则正方形的面积是（ ）
A． B． C． D．
10．（2024八上·鹿城期中）如图，是的角平分线，，，，P，Q分别是和上的任意一点，连接，，，，给出下列结论：
①；
②；
③的最小值是；
④若平分，则的面积为9．
其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分．
11．（2024八上·鹿城期中）命题“两直线平行，内错角相等”的题设是 ，结论是
12．（2024八上·鹿城期中）在中，，，，点D是的中点，则 ．
13．（2024八上·鹿城期中）已知关于x的不等式组无解，则a的取值范围为 ．
14．（2024八上·鹿城期中）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D，E分别在AB，BC上，连结 CD，DE，若BC= BD，AC=1，∠CDE=45°， 则BE的长为 ．
15．（2024八上·鹿城期中）如图，在矩形中，点E在边上，沿折叠得到，且点B，F，E三点共线，连接，若，，则 ， ．
三、计算题：本大题共1小题，共6分．
16．（2024八上·鹿城期中）如图，是等边三角形，D、E分别是边、上的点，且，且、交于点G，且，垂足为F．
（1）求证：；
（2）若，求DG的长度．
四、解答题：本题共8小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（2024八上·鹿城期中）“x与7的和大于2”用不等式表示为 ．
18．（2024八上·鹿城期中）解不等式：
（1）；
（2）．
19．（2024八上·鹿城期中）解不等式组，并写出该不等式组的非负整数解．
20．（2024八上·鹿城期中）如图，在中，．
（1）用直尺和圆规作的中垂线，交于点D；（要求保留作图痕迹）
（2）连接，若，，求的周长．
21．（2024八上·鹿城期中）如图，点E，F在上，，，．
（1）证明：；
（2）若，求的度数．
22．（2024八上·鹿城期中）已知关于x的方程的解为负数．
（1）求a的取值范围；
（2）已知，且，求的取值范围．
23．（2024八上·鹿城期中）为更好的推进生活垃圾分类，改善城市生态环境，某小区准备购买A、B两种型号的垃圾箱，市场调研得知：购买3个A型垃圾箱和2个B型垃圾箱共需390元，购买2个A型垃圾箱比购买1个B型垃圾箱少用20元．
（1）求每个A型垃圾箱和每个B型垃圾箱分别多少元？
（2）该小区计划用不多于1500元的资金购买A、B两种型号的垃圾箱共20个，且A型号垃圾箱个数不多于B型号垃圾箱个数的3倍，则该小区购买A、B两种型号的垃圾箱有哪些方案？
24．（2024八上·鹿城期中）如图，于点，连接，，，，点在线段上运动时（不与A，重合），点在线段上，满足，连接．当为中点时，恰好与点重合．
（1）求的长．
（2）若，运动到中点时，求证：直线．
（3）连接，当是等腰三角形时，请写出所有符合条件的的长．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
、是轴对称图形，故本选项符合题意；
、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
故答案为：．
【分析】一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，据此选择即可．
2．【答案】D
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：设第三边长为x，
∴x＞0，x＜12，
∴x的取值范围为0＜x＜12，
∵13＞12，
∴第三边长不能为13.
故答案为：D
【分析】利用三角形的三边关系定理可知第三边长的取值范围为0＜第三边长＜12，观察各选项，可得答案.
3．【答案】C
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：∵a＞b，
A、两边同时减去4，不等号方向不变，正确，故不符合题意；
B、两边同时乘以-2，不等号方向改变，正确，故不符合题意；
C、两边同时减去1，不等号方向不变，错误，故符合题意；
D、两边同时除以3，不等号方向不变，正确，故不符合题意；
故选C．
【分析】利用不等式的基本性质逐一判断即可解题．
4．【答案】A
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】根据要证明一个结论不成立，可以通过举反例的方法来证明一个命题是假命题：
用来证明命题“若a2＞1，则a＞1”是假命题的反例可以是：a=－2．因为a=－2时，a2＞1，但a＜1．
故答案为：A
【分析】根据要证明一个结论不成立，可以通过举反例的方法来证明一个命题是假命题．
5．【答案】A
【知识点】在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：不等式在数轴上向右画，用空心的点，
不等式也向右画，用实心的圆点，
故答案为：A
【分析】直接在数轴上表示两个不等式的解集即可求出答案.
6．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理；直角三角形的概念
【解析】【解答】解：A、，
，
∴是直角三角形，此选项不符合题意；
B、，，，
，
，
∴是直角三角形，此选项不符合题意；
C、，
最大角，
不是直角三角形，此选项符合题意；
D、，，
，
∴是直角三角形，此选项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】A、根据勾股定理的逆定理可得∠C=90°，然后根据直角三角形的性质可判断求解；
B、由题意先计算a2+b2、c2的值，根据计算结果可得a2+b2=c2，由勾股定理的逆定理可得∠C=90°，然后根据直角三角形的性质可判断求解；
C、由三角形的内角和等于180°并结合已知可求得最大角∠C的度数，根据最大角∠C的度数和直角三角形的定义即可判断求解；
D、由三角形的内角和等于180°并结合已知可求得最大角∠A的度数，根据最大角∠A的度数和直角三角形的定义即可判断求解.
7．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质
【解析】【解答】解：∵∠B＝60°，
∴∠A＝30°，
∵∠BDE＝75°，∠FDE＝45°，
∴∠ADF＝180°﹣75°﹣45°＝60°，
∴∠AMD＝180°﹣30°﹣60°＝90°，
故选：D．
【分析】根据三角形的内角和求出∠ADF的度数，然后根据直角三角形的两锐角互余得到∠A的度数，然后再根据三角形的内角和定理解题.
8．【答案】B
【知识点】角平分线的性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】如图，作于，
由尺规作图可知，是的角平分线，
∵，，
∴，
∴的面积为∶．
故选：B．
【分析】由作图可得是的角平分线，即可得到，然后利用三角形的面积公式计算即可．
9．【答案】C
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：如图：过作交于M，过D作交于N，
则，
，，
，
四边形是正方形，
，
，
在和中
，
，
，
a与b之间的距离是5，b与c之间的距离是7，
，
在中，
由勾股定理得：，
即正方形的面积为74，
故选：C．
【分析】过作交于M，过D作交于N，则有，，，然后证明，即可得到，求得，在中，根据勾股定理即可得到．
10．【答案】B
【知识点】垂线段最短及其应用；三角形三边关系；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理
【解析】【解答】解：①∵，是的角平分线，
∴，，
∴垂直平分，
∴，
∴，
在 APQ中，，
∴，
∴原结论正确；
②∵，
∴，，
∵是的角平分线，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴原结论正确；
③由①可得，，
∴当最小时，最小，
过点A作于点M，如图所示：
当点P在与交点上时，，且最小值为，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
即的最小值是，
∴原结论错误；
④过点P作于点N，如图所示：
∵平分，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴原结论正确；
综上可得，正确的有①②④．
故答案为：B.
【分析】
①根据等腰三角形的性质“等腰三角形的三线合一”可得垂直平分，由线段的垂直平分线的性质“线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”可得，再根据三角形三边关系“三角形的任意两边之和大于第三边”即可求解；
②根据角平分线的定义，平行线的性质、等腰三角形的性质，证明，，得出，，即可得出结论；
③过点A作于点M，当点P在与交点上时，，此时最小，且最小值为，根据等积法求出即可；
④过点P作于点N，得出，求出，即可求出结果．
11．【答案】如果两条平行线被第三条直线所截；那么内错角相等
【知识点】定义、命题、定理、推论的概念
【解析】【解答】解：题设：如果两条平行线被第三条直线所截；结论：那么内错角相等．
【分析】命题由题设和结论两部分组成．题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项．命题常常可以写为“如果…那么…”的形式，如果后面接题设，而那么后面接结论．
12．【答案】
【知识点】勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：如图，在中，
，，，
点D是的中点，
．
故答案为：．
【分析】先根据勾股定理得到，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解题即可．
13．【答案】
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解： 解不等式得，解不等式得，
不等式组无解，，求得.
故答案为：.
【分析】根据不等式组解集同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解，求解a的取值范围.
14．【答案】
【知识点】勾股定理；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝BD=1
∴AB=，∠A＝∠B＝45°．
∵∠CDB＝∠A＋∠ACD＝∠CDE＋∠BDE，∠CDE＝45°，
∴∠ACD＝∠BDE，
∴△CAD△DBE，
∴BE=AD=AB-BD=．
故答案是：
【分析】先利用勾股定理求出AB=，然后利用AAS得到△CAD△DBE，即可得到BE=AD解题即可．
15．【答案】；
【知识点】勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：设交于H，如图：
设，，
∵沿折叠得到，
∴，，
∵，
∴，
在中，，
∴①，
在中，，
∴②，
①②联立解方程组得，或（舍去），
∴，，
∴；
，
∵沿折叠得到，
∴，，
∴，
∴，
∴；
故答案为：，．
【分析】设交于H，，，根据勾股定理可得，，即可得关于x、y的方程组，解方程组得，，然后根据三角形的面积求出的值，再根据线段的构成DF=DH+FH即可求解．
16．【答案】（1）证明：∵是等边三角形，∴，，
∵
∴
∴
在与中，，
∴≌，
∴
（2）解：∵，
∴，
∴
∵，即，
∴，
∴在中，，
∵
∴DG=2
【知识点】等边三角形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）利用等边三角形的性质可证得AC=BC=AB，∠A=∠BCE=60°，同时可证得AD=CE，利用SAS可证得≌，然后利用全等三角形的性质可证得结论
（2）利用由（1）可求出∠DGF、∠EGC的度数，即可求出∠FDG的度数，然后利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，可求出GD的长
（1）证明：∵是等边三角形，
∴，，
∵
∴
∴
在与中，，
∴≌，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴
∵，即，
∴，
∴在中，，
∵，
∴．
17．【答案】x+7>2
【知识点】列一元一次不等式
【解析】【解答】解： x与7的和大于2”用不等式表示为 ：x+7>2
故答案为：x+7>2.
【分析】根据题意把文字描述转化为数学符号语言即可.
18．【答案】（1）解：移项得：，
合并同类项得：，
解得：；
（2）解：去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
解得：．
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【分析】（1）根据移项，合并，系数化为1解不等式即可；
（2）利用去分母，去括号，移项，合并，系数化为1解不等式即可．
（1）解：移项得：，
合并同类项得：，
解得：；
（2）去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
解得：．
19．【答案】解：，
对于，去括号，得：，
移项，得：，
合并同类项，得：，
对于，移项，得：，
合并同类项，得：，
系数化为，得：，
不等式组的解集为，
该不等式组的非负整数解为或
【知识点】一元一次不等式组的特殊解
【解析】【分析】先分别解两个不等式，然后求出不等式组的解集，最后得到非负整数解即可．
20．【答案】（1）解：如图所示，直线即为所求．
（2）解：由（1）可知，直线是线段的垂直平分线，
，
的周长=．
，
∴的周长为．
答： ACD的周长为12.
【知识点】线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）根据线段垂直平分线的尺规作图步骤“分别以B、C为圆心，大于BC的长为半径画弧，过两弧的交点作直线MN，直线MN即为所求”可求解；
（2）由线段垂直平分线的性质“线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”可得，然后有三角形的周长等于三边之和可求解.
21．【答案】（1）证明：∵，
∴．
即．
∵，，
∴．
（2）解：∵，
∴．
∵，且，
∴．
【知识点】三角形全等的判定-SSS；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】先根据线段的和差得到，利用SSS得到解题；
（2）根据全等三角形的对应角相等得到，即可得到，解题即可 ．
（1）∵，
∴．
即．
∵，，
∴．
（2）∵，
∴．
∵，且，
∴．
22．【答案】（1）解∶解关于x的方，
得
因为解为负数，
所以
解这个不等式，得
所以a的取值范围是；
（2）解：，
，
，
，
，
，
，
∴，
，
，
【知识点】解一元一次不等式组；解系数含参的一元一次方程
【解析】【分析】（1）先解方程求出x的值，再根据方程的解是负数列不等式，解不等式即可；
（2）先求出a的取值范围，然后代入代数式求出a+b=2a+3，利用a的取值范围解题即可.
（1）解∶解关于x的方，
得
因为解为负数，
所以
解这个不等式，得
所以a的取值范围是
（2）
∴，
23．【答案】（1）解：设每个A型垃圾箱x元，每个B型垃圾箱y元．
依题意，得：
，
解得：．
答：每个A型垃圾箱50元，每个B型垃圾箱120元；
（2）解：设购买m个B型垃圾箱，则购买个A型垃圾箱．
依题意，得：
，
解得：．
又∵m为整数，
∴m可以为5，6，7，
∴有3种购买方案：方案1：购买15个A型垃圾箱，购买5个B型垃圾箱；
方案2：购买14个A型垃圾箱，购买6个B型垃圾箱；
方案3：购买13个A型垃圾箱，购买7个B型垃圾箱．
【知识点】一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的应用-和差倍分问题
【解析】【分析】（1）设每个A型垃圾箱x元，每个B型垃圾箱y元，根据“购买3个A型垃圾箱的费用+2个B型垃圾箱的费用=390元，购买2个A型垃圾箱的费用=购买1个B型垃圾箱的费用-20元”可得关于x、y的二元一次方程组，解之即可求解；
（2）设购买B型垃圾箱m个，则购买A型垃圾箱个，根据“购买（20-m）个A型垃圾箱的费用+m个B型垃圾箱的费用≤1500元， A型号垃圾箱个数≤3×B型号垃圾箱个数 ”列出关于m的不等式组，解不等式组求出m的范围，并结合m为整数即可求解．
24．【答案】（1）解：∵于点E，∴，
∵，，
∴，
∵当P为中点时，Q恰好与点E重合，且，
∴，
∴，
∴的长是12．
（2）证明：由已知得，当P为中点时，Q恰好与点E重合，如图，延长交于点F，
∵，P为中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
（3）解：当是等腰三角形，且时，如图，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴；
时，如图，
∵，且，，，
∴，
∴，
∴，
∴；
∵垂直平分，
∴若点Q与点C重合，则，
∵点P不与B重合，且，
∴点Q不与点C重合，
∴不存在的情况；
综上所述，的长为或．
【知识点】垂线的概念；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）利用勾股定理得到，再根据中点得到，然后利用线段的和差求出；
（2）延长交于点F，即可得到，进而求出，可以证明，即可得到结论；
（3）分，，三种情况，分别利用勾股定理和三线合一解题即可．
（1）解：∵于点E，
∴，
∵，，
∴，
∵当P为中点时，Q恰好与点E重合，且，
∴，
∴，
∴的长是12．
（2）证明：由已知得，当P为中点时，Q恰好与点E重合，
如图，延长交于点F，
∵，P为中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
（3）解：当是等腰三角形，且时，如图，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴；
时，如图，
∵，且，，，
∴，
∴，
∴，
∴；
∵垂直平分，
∴若点Q与点C重合，则，
∵点P不与B重合，且，
∴点Q不与点C重合，
∴不存在的情况；
综上所述，的长为或．
