湖南省常德市汉寿县第一中学2024-2025学年
高二下学期2月月考数学试卷
一、单选题
1．已知函数在上可导，若，则（ ）
A．9 B．12 C．6 D．3
2．中国古代五经是指：《诗经》、《尚书》、《礼记》、《周易》、《春秋》，甲、乙2名同学各自选两种书作为兴趣研读，则这两人选读的课外读物中恰有一种相同的选法（ ）
A．30种 B．60种 C．120种 D．240种
3．已知数列满足，且，，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知点，，，动点P满足，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．小甘同学计划在2024年高考后前往西南大学，北京师范大学，陕西师范大学，华东师范大学，华中师范大学，东北师范大学6所部属公费师范大学中随机选两所去参观，则西南大学恰好被选中的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．某班班会准备从含甲、乙的6名学生中选取4人发言，要求甲、乙2人中至少有一人参加，若甲、乙同时参加，则他们发言时顺序相邻，那么不同的发言顺序有（ ）
A．168种 B．240种 C．264种 D．336种
7．国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图1所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆；某校体育馆的钢结构与“鸟巢”相同，其平面图如图2所示，若由外层椭圆长轴一端点和短轴一端点分别向内层椭圆引切线，，且两切线斜率之积等于，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
8．已知定义在上的奇函数满足，当时，，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．四位小伙伴在玩一个“幸运大挑战”小游戏，有一枚幸运星在他们四个人之间随机进行传递，游戏规定：每个人得到幸运星之后随机传递给另外三个人中的任意一个人，这样就完成了一次传递．若游戏开始时幸运星在甲手上，记完成次传递后幸运星仍在甲手上的所有可能传递方案种数为，则（ ）
A． B． C． D．
10．已知直线过点，则下列说法中正确的是（ ）
A．若直线的斜率为2，则的方程为
B．若直线在轴上的截距为2，则的方程为
C．若直线的一个方向向量为，则的方程为
D．若直线与直线平行，则的方程为
11．设为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与交于，两点，若直线为的准线，则（ ）
A． B．
C．以为直径的圆与相切 D．为等腰三角形
三、填空题
12．若，则 .
13．双曲线的右顶点为A，点M，N均在C上，且关于y轴对称，若直线，的斜率之积为，则C的离心率为 .
14．已知函数在其定义域内有两个不同的极值点．则a的取值范围为 ．（结果用区间表示）
四、解答题
15．在正项等比数列中，，．
(1)求的通项公式；
(2)若数列满足：，求数列的最大项．
16．如图，三棱柱中，侧棱底面ABC，且各棱长均相等，D，E，F分别为棱AB，BC，的中点．
(1)证明平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
17．椭圆的左右焦点分别为，，其中，为原点．M是椭圆上任意一点，且．
(1)求椭圆的标准方程及离心率；
(2)过点的斜率为的直线交椭圆于两点．求的面积．
18．设函数.
(1)若是的极值点，求a的值，并求的单调区间；
(2)讨论的单调性；
(3)若，求的取值范围.
19．对于函数，我们无法直接求出它的零点，数学家牛顿用设切线的方法解决了这个问题.设函数的零点为，如果可以找到一步步逼近的，，，，，使得当时，，则可把看做函数的近似解，这个方法被称为“牛顿法”.具体步骤为：选取合适的，在横坐标为的点作的切线，切线与轴的交点的横坐标即，再用代替，重复上面的过程得到，如此循环计算出.我们知道在处的切线的斜率为，由此写出切线方程，因为，所以令得切线与轴交点的横坐标，同理得，，以此类推，可以得到.
(1)对于函数，当时，求，的值；
(2)已知函数的定义域R.
①对于函数，若为公差不为零的等差数列，求证：无零点；
②当时，运用“牛顿法”证明：
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B A C C C C B BD BCD
题号 11
答案 BC
11．BC
12．1或2023
13．
14．
15．(1)
(2)
16．【详解】（1）在三棱柱中，连接，由分别为的中点，得且，
而且，又为的中点，则且，于是且，
因此四边形是平行四边形，则，而平面，平面，
所以平面.
（2）在三棱柱中，侧棱底面，且各棱长均相等，令，
取中点，连接，而为中点，则，有底面，
由正，得，显然直线两两垂直，
以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则，
，设平面的法向量，
则，令，得，令直线与平面所成的角为，
于是，
所以直线与平面所成角的正弦值.
17．(1)；离心率为；
(2)
【详解】（1）由已知，，又因为，，
所以，
所以，，，
椭圆的标准方程为，离心率为；
（2）直线的方程为，设，
由得，
，，
．
到直线的距离为，
所以．
18．
【详解】（1），
，解得，
此时，
令，有或，令，有，
所以是的极值点，满足题意，
所以的单调递增区间是，单调递减区间是.
（2）由（1）知，
当即时，恒成立，
所以在上单调递增；
当即时，由得或，
由得，
故的单调递增区间为和，单调递减区间为；
当即时，由得或，
由得，
故的单调递增区间为和，单调递减区间为；
当即时，由得，得，
故的单调递增区间为，单调递减区间为.
综上，当时，在上单调递增，无递减区间，
当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为，
当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为，
当时，的单调递增区间为，单调递减区间为.
（3）由题意
当时，令，有，令，有，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以
，即
当时，不成立.
综上，.
19．
【详解】（1），故，
；
（2）①因为，而为公差不为0的等差数列，
所以为非零常数.设.可得.
并且.
所以.用此类推，得，
因为为常数，所以当时，，即:
当时，，即.
所以不存在，即无零点.
②，所以.
对于函数，即，
因为，所以，
以此类推，得
，
令，由等比数列求和公式得
，
因此.
时，，即，所以.
