2024~2025学年北京海淀区北京一零一中学高三下学期开学考试物理试卷
一、不定项选择题
1、如图所示，在竖直光滑墙壁上用细绳将一个质量为的球挂在点，平衡时细绳与竖直墙的夹角为，．墙壁对球的支持力大小为，细绳对球的拉力大小为，重力加速度为．则下列说法正确的是（ ）
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
2、研究滑动摩擦力大小的实验装置如图所示，木块和木板叠放于水平桌面上，弹簧测力计的一端水平固定，另一端通过水平细绳与木块相连，用缓慢增大的力拉动木板，使之在桌面上滑动（木块始终未脱离木板）．弹簧测力计示数稳定后（ ）
A. 木块相对桌面静止，弹簧测力计示数与木板的运动状态有关
B. 木块相对桌面静止，弹簧测力计示数与木板的运动状态无关
C. 木板相对桌面运动，弹簧测力计示数与木板和桌面间的动摩擦因数有关
D. 木板相对桌面运动，弹簧测力计示数与木板和桌面间的动摩擦因数无关
3、物体静止放在光滑的水平面上，今以恒力沿水平方向推动该物体做直线运动，在相同的时间间隔内．下列说法正确的是（ ）
A. 物体的位移相等
B. 物体速度变化量相等
C. 物体动能的变化量相等
D. 物体动量的变化量相等
4、.如图所示，水平地面上有两块完全相同的木块、，在水平推力作用下，一起向右运动，用 代表、间的相互作用力，下列说法中正确的是（ ）
A. 若地面是光滑的，则
B. 若地面是光滑的，则
C. 若地面是粗糙的，则
D. 若地面是粗糙的，则
5、伽利略在著名的斜面实验中，让小球分别沿倾角不同、阻力很小的斜面从静止开始滚下，通过实验观察和逻辑推理，得到的正确结论有（ ）
A. 倾角一定时，小球在斜面上的位移与时间成正比
B. 倾角一定时，小球在斜面上的速度与时间成正比
C. 斜面长度一定时，小球从顶端滚到底端时的速度与倾角无关
D. 斜面长度一定时，小球从顶端滚到底端时的时间与倾角无关
6、一辆货车运载着圆柱形光滑的空油桶。在车厢底，一层油桶平整排列，相互紧贴并被牢牢固定，上一层只有一只桶C，自由地摆放在桶A、B之间，没有用绳索固定。桶C受到桶A和桶B的支持，和汽车一起保持静止，如图所示。已知重力加速度为g，每个桶的质量都为m，当汽车以某一加速度a向左加速时（ ）
A. 桶C受到桶A的支持力变大
B. 桶C受到桶B的支持力变大
C. 加速度 a大于时，桶C将离开桶A向桶B滚动
D. 桶C周围与之接触的物体对其施加的合力大小为 ma
7、右图是某同学站在压力传感器上做下蹲-起立的动作时传感器记录的压力随时间变化的图线，纵坐标为压力，横坐标为时间．由图线可知，该同学的体重约为，除此以外还可以得到以下信息（ ）
A. 下蹲过程中人始终处于失重状态
B. 时人处于下蹲静止状态
C. 末至末重力对人的冲量为零
D. 内完成了两套完整的下蹲-起立动作
8、一物体静止在升降机的地板上，在升降机加速上升的过程中，地板对物体的支持力所做的功等于（ ）
A. 物体势能的增加量
B. 物体动能的增加量
C. 物体动能的增加量加上物体势能的增加量
D. 物体动能的增加量加上克服重力所做的功
9、某同学使用轻弹簧、直尺、钢球等制作了一个“竖直加速度测量仪”．如图所示，弹簧上端固定，在弹簧旁沿弹簧长度方向固定一直尺．不挂钢球时，弹簧下端指针位于直尺刻度处:下端悬挂钢球，静止时指针位于直尺刻度处．将直尺不同刻度对应的加速度标在直尺上，就可用此装置直接测量竖直方向的加速度．取竖直向上为正方向，重力加速度大小为．下列说法正确的是（ ）
A. 刻度对应的加速度为
B. 刻度对应的加速度为
C. 刻度对应的加速度为
D. 该测量仪上的刻度所对应的加速度的值是均匀的
10、一列简谐机械横波沿x轴正方向传播，波速为2m/s。某时刻波形如下图所示，a、b两质点的平衡位置的横坐标分别为，，则下列说法中正确的是（ ）
A. 这列波的周期为4s
B. 此时质点 b沿 y轴负方向运动
C. 此时质点 a的加速度比质点 b的加速度大
D. 此时刻以后， a比 b先到达平衡位置
11、如图所示为游乐场中过山车的一段轨道，P点是这段轨道的最高点，A、B、C三处是过山车的车头、中点和车尾．假设这段轨道是圆轨道，各节车厢的质量相等，过山车在运行过程中不受牵引力，所受阻力可忽略．那么过山车在通过P点的过程中，下列说法正确的是( )
A. 车头A通过P点时的速度最小
B. 车的中点B通过P点时的速度最小
C. 车尾C通过P点时的速度最小
D. A、B、C通过P点时的速度一样大
12、地球的同步卫星可以根据所在的轨道平面不同进行分类，其中轨道平面在地球赤道面上的叫静止同步卫星，倾斜轨道同步卫星的轨道平面与地球赤道平面成一定夹角，如图所示．两种同步卫星的绕行轨道都为圆轨道，运行周期都等于地球的自转周期．下列说法中正确的是
A. 两种同步卫星的轨道半径大小相等
B. 两种同步卫星的运行速度都小于第一宇宙速度
C. 同步卫星的向心加速度可能大于地表的重力加速度
D. 随着科技的发展，将来一定能发射定点于北京上空的地球同步卫星
13、某同学以一定的初速度竖直向上抛出一小球，小球可视为质点，以抛出点为为坐标原点和零势能点，竖直向上为正方向，不计空气阻力，图中能正确反映小球从抛出到落回抛出点过程中，动能 或重力势能 随时间或位移的变化关系的是
A.
B.
C.
D.
14、如图所示，一轻质细绳的下端系一质量为m的小球，绳的上端固定于O点。现用手将小球拉至水平位置（绳处于水平拉直状态），松手后小球由静止开始运动。在小球摆动过程中绳突然被拉断，绳断时与竖直方向的夹角为α。已知绳能承受的最大拉力为F，若想求出cosα值，你有可能不会求解，但是你可以通过一定的物理分析，对下列结果目的合理性做出判断。根据你的判断cosα值应为（ ）
A.
B.
C.
D.
二、论述、计算题
15、质量为的箱子放在水平地面上，箱子和地面的滑动摩擦因数为，现用与水平方向成倾角的力拉箱子，如图所示．箱子从静止开始运动，末撤去拉力，（，），求：
(1) 撤去拉力时箱子的速度为多大？
(2) 箱子继续运动多长时间才能静止？
(3) 箱子在整个运动过程中克服摩擦力做功为多少？
16、某位同学为了研究超重和失重现象，将重为50N的物体带上竖直方向上运动的电梯，并将它水平放在电梯中的传感器上，若电梯由静止开始运动，并开始计时，测得重物对支持面的压力F随时间变化的图象如图所示，根据图中的信息，求：（1）判断电梯的运动方向；（2）电梯运动的最大速度；（3）电梯运动的最大距离。
17、如图所示，绷紧的传送带与水平面的夹角，长度，传送带在电动机的带动下，始终保持的速率运行，现把一质量为的工件（可看作质点）轻轻放在传送带的底端将其运输到顶端，已知滑板与斜面间的动摩擦因数为，取，传送工件的过程中不考虑轮与轴间的摩擦损耗．求.
(1) 运送工件所的时间；
(2) 整个过程中，传送带对工件做的功:
(3) 整个过程中，电动机输出的能量．
18、滑板运动是青少年喜爱的一项活动。如图所示，滑板运动员以某一初速度从点水平离开高的平台，运动员(连同滑板)恰好能无碰撞的从点沿圆弧切线进入竖直光滑圆弧轨道，然后经点沿固定斜面向上运动至最高点。圆弧轨道的半径为，、为圆弧的两端点，其连线水平，圆弧对应圆心角，斜面与圆弧相切于点。已知滑板与斜面问的动摩擦因数为，，，，不计空气阻力，运动员(连同滑板)质量为，可视为质点。
(1) 运动员(连同滑板)离开平台时的初速度。
(2) 运动员(连同滑板)通过圆弧轨道最底点对轨道的压力。
(3) 运动员(连同滑板)在斜面上滑行的最大距离。
19、如图所示，用不可伸长的轻绳将物块A悬挂于O点，轻绳的长度为L。现将轻绳拉至水平，将物块A由静止释放。当物块A运动至最低点时，恰好与静止在水平面上的物块B发生碰撞后反弹，反弹后离地的高度为。碰撞后物块B在水平面上滑行一段距离后停下来。已知物块A的质量为m，物块B的质量为5m，A、B均可视为质点，重力加速度大小为g，不计空气阻力的影响。（1）求碰撞前瞬间，物块A的速度大小；（2）求碰撞后瞬间，物块B的速度大小；（3）求A、B碰撞过程中产生的热量。
20、一球形人造卫星，其最大横截面积为，质量为，在轨道半径为的高空绕地球做圆周运动．由于受到稀薄空气阻力的作用，导致卫星运动的轨道半径逐渐变小．卫星在绕地球运转很多圈之后，其轨道的高度下降了，由于，所以可以将卫星绕地球运动的每一圈均视为匀速圆周运动．设地球可看成质量为的均匀球体，万有引力常量为．取无穷远处为零势能点，当卫星的运行轨道半径为时，卫星与地球组成的系统具有的势能可表示为．
(1) 求人造卫星在轨道半径为的高空绕地球做圆周运动的周期.
(2) 某同学为估算稀落空气对卫星的阻力大小，做出了如下假设；卫星运行轨道范围内稀薄空气的密度为，且为恒量；稀薄空气可看成是由彼此不发生相互作用的颗粒组成的，所有的颗粒原来都静止，它们与人造卫星在很短时间内发生碰撞后便都具有卫星相同的速度，在与这些颗粒碰撞的前后，卫星的速度可认为保持不变．在满足上述假设的条件下，请推导：
①估算空气颗粒对卫星在半径为轨道上运行时，所受阻力大小的表达式；
②估算人造卫星由半径为的轨道降低到半径为的轨道的过程，卫星绕地球运动圈数的表达式．2024~2025学年北京海淀区北京一零一中学高三下学期开学考试物理试卷
一、不定项选择题
1、如图所示，在竖直光滑墙壁上用细绳将一个质量为的球挂在点，平衡时细绳与竖直墙的夹角为，．墙壁对球的支持力大小为，细绳对球的拉力大小为，重力加速度为．则下列说法正确的是（ ）
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
【答案】 C;
【解析】 受力分析可得 ，，．
由于，，，因此可知，．
故选C．
2、研究滑动摩擦力大小的实验装置如图所示，木块和木板叠放于水平桌面上，弹簧测力计的一端水平固定，另一端通过水平细绳与木块相连，用缓慢增大的力拉动木板，使之在桌面上滑动（木块始终未脱离木板）．弹簧测力计示数稳定后（ ）
A. 木块相对桌面静止，弹簧测力计示数与木板的运动状态有关
B. 木块相对桌面静止，弹簧测力计示数与木板的运动状态无关
C. 木板相对桌面运动，弹簧测力计示数与木板和桌面间的动摩擦因数有关
D. 木板相对桌面运动，弹簧测力计示数与木板和桌面间的动摩擦因数无关
【答案】 B;D;
【解析】
3、物体静止放在光滑的水平面上，今以恒力沿水平方向推动该物体做直线运动，在相同的时间间隔内．下列说法正确的是（ ）
A. 物体的位移相等
B. 物体速度变化量相等
C. 物体动能的变化量相等
D. 物体动量的变化量相等
【答案】 B;D;
【解析】
4、.如图所示，水平地面上有两块完全相同的木块、，在水平推力作用下，一起向右运动，用 代表、间的相互作用力，下列说法中正确的是（ ）
A. 若地面是光滑的，则
B. 若地面是光滑的，则
C. 若地面是粗糙的，则
D. 若地面是粗糙的，则
【答案】 B;D;
【解析】
5、伽利略在著名的斜面实验中，让小球分别沿倾角不同、阻力很小的斜面从静止开始滚下，通过实验观察和逻辑推理，得到的正确结论有（ ）
A. 倾角一定时，小球在斜面上的位移与时间成正比
B. 倾角一定时，小球在斜面上的速度与时间成正比
C. 斜面长度一定时，小球从顶端滚到底端时的速度与倾角无关
D. 斜面长度一定时，小球从顶端滚到底端时的时间与倾角无关
【答案】 B;
【解析】
6、一辆货车运载着圆柱形光滑的空油桶。在车厢底，一层油桶平整排列，相互紧贴并被牢牢固定，上一层只有一只桶C，自由地摆放在桶A、B之间，没有用绳索固定。桶C受到桶A和桶B的支持，和汽车一起保持静止，如图所示。已知重力加速度为g，每个桶的质量都为m，当汽车以某一加速度a向左加速时（ ）
A. 桶C受到桶A的支持力变大
B. 桶C受到桶B的支持力变大
C. 加速度 a大于时，桶C将离开桶A向桶B滚动
D. 桶C周围与之接触的物体对其施加的合力大小为 ma
【答案】 B;C;
【解析】 【详解】AB．桶C受到桶A和桶B的支持，和汽车一起保持静止时，桶C受到桶A和桶B的支持大小相等，则有
解得
汽车以某一加速度a向左加速时，对C分析有
，
解得
，
可知，桶C受到桶A的支持力变小，桶C受到桶B的支持力变大，故A错误，B正确；C．根据上述可知，当加速度a等于时，解得
，
可知，当加速度a大于时，桶C将离开桶A向桶B滚动，故C正确；D．对C分析可知，桶C周围与之接触的物体对其施加的合力大小为
故D错误。故选BC。
7、右图是某同学站在压力传感器上做下蹲-起立的动作时传感器记录的压力随时间变化的图线，纵坐标为压力，横坐标为时间．由图线可知，该同学的体重约为，除此以外还可以得到以下信息（ ）
A. 下蹲过程中人始终处于失重状态
B. 时人处于下蹲静止状态
C. 末至末重力对人的冲量为零
D. 内完成了两套完整的下蹲-起立动作
【答案】 D;
【解析】
8、一物体静止在升降机的地板上，在升降机加速上升的过程中，地板对物体的支持力所做的功等于（ ）
A. 物体势能的增加量
B. 物体动能的增加量
C. 物体动能的增加量加上物体势能的增加量
D. 物体动能的增加量加上克服重力所做的功
【答案】 C;D;
【解析】
9、某同学使用轻弹簧、直尺、钢球等制作了一个“竖直加速度测量仪”．如图所示，弹簧上端固定，在弹簧旁沿弹簧长度方向固定一直尺．不挂钢球时，弹簧下端指针位于直尺刻度处:下端悬挂钢球，静止时指针位于直尺刻度处．将直尺不同刻度对应的加速度标在直尺上，就可用此装置直接测量竖直方向的加速度．取竖直向上为正方向，重力加速度大小为．下列说法正确的是（ ）
A. 刻度对应的加速度为
B. 刻度对应的加速度为
C. 刻度对应的加速度为
D. 该测量仪上的刻度所对应的加速度的值是均匀的
【答案】 B;C;D;
【解析】
10、一列简谐机械横波沿x轴正方向传播，波速为2m/s。某时刻波形如下图所示，a、b两质点的平衡位置的横坐标分别为，，则下列说法中正确的是（ ）
A. 这列波的周期为4s
B. 此时质点 b沿 y轴负方向运动
C. 此时质点 a的加速度比质点 b的加速度大
D. 此时刻以后， a比 b先到达平衡位置
【答案】 A;C;
【解析】 【分析】【详解】A．由图能直接读出波长λ=8m，由波速公式
得该波的周期T=4s，故A正确；B．波向右传播，根据上下波法可知，b质点正在向y轴正方向运动，故B错误；C．质点a离平衡位置比b远，即a的位移比b的位移大，由
可知，此时质点a的加速度比质点b的加速度大，故C正确；D．根据上下波可知，ab质点均沿y轴正方向运动，故b比a先到达平衡位置，故D错误。故选AC。
11、如图所示为游乐场中过山车的一段轨道，P点是这段轨道的最高点，A、B、C三处是过山车的车头、中点和车尾．假设这段轨道是圆轨道，各节车厢的质量相等，过山车在运行过程中不受牵引力，所受阻力可忽略．那么过山车在通过P点的过程中，下列说法正确的是( )
A. 车头A通过P点时的速度最小
B. 车的中点B通过P点时的速度最小
C. 车尾C通过P点时的速度最小
D. A、B、C通过P点时的速度一样大
【答案】 B;
【解析】 【详解】试题分析：过山车在运动过程中，受到重力和轨道支持力作用，只有重力做功，机械能守恒，动能和重力势能之间相互转化，则当重力势能最大时，过山车的动能最小，即速度最小，根据题意可知，车的中点B通过P点时，重心的位置最高，重力势能最大，则动能最小，速度最小，故B正确考点：考查了圆周运动实例分析【名师点睛】对过山车的运动过程进行分析，运动过程中只有重力做功机械能守恒，当重力势能最大时，过山车的动能最小，即速度最小，据此分析即可
12、地球的同步卫星可以根据所在的轨道平面不同进行分类，其中轨道平面在地球赤道面上的叫静止同步卫星，倾斜轨道同步卫星的轨道平面与地球赤道平面成一定夹角，如图所示．两种同步卫星的绕行轨道都为圆轨道，运行周期都等于地球的自转周期．下列说法中正确的是
A. 两种同步卫星的轨道半径大小相等
B. 两种同步卫星的运行速度都小于第一宇宙速度
C. 同步卫星的向心加速度可能大于地表的重力加速度
D. 随着科技的发展，将来一定能发射定点于北京上空的地球同步卫星
【答案】 A;B;
【解析】
13、某同学以一定的初速度竖直向上抛出一小球，小球可视为质点，以抛出点为为坐标原点和零势能点，竖直向上为正方向，不计空气阻力，图中能正确反映小球从抛出到落回抛出点过程中，动能 或重力势能 随时间或位移的变化关系的是
A.
B.
C.
D.
【答案】 C;
【解析】
14、如图所示，一轻质细绳的下端系一质量为m的小球，绳的上端固定于O点。现用手将小球拉至水平位置（绳处于水平拉直状态），松手后小球由静止开始运动。在小球摆动过程中绳突然被拉断，绳断时与竖直方向的夹角为α。已知绳能承受的最大拉力为F，若想求出cosα值，你有可能不会求解，但是你可以通过一定的物理分析，对下列结果目的合理性做出判断。根据你的判断cosα值应为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】 D;
【解析】 【分析】【详解】当运动到最低点时，有
又由机械能守恒可得
由以上两式解得
F=3mg
此时
即当时，则时，
即
ABC错误，D正确。故选D.
二、论述、计算题
15、质量为的箱子放在水平地面上，箱子和地面的滑动摩擦因数为，现用与水平方向成倾角的力拉箱子，如图所示．箱子从静止开始运动，末撤去拉力，（，），求：
(1) 撤去拉力时箱子的速度为多大？
【答案】
;
【解析】 物体在拉力作用下加速滑行，受重力、拉力、支持力和滑动摩擦力，
根据牛顿第二定律有：，
解得．
根据速度时间关系公式，末速度为：．
(2) 箱子继续运动多长时间才能静止？
【答案】
;
【解析】 撤去拉力后，物体由于惯性继续滑行，受力，支持力和滑动摩擦力，
根据牛顿第二定律有：，解得．
匀减速过程，根据速度时间关系公式有，解得．
(3) 箱子在整个运动过程中克服摩擦力做功为多少？
【答案】
;
【解析】 根据几何关系可知．
根据牛二定律，，解得．
根据运动学公式，
根据运动学公式，解得．
根据几何关系，
根据牛二定律．
解得：．
根据运动学公式．
故．
16、某位同学为了研究超重和失重现象，将重为50N的物体带上竖直方向上运动的电梯，并将它水平放在电梯中的传感器上，若电梯由静止开始运动，并开始计时，测得重物对支持面的压力F随时间变化的图象如图所示，根据图中的信息，求：（1）判断电梯的运动方向；（2）电梯运动的最大速度；（3）电梯运动的最大距离。
【答案】 （1）方向一直向下；（2）1.2m/s（3）8.4m
;
【解析】 【分析】【详解】（1）根据题可知，根据牛顿第二定律
解得
方向向下，由题可知
故电梯做匀速运动，由牛顿第二定律
解得
方向向上，故电梯一直向下运动；（2）由（1）可知，根据运动学公式
解得
（3）根据运动学公式内
故电梯运动的最大距离
17、如图所示，绷紧的传送带与水平面的夹角，长度，传送带在电动机的带动下，始终保持的速率运行，现把一质量为的工件（可看作质点）轻轻放在传送带的底端将其运输到顶端，已知滑板与斜面间的动摩擦因数为，取，传送工件的过程中不考虑轮与轴间的摩擦损耗．求.
(1) 运送工件所的时间；
【答案】 1.9s
;
【解析】
(2) 整个过程中，传送带对工件做的功:
【答案】 170J
;
【解析】
(3) 整个过程中，电动机输出的能量．
【答案】 230J
;
【解析】
18、滑板运动是青少年喜爱的一项活动。如图所示，滑板运动员以某一初速度从点水平离开高的平台，运动员(连同滑板)恰好能无碰撞的从点沿圆弧切线进入竖直光滑圆弧轨道，然后经点沿固定斜面向上运动至最高点。圆弧轨道的半径为，、为圆弧的两端点，其连线水平，圆弧对应圆心角，斜面与圆弧相切于点。已知滑板与斜面问的动摩擦因数为，，，，不计空气阻力，运动员(连同滑板)质量为，可视为质点。
(1) 运动员(连同滑板)离开平台时的初速度。
【答案】 运动员(连同滑板)离开平台时的初速度为。
;
【解析】 运动员离开平台后从至的过程中，
在竖直方向有：①
在点有：②
由①②得：③。
(2) 运动员(连同滑板)通过圆弧轨道最底点对轨道的压力。
【答案】 运动员(连同滑板)通过圆弧轨道最底点对轨道的压力为。
;
【解析】 运动员在圆弧轨道做圆周运动，
由牛顿第二定律可得④
由机械能守恒得⑤
联立③④⑤解得。
(3) 运动员(连同滑板)在斜面上滑行的最大距离。
【答案】 运动员(连同滑板)在斜面上滑行的最大距离为。
;
【解析】 运动员从至过程有：⑥
运动员从至过程有：⑦
由③⑥⑦解得：。
19、如图所示，用不可伸长的轻绳将物块A悬挂于O点，轻绳的长度为L。现将轻绳拉至水平，将物块A由静止释放。当物块A运动至最低点时，恰好与静止在水平面上的物块B发生碰撞后反弹，反弹后离地的高度为。碰撞后物块B在水平面上滑行一段距离后停下来。已知物块A的质量为m，物块B的质量为5m，A、B均可视为质点，重力加速度大小为g，不计空气阻力的影响。（1）求碰撞前瞬间，物块A的速度大小；（2）求碰撞后瞬间，物块B的速度大小；（3）求A、B碰撞过程中产生的热量。
【答案】 （1）；（2）；（3）
;
【解析】 【详解】（1）当物块A运动至最低点时有
解得
（2）A反弹后离地的高度为，则有
解得
A、B碰撞过程，根据动量守恒定律有
解得
（3）根据能量守恒定律，A、B碰撞过程中产生的热量为
解得
20、一球形人造卫星，其最大横截面积为，质量为，在轨道半径为的高空绕地球做圆周运动．由于受到稀薄空气阻力的作用，导致卫星运动的轨道半径逐渐变小．卫星在绕地球运转很多圈之后，其轨道的高度下降了，由于，所以可以将卫星绕地球运动的每一圈均视为匀速圆周运动．设地球可看成质量为的均匀球体，万有引力常量为．取无穷远处为零势能点，当卫星的运行轨道半径为时，卫星与地球组成的系统具有的势能可表示为．
(1) 求人造卫星在轨道半径为的高空绕地球做圆周运动的周期.
【答案】
;
【解析】 设卫星在轨道运行的周期为，
根据万有引力定律和牛顿第二定律有：
解得：．
(2) 某同学为估算稀落空气对卫星的阻力大小，做出了如下假设；卫星运行轨道范围内稀薄空气的密度为，且为恒量；稀薄空气可看成是由彼此不发生相互作用的颗粒组成的，所有的颗粒原来都静止，它们与人造卫星在很短时间内发生碰撞后便都具有卫星相同的速度，在与这些颗粒碰撞的前后，卫星的速度可认为保持不变．在满足上述假设的条件下，请推导：
①估算空气颗粒对卫星在半径为轨道上运行时，所受阻力大小的表达式；
②估算人造卫星由半径为的轨道降低到半径为的轨道的过程，卫星绕地球运动圈数的表达式．
【答案】 ；
;
【解析】 ①如图所示，最大横截面积为的卫星，经过时间从图中的实线位置运动到了图中的虚线位置，该空间区域的稀薄空气颗粒的质量为
以这部分稀薄空气颗粒为研究对象，碰撞后它们都获得了速度，设飞船给这部分稀薄空气颗粒的平均作用力大小为，根据动量定理有：
根据万有引力定律和牛顿第二定律有：，解得：
根据牛顿第三定律，卫星所受的阻力大小．
②设卫星在轨道运行时的速度为、动能为、势能为、机械能为，
根据牛顿定律和万有引力定律有：
卫星的动能，势能
解得：
卫星高度下降，在半径为轨道上运行，
同理可知其机械能
卫星轨道高度下降，其机械能的改变量
卫星机械能减少是因为克服空气阻力做了功．设卫星在沿半径为的轨道运行一周过程中稀薄空气颗粒作用于卫星的阻力做的功为，
利用小量累积的方法可知：
上式表明卫星在绕不同轨道运行一周，稀薄空气颗粒所施加的阻力做的功是一恒量，与轨道半径无关．
则
解得：
．
