湖南省郴州市宜章第一中学 2024-2025 学年高二下学期第一次段考数
学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知直线 ： + + 6 = 0的倾斜角为60°，则实数 =( )
√ 3 √ 3
A. √ 3 B. C. D. √ 3
3 3
2.在等差数列{ }中， 3 + 11 = 24，则 6 + 7 + 8的值是( )
A. 36 B. 48 C. 72 D. 24
3.已知动直线 ： 2 + 2 = 0恒过定点 ， 为圆 ：( 1)2 + ( 3)2 = 8上一动点， 为坐标原
点，则△ 面积的最大值为( )
8
A. B. 4 C. 6 D. 24
5
4.若数列{ }满足 2 = 2，且 ， ∈
， + = ，则 2 + 4 + 6 + + 2022 =( )
A. 21012 2 B. 22022 1 C. 21011 2 D. 21011 1
5.一个质点作直线运动，其位移 (单位：米)与时间 (单位：秒)满足关系式 = 4 + (3 1)3，则当 = 1时，
该质点的瞬时速度为( )
A. 16米/秒 B. 40米/秒 C. 9米/秒 D. 36米/秒
2 2 3
6.已知椭圆 2 + 2 = 1( > > 0)的离心率为 ，左，右焦点分别为 1， 2，过左焦点 1作直线与椭圆在第 5
一象限交点为 ，若△ 1 2为等腰三角形，则直线 1的斜率为( )
4√ 2 7√ 2 8√ 2
A. B. C. 4√ 5 D.
7 8 7
7.已知函数 ( )的导函数的图象如图所示，则 ( )的极值点的个数为( )
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
8.双曲线 的两个焦点为 1， 2，以 的实轴为直径的圆记为 ，过 1作圆 的切线与 的两支分别交于 ，
两点，且∠ 1 2 = 45°，则 的离心率为( )
√ 3 √ 7
A. B. C. √ 3 D. √ 7
2 2
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
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9.已知直线 ： = 0与圆 ： 2 + 2 4 2 + 1 = 0，则下列说法正确的是( )
A. 直线 恒过定点(1,0) B. 圆 的圆心坐标为(2,1)
C. 存在实数 ，使得直线 与圆 相切 D. 若 = 1，直线 被圆 截得的弦长为2
10.下列曲线在 = 0处的切线的倾斜角为钝角的是( )
A. 曲线 = 2 B. 曲线 = 2
1
C. 曲线 = ( 2) D. 曲线 =
+1
11.如图，棱长为2的正方体 1 1 1 1中， ， 分别为棱 1 1， 1
的中点， 为线段 1 上的动点，则( )
A. 三棱锥 1 的体积为定值
B. 存在点 ，使得 1 ⊥平面
C. 为 1 中点时，直线 与 1所成角最小
4
D. 点 到直线 距离的最小值为
3
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知 = ( 1,1,2)， = (0,2,3)，若 + 与2 垂直，则 = ．
13.设抛物线 2 = 2 ( > 0)的焦点 ，若抛物线上一点 (2, 0)到点 的距离为6，则 0 = ______．
1 1 +1
14.已知数列{ }是正项数列， 是数列{ }的前 项和，且满足 = ( + )，若 2 = ， 是数列 +1
{ }的前 项和，则 99 =______
四、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知圆 经过点(2,0)和(0,2)且圆心在直线 + = 4上．
(1)求圆 的方程；
(2)若点 为圆 上的任意一点，求点 到直线 ：2 + +2 = 0距离的最大值和最小值．
16.(本小题12分)
如图，四棱锥 中， ⊥底面 ，底面 为矩形， = 2， = = 1， ， 分别为 ，
的中点．
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(1)求证： ⊥面 ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值．
17.(本小题12分)
已知数列{ }的前 项和 ，且 +1 = 3 + 1， 1 = 1，数列{ }满足 1 = 1，( + 1) = +1，其中 ∈
．
(1)求{ }和{ }的通项公式；
3 , 为奇数
(2)设 = { 4 ，求数列{ }的前20项和 20．
, 为偶数
( +2)
18.(本小题12分)
2 2
已知椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)的短轴长为2√ 2， (√ 2, 1)是椭圆 上一点．
(1)求椭圆 的方程；
(2)过点 ( ,0)( 为常数，且 ≠ ±2)的直线 与椭圆 交于不同的两点 ， ，与 轴相交于点 ，已知 =
1 ， =
2
2 ，试问( 1 + 2) ( 4)是否为定值？若是、请求出该值；若不是，请说明理由．
19.(本小题12分)
已知函数 ( ) = 3 ．
(1)当 = 1时，求 ( )在(1,1)处的切线方程；
(2)讨论 ( )的单调性；
+3
(3)设 1， 2( 1 < 2)是 ( )的两个零点， ′( )是 ( )的导函数，证明： ′(
1 2) < 0．
4
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
3
12.【答案】
4
13.【答案】±4√ 2
9
14.【答案】
10
15.【答案】解：(1)设圆心为 ( , )，半径为 ( > 0)，
则圆 的标准方程为( )2 + ( )2 = 2，
(2 )2 + (0 )2 = 2 = 2
由已知可得，{(0 )2 + (2 )2 = 2，解得{ = 2，
+ = 4 = 2
所以圆 的标准方程为( 2)2 + ( 2)2 = 4；
(2)由(1)知，圆心为 (2,2)，半径 = 2，
|2×2+2+2| 8√ 5
圆心 (2,2)到直线 ：2 + + 2 = 0的距离 = = > ，
√ 22+12
5
所以直线 与圆 相离，
8√ 5 8√ 5
所以点 到直线 ：2 + + 2 = 0距离的最大值为 + = +2，最小值为 = 2．
5 5
16.【答案】解：(1)证明：∵ ⊥底面 ，底面 为矩形，
易知 ， ， 两两垂直．
∴分别以 ， ， 所在的直线为 ， ， 轴，建系如图，则根据
题意可得：
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(0,0,0)， (1,0,0)， (0,2,0)，
(0,0,1)， (1,2,0)
1 1
， ( , 1, )， (0,1,0)．
2 2
∴
1 1
= ( , 0, )， = (1,0, 1)， = (0,2,0)．
2 2
∴
1 1
= × 1 +0 + ( )× ( 1) = 0， = 0，
2 2
∴ ⊥ ， ⊥ ，又 ∩ = ，
∴ ⊥面 ；
(2)由(1)
1 1
可得， = (1,2, 1)， = ( , 1, )， = ( 1,1,0)．
2 2
设 = ( , , )是平面 的一个法向量，
1 1
= + + = 0
则{ 2 2 ，取 = (1,1, 1)，
= + = 0
1+2+1 2√ 2
∴ cos , = = = ，
| || | √ 6×√ 3 3
∴直线 与平面 所成角的正弦值为2√ 2．
3
17.【答案】解：(1)对于 +1 = 3 +1， 1 = 1，当 = 1时， 1 + 2 = 3 1 +1， 2 = 2 1 + 1 = 3，
当 ≥ 2时，由 +1 = 3 +1得 = 3 1 + 1，
两式相减得 +1 = 3 ( ≥ 2)，由于 2 = 3 1，
所以{ }是首项为1，公比为3的等比数列，所以
1
= 3 ．
+1
对于 1 = 1，( + 1) =
+1
+1， = ，
1 3 2 1 3 2所以 = 1 = 1 = ， 也符合上式，所以 = ． 1 2 2 1 1 2 2 1 1
(2)当 为奇数时， = log3 = 1； 1 = 0， 19 = 18，
0+18
所以 1 + 3 + + 19 = × 10 = 90． 2
4 4 1 1
当 为偶数时， = = = 2( )； ( +2) ( +2) +2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 10
所以 2 + 4 + + 20 = 2[( ) + ( ) + + ( )] = 2( ) = 1 = ． 2 4 4 6 20 22 2 22 11 11
10 1000
所以 20 = 90 + = ． 11 11
18.【答案】解：(1)由短轴长为2√ 2，可得2 = 2√ 2，即 = √ 2，
2 1
将 (√ 2, 1)的坐标代入椭圆的方程： 2 + = 1，可得
2 = 4，
2
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2 2
所以椭圆的方程为： + = 1；
4 2
(2)由题意可知，直线的斜率一定存在，设直线 的方程为 = ( )，设 ( 1, 1)， ( 2 , 2)，
= ( )
联立{ 2 2 ，整理可得：(1 + 2
2) 2 4 2 + 2 2 2 4 = 0，
+ = 1
4 2
= 16 4 4(1+ 2 2)(2 2 2 4) = 32 2 18 2 2 + 16 > 0，
2 2
4 2 2 4
且 1 + 2 = 2， 1 2 = 2 ，
1+2 1+2
则由题意可得 (0, )，由 = 1 ，可得( 1 , 1 + ) = 1( 1, 1)，则 =
1
1 ， 1
= 2 ，可得( 2 , 2 + ) = 2( 2 , 2)，则 1 =
2 ，
2
( )+ ( ) ( + ) 2
所以( 21 + 2) ( 4) = (
1 + 2 )( 2 4) = 1 2 2 1 ( 2 4) = 1 2 1 2
1 2 ( 1)( 2) 2 ( 1+ 2)+ 1 2
( 2 4)
2 2
4 2 2 4
2 2 2
= 1+2 1+2 2
8
2 2 ( 4) = 2 (
2 4) = 8，
2 4 2
2 4 4
2+ 2
1+2 1+2
所以( + ) ( 21 2 4)为定值8．
3
19.【答案】解：(1)当 = 1时， ( ) = 3 + ，导函数 ′( ) = + 1，那么 ′(1) = 4，
因此函数 ( )的图象在(1,1)处的切线方程为 1 = 4( 1)，所以 = 4 3．
3 3
(2) ( ) = 3 的定义域为(0,+∞)，导函数 ′( ) = = ，
当 ≤ 0时，导函数 ′( ) > 0， ( )在(0,+∞)上单调递增，
3 3
当 > 0时，根据导函数 ′( ) < 0，得 > ；导函数 ′( ) > 0，得0 < < ，
3 3
函数 ( )在( ,+∞)上单调递减，在(0, )上单调递增，
因此当 ≤ 0时， ( )的递增区间是(0,+∞)，
3 3
当 > 0时， ( )的单调递减区间是( ,+∞)，单调递增区间是(0, )．
3
(3)证明：因为 1， 2( 1 < 2)是函数 ( )的两个零点，得 > 0，0 < 1 < < 2，
3 2
且3 2 = 2，3 1 = 1，两式相减得：3(
1
2 1) = ( 2 1)，所以 = ， 2 1
2
1+3
3
2 12 12 ′( ) = = 1 ，
4 1+3 2 1+3 2 2 1
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2
1+3 12( )
4( 1)
2 2 1 2 2
要证 ′( ) < 0，只需证 3 < 0，即证 13 ln < 0， 4 1+3 2 1 1+ 2 1
1
2 4( 1)设 = > 1，只需证 < 0 4( 1) (1 + 3 ) < 0，
1 1+3
1
令函数 ( ) = 4( 1) (1 + 3 ) ， > 1，导函数 ′( ) = 1 3 ，
令函数 ( ) = ′( )， > 1，
1 3 1 3
导函数 ′( ) = 2 = < 0，导函数 ′( )在(1,+∞)上单调递减， 2
则 ′( ) < ′(1) = 0，函数 ( )在(1,+∞)上单调递减，于是 ( ) < (1) = 0，
+3
因此4( 1) (1 + 3 ) < 0，所以 ′( 1 2) < 0．
4
第 7 页，共 7 页
