第十章 二元一次方程组
第1课时 二元一次方程组
基础过关
1．若方程mx－2y＝5是二元一次方程，则常数m的取值范围为( )
A．m≠0 B．m≠1
C．m≠－1 D．m≠2
2．下列是二元一次方程组的为( )
A． B．
C． D．
3．下面各组数中，不是二元一次方程3x＋2y＝7的解的是( )
A． B．
C． D．
4．如果方程组的解为那么被“★，■”遮住的两个数分别为( )
A．1，9 B．4，9 C．9，4 D．9，1
5．已知是方程组的解，则a＋b＝________．
6．已知两个二元一次方程：①4x＋y＝8；②2x－y＝4．
(1)对于给出的x的值，在下表中分别写出对应的y的值；
x －1 0 1 2 3
方程① y
方程② y
(2)方程组的解为________．
能力提升
7．二元一次方程x＋2y＝7的正整数解有( )
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
8．若是方程3x＋y＝0的解，则9a＋3b＋2＝__________．
9．对下面的问题，列出二元一次方程组，并根据问题的实际意义，找出问题的解：
某校要为拔河比赛中获得一等奖和二等奖的8个班级购买奖品，其中一等奖奖品每份100元，二等奖奖品每份60元，共花费了600元，求获得一等奖和二等奖的班级分别有多少个？
思维拓展
10．已知二元一次方程组的解是则二元一次方程组的解是( )
A． B．
C． D．
第2课时 解二元一次方程组(1)—— 代入消元法
基础过关
1．用代入法解方程组下列说法正确的是( )
A．把①代入②，消去y
B．把①代入②，消去x
C．把②代入①，消去y
D．把②代入①，消去x
2．方程组的解为( )
A． B．
C． D．
3．已知二元一次方程3x＋y－7＝0．
(1)用含x的式子表示y：____________；
(2)用含y的式子表示x：____________．
4．解下列方程组：
(1)
(2)
能力提升
5．由关于x，y的方程组可知，x与y之间的关系是( )
A．x＋y＝1 B．x＋y＝－1
C．x＋y＝9 D．x＋y＝－9
6．已知是关于x，y的二元一次方程组的解，求mn的值．
7．某校七年级的部分学生报名参加社会实践活动，最初男生、女生的人数之比为4∶3，后来又有15名女生报名，此时女生的人数恰好是男生人数的2倍，求最初报名时男生与女生的人数．
思维拓展
8．【新定义】定义新运算：x*y＝ax＋by＋xy，其中a，b是常数．已知2*1＝9，－3*3＝3，求a，b的值．
第3课时 解二元一次方程组(2)—— 加减消元法
基础过关
1．解方程组时，消去x得到的方程是( )
A．－y＝15 B．－y＝5
C．3y＝15 D．3y＝5
2．用加减消元法解方程组时，若要消去y，可以采取的方法是( )
A．①－②×3
B．②×3－①
C．①＋②×3
D．①×2＋②×3
3．用加减消元法解下列方程组：
(1)
(2)
(3)
能力提升
4．已知二元一次方程组则a＋b＝( )
A．2 B．－8 C．－2 D．8
5．若关于x，y的方程组 的解也是方程x＋y＝5的解，则k的值为( )
A．5 B．－5 C．－10 D．10
6．已知关于x，y的二元一次方程y＝kx＋b满足：当x＝3时，y＝3；当x＝－1时，y＝1．求当x＝－2时，y的值．
思维拓展
7．小明在解方程组时，发现如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，计算量大，且易出现运算错误，采用下面的解法则比较简单．
解：②－①，得6x＋6y＝6，即x＋y＝1．③
①－③×17，得2y＝4，y＝2．
把y＝2代入③，得x＋2＝1，x＝－1．
所以这个方程组的解是
请你仿照上述方法解方程组：
微专题4 二元一次方程组的解法综合
基础过关
1．下列解方程组的方法中，不正确的是( )
A．代入法消a，由②，得a＝b＋2，再代入①
B．代入法消b，由①，得b＝7－2a，再代入②
C．加减法消a，①＋②×2
D．加减法消b，①＋②
2．解下列方程组：
(1)
(2)
3．解二元一次方程组时，两位同学的部分解答过程如下：
圆圆：由②，得y＝9－4x．③ (依据：__________) 把③代入①，得2x＝3(9－4x)＋1．
芳芳：把①代入②，得2(__________)＋y＝9．
(1)补全表格中空白部分的内容；
(2)请选择一种你喜欢的方法完成解答．
能力提升
4．解下列方程组：
(1)
(2)
5．已知不解方程组直接求值：
(1)x＋y；
(2)2x＋y．
思维拓展
6．对实数x，y定义一种新运算G，规定：G(x，y)＝mx＋ny，例如：G(1，4)＝m＋4n．
若G(2，3)＝8，G(3，2)＝2，则＝________．
微专题5 二元一次方程(组)的含参问题
基础过关
1．已知关于x，y的方程kx＋4y＝x－1是二元一次方程，则k的取值范围为( )
A．k≠1 B．k≠－1 C．k≠0 D．k≠2
2．若是二元一次方程组的解，则m＋n的值是( )
A．2 B．－2 C．6 D．－6
3．已知是二元一次方程ax－by＝3的解，则2a＋4b的值是________．
4．若二元一次方程组的解中x与y的值相等，则k的值是________．
5．已知方程组和有相同的解，求a，b的值．
能力提升
6．已知关于x，y的方程组 的解满足x＋y＝2，则m＝________．
7．在解关于x，y的方程组时，某同学把c看错后解得而正确的解是则a，b，c的值分别是( )
A．a＝8，b＝5，c＝5 B．a，b的值不能确定，c＝－5
C．a＝8，b＝10，c＝－5 D．a，b，c的值均不能确定
思维拓展
8．小明在解二元一次方程组 时，发现x的系数“*”印刷不清楚．
(1)小明把“*”当成3，请你帮助小明解二元一次方程组：
(2)数学老师说：“你猜错了，该题标准答案中x，y是一对相反数．”求原题中x的系数“*”的值．
第4课时 实际问题与二元一次方程组(1)—— 和差倍分问题
基础过关
1．某年级共有346名学生，其中男生人数比女生人数的2倍少2人．设女生人数为x，男生人数为y，则可列方程组为( )
A． B．
C． D．
2．某地准备购买一些松树和柏树绿化荒山，已知购买2棵松树和3棵柏树需要花费120元，购买2棵松树比1棵柏树多花费20元，设每棵松树x元，每棵柏树y元，则可列方程组为______________．
3．《算法统宗》中有首住店诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房．设有客房x间，房客y人，则可列方程组为______________．
4．学校为鼓励同学们加强锻炼，准备购买一些羽毛球拍和乒乓球拍作为运动会的奖品．请根据下图中的信息，求出每支羽毛球拍和每支乒乓球拍的价格．
第4题图
能力提升
5．四月份是樱桃上市的旺季．某水果超市两周共销售樱桃140 kg，每千克樱桃第一周的售价比第二周的售价高10元，且第一周的销量与第二周的销量之比为3∶4，该水果超市这两周樱桃的销售总额为11 800元．求第二周樱桃的售价是每千克多少元？
思维拓展
6．【跨学科】通过检测一份中学生营养午餐，得到以下信息：
①午餐总质量为300 g；
②午餐的成分：蛋白质、碳水化合物、脂肪、矿物质；
③蛋白质和脂肪的含量占38%，脂肪含量是矿物质含量的11．5倍，蛋白质和碳水化合物的含量占75%．
(1)设这份营养午餐中蛋白质的质量是x g，脂肪的质量是y g，则碳水化合物的质量为________g，矿物质的质量为________g；(用含x或y的式子表示)
(2)求这份营养午餐中碳水化合物和矿物质的质量．
第5课时 实际问题与二元一次方程组(2)—— 几何与配套问题
基础过关
1．如图，已知AB⊥BC，且∠ABD的度数比∠DBC的度数的两倍少15°，设∠ABD＝x°，∠DBC＝y°，则可列方程组为( )
第1题图
A． B．
C． D．
2．某玩具厂共有300名工人，每名工人每天可生产玩具车架20个或车轮40个，要使每天生产的车架和车轮配套(1个车架配4个车轮)．设有x名工人生产车架，y名工人生产车轮，可列方程组为__________．
3．某校为学生开展拓展性课程，需要在一块长比宽多6 m的长方形场地ABCD(AC＞AB)内建造由两个大棚组成的植物种植区，要求两个大棚之间有一条间隔4 m的路，设计方案如图所示，已知每个大棚的周长为44 m．求每个大棚的长和宽各是多少？
第3题图
能力提升
4．【数形结合】小明利用8个完全一样的直角三角形，拼成了如图所示的两个正方形，则每个直角三角形的面积为________．
第4题图
5．某服装厂生产一批秋装，已知每2 m的布料可做上衣的衣身3个或衣袖5只．现计划将132 m的布料全部用于生产这批秋装(不考虑布料的损耗)，应如何分配布料才能使做的衣身和衣袖恰好配套？
思维拓展
6．用图①中的长方形和正方形纸板作为侧面和底面，可以做成图②中的竖式和横式两种无盖纸盒．现有1 000张正方形纸板和2 000张长方形纸板，如果制作竖式、横式两种无盖纸盒，恰好将纸板用完，那么制作的竖式纸盒有( )
第6题图
A．200个 B．400个
C．600个 D．800个
第6课时 实际问题与二元一次方程组(3)—— 行程与工程问题
基础过关
1．李明骑自行车去离家2 900 m的学校上学，中途因道路施工步行一段路，到学校共用时15 min．已知他骑自行车的速度是250 m/min，步行的速度是80 m/min．设他骑车和步行的时间分别为x min，y min，则可列方程组为______________．
2．一批零件共550个，若甲先做5天后，乙加入，再做9天正好做完；若乙先做5天后，甲加入，再做8天也恰好完成．设甲每天做x个零件，乙每天做y个零件，可列方程组为______________．
3．一首描述孙悟空追妖精的数学诗为：悟空顺风探妖踪，千里只行四分钟，归时四分行六百，风速多少才称雄？大意为：孙悟空顺风去查妖精的行踪，4分钟就飞了1 000里，逆风返回时4分钟飞了600里，则风速为__________里/分钟．
4．玲玲家准备装修一套新住房，若甲、乙两个装修公司合作，需要6周完成；若甲公司单独做4周后，剩下的由乙公司来做，还需9周才能完成，玲玲的爸爸妈妈商量后决定只选一个公司单独完成．如果从节约时间的角度考虑，应选哪家公司？请说明理由．
能力提升
5．甲、乙两人在一环形场地上从起点同时同向匀速跑步，甲的速度是乙的2.5倍，4 min后两人首次相遇，此时乙还需要跑300 m才跑完第一圈，求甲、乙二人的速度及环形场地的周长．
思维拓展
6．某乡村公路长5 280 m，现准备由甲、乙两个工程队合作完成修路．已知两个工程队各有20名工人，甲工程队工作2天，乙工程队工作3天，共修路700 m；甲工程队工作4天，乙工程队工作5天，共修路1 300 m．
(1)甲、乙两个工程队每天分别修路多少米？
(2)甲、乙两个工程队共同施工8天后，由于工作需要，从乙工程队抽调了部分工人去其他工程工作(每人每天工作量相同)，最终20天完成任务，求从乙工程队抽调走的人数．
第7课时 实际问题与二元一次方程组(4)—— 销售问题
基础过关
1．已知甲、乙两种商品原来的单价之和为100元，因市场变化，甲商品降价10%，乙商品提价40%，调价后两种商品的单价之和为120元，求两种商品原来的单价．
2．某商场销售A，B两种型号的计算器，A型的进价为30元/台，B型的进价为40元/台，售出5台A型和1台B型可获利76元，售出6台A型和3台B型可获利120元，求A，B两种型号的计算器的售价各是多少元？
能力提升
3．A，B两件商品的成本共200元，A商品按30%的利润定价，B商品按20%的利润定价．因长时间未售出，后来两件商品都按定价打九折出售，结果仍获得利润27.7元．求A商品的成本是多少元？
思维拓展
4．某超市销售每台进价分别为80元、200元的甲、乙两种型号的热水壶，下表是六月份前两周的销售情况(进价、售价均保持不变)．
销售时段 销售数量(单位：台) 销售收入 (单位：元)
甲种型号 乙种型号
第一周 6 5 2 100
第二周 4 10 3 400
(1)求甲、乙两种型号的热水壶的销售单价．
(2)若超市一共采购这两种型号的热水壶120台，售完后该超市能否实现利润刚好为8 000元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由．
*第8课时 三元一次方程组的解法及其应用
基础过关
1．解三元一次方程组时，若先消去z，则下列对方程组的变形正确的是( )
A．①－②，②＋③
B．①×2＋③，②×2＋③
C．①＋②，②×2＋③
D．①＋③，②＋③
2．方程组的解是________．
3．解下列三元一次方程组：
(1)
(2)
能力提升
4．某足球联赛前12轮比赛后，前三名队伍的比赛成绩如下表：
胜(单位：场) 平(单位：场) 负(单位：场) 积分
甲队 8 2 2 26
乙队 6 5 1 23
丙队 5 7 0 22
问每队胜一场、平一场、负一场各得多少分？
思维拓展
5．阅读材料：
解方程组：
解：令 ＝＝＝k，则x＝2k，y＝3k，z＝4k．
把x＝2k，y＝3k，z＝4k代入②，
得4k＋3k＋4k＝22．解得k＝2．
所以x＝4，y＝6，z＝8．
即这个方程组的解为
根据上述材料，解方程组：
第十章 二元一次方程组
第1课时 二元一次方程组
1．A 2．B 3．C 4．C 5．－2
6．（1）
x －1 0 1 2 3
方程① y 12 8 4 0 －4
方程② y －6 －4 －2 0 2
（2）
7．C 8．2
9．解：设获得一等奖的班级有x个，获得二等奖的班级有y个．
由题意，得
又是方程组的解，
∴获得一等奖的班级有3个，获得二等奖的班级有5个．
10．C
第2课时 解二元一次方程组（1）——代入消元法
1．B 2．C 3．（1）y＝7－3x；（2）x＝
4．解：（1）把①代入②，得5－2y＋y＝3．
解这个方程，得y＝2．
把y＝2代入①，得x＝1．
所以这个方程组的解是
（2）由①，得y＝2－2x．③
把③代入②，得8x＋3（2－2x）＝9．
解这个方程，得x＝．
把x＝代入③，得y＝－1．
所以这个方程组的解是
5．C
6．解：把代入方程组得
由①，得n＝2m－1．③
把③代入②，得2（2m－1）＋m＝8．
解这个方程，得m＝2．
把m＝2代入③，得n＝3．
∴mn＝2×3＝6，即mn的值为6．
7．解：设最初报名时男生有x名，女生有y名．
根据题意，得解得
答：最初报名时男生有12名，女生有9名．
8．解：根据题意，得
整理，得
由①，得b＝7－2a．③
把③代入②，得－a＋7－2a＝4．
解这个方程，得a＝1．
把a＝1代入③，得b＝5．
所以这个方程组的解是
第3课时 解二元一次方程组（2）——加减消元法
1．D 2．C
3．解：（1）
①＋②，得6x＝12，x＝2．
把x＝2代入①，得4＋y＝5，y＝1．
所以这个方程组的解是
（2）
①×2，得18m＋4n＝30．③
③－②，得15m＝20，m＝．
把m＝代入①，得12＋2n＝15，n＝．
所以这个方程组的解是
（3）
①×6，得30x＋36y＝120．③
②×5，得30x＋25y＝120．④
③－④，得11y＝0，y＝0．
把y＝0代入①，得5x＝20，x＝4．
所以这个方程组的解是
4．B 5．B
6．解：由题意，得解得
∴该二元一次方程为y＝x＋．
把x＝－2代入，得y＝×（－2）＋＝．
∴当x＝－2时，y＝．
7．解：
②－①，得20x＋20y＝20，即x＋y＝1．③
①－③×2 002，得2y＝4，y＝2．
把y＝2代入③，得x＋2＝1，x＝－1．
所以这个方程组的解是
微专题4 二元一次方程组的解法综合
1．C
2．解：（1）由①，得y＝7－x．③
把③代入②，得3x＋7－x＝17．
解这个方程，得x＝5．
把x＝5代入③，得y＝2．
所以这个方程组的解是
（2）①×4，得8x－4y＝44．③
②＋③，得13x＝52，x＝4．
把x＝4代入①，得8－y＝11，y＝－3．
所以这个方程组的解是
3．解：（1）等式的性质1 3y＋1．
（2）选择圆圆的方法，解答过程如下：
由②，得y＝9－4x．③
把③代入①，得2x＝3（9－4x）＋1．
解这个方程，得x＝2．
把x＝2代入③，得y＝1．
所以这个方程组的解是
[或选择芳芳的方法，解答过程如下：
把①代入②，得2（3y＋1）＋y＝9．
解这个方程，得y＝1．
把y＝1代入②，得4x＋1＝9，x＝2．
所以这个方程组的解是]
4．解：（1）
①×4－②，得13y＝－26，y＝－2．
把y＝－2代入①，得 x＋3×（－2）＝－6，x＝0．
所以这个方程组的解是
（2）
①×10，得8x－9y＝20．③
②×3，得18x－9y＝7.5．④
③－④，得－10x＝12.5，x＝－．
把x＝－代入②，得－－3y＝，y＝－．
所以这个方程组的解是
5．解：
（1）①－②，得3x＋3y＝9．∴x＋y＝3．
（2）①×4－②，得18x＋9y＝45．∴2x＋y＝5．
6．2
微专题5 二元一次方程（组）的含参问题
1．A 2．D 3．6 4．1
5．解：根据题意，得解得
∴方程组和的相同的解是
把代入x＋y＝a，得a＝2．
把代入x－2y＝b，得b＝5．
6．4 7．C
8．解：（1）
①＋②，得4x＝12，x＝3．
把x＝3代入①，得3－y＝4，y＝－1．
所以这个方程组的解是
（2）由题意，得
③＋④，得2x＝4，x＝2．
把x＝2代入③，得2＋y＝0，y＝－2．
所以这个方程组的解是
把代入*x＋y＝8，
得2×*＋（－2）＝8．解得*＝5．
第4课时 实际问题与二元一次方程组（1）——和差倍分问题
1．B 2． 3．
4．解：设每支羽毛球拍的价格是x元，每支乒乓球拍的价格是y元．
根据题意，得解得
答：每支羽毛球拍的价格是80元，每支乒乓球拍的价格是70元．
5．解：设第一周樱桃的售价是每千克x元，第二周樱桃的售价是每千克y元．
由题意，得解得
答：第二周樱桃的售价是每千克80元．
6．解：（1）（225－x） y．
（2）由题意，得解得
∴225－x＝180，y＝6．
答：这份营养午餐中碳水化合物的质量为180 g，矿物质的质量为6 g．
第5课时 实际问题与二元一次方程组（2）——几何与配套问题
1．C 2．
3．解：设每个大棚的长为a m，宽为b m．
根据题意，得解得
答：每个大棚的长为14 m，宽为8 m．
4．12
5．解：设用x m的布料做衣身，y m的布料做衣袖．
由题意，得解得
答：用60 m的布料做衣身，72 m的布料做衣袖才能使做的衣身和衣袖恰好配套．
6．A
第6课时 实际问题与二元一次方程组（3）——行程与工程问题
1． 2． 3．50
4．解：应选甲公司．理由如下：
设工作总量为1，甲公司每周的工作效率为m，乙公司每周的工作效率为n．
根据题意，得解得
∵＞，即甲公司的工作效率比乙公司高，
∴从节约时间的角度考虑，应选甲公司．
5．解：设乙的速度为x m/min，环形场地的周长为y m，则甲的速度为2.5x m/min．
由题意，得解得
2.5×150＝375．
答：甲的速度为375 m/min，乙的速度为150 m/min，环形场地的周长为900 m．
6．解：（1）设甲工程队每天修路x m，乙工程队每天修路y m．
由题意，得解得
答：甲工程队每天修路200 m，乙工程队每天修路100 m．
（2）设从乙队抽调走的人数为m．
根据题意，得8×100＋（20－8）××（20－m）＝5 280－20×200．解得m＝12．
答：从乙队抽调走的人数为12．
第7课时 实际问题与二元一次方程组（4）——销售问题
1．解：设甲商品原来的单价是x元，乙商品原来的单价是y元．
由题意，得解得
答：甲商品原来的单价是40元，乙商品原来的单价是60元．
2．解：设A型计算器的售价为x元/台，B型计算器的售价为y元/台．
根据题意，得解得
答：A型计算器的售价为42元/台，B型计算器的售价为56元/台．
3．解：设A商品的成本是x元，B商品的成本是y元．
由题意，得
解得
答：A商品的成本是130元．
4．解：（1）设甲种型号的热水壶的销售单价为x元，乙种型号的热水壶的销售单价为y元．
由题意，得解得
答：甲种型号的热水壶的销售单价为100元，乙种型号的热水壶的销售单价为300元．
（2）设采购甲种型号的热水壶m台，则采购乙种型号的热水壶（120－m）台．
由题意，得（100－80）m＋（300－200）（120－m）＝8 000．
解得m＝50．
∴120－m＝120－50＝70．
答：售完后能实现利润刚好为8 000元的目标．其方案为采购甲种型号的热水壶50台，乙种型号的热水壶70台．
*第8课时 三元一次方程组的解法及其应用
1．C 2．
3．解：（1）把①代入②，得y＋z＝5．④
把①代入③，得y＋2z＝3．⑤
④与⑤组成方程组
解这个方程组，得
把代入①，得x＝5．
因此，这个三元一次方程组的解为
（2）①＋②，得3x＋z＝1．④
②＋③，得3x－2z＝－2．⑤
④与⑤组成方程组
解这个方程组，得
把代入①，得y＝．
因此，这个三元一次方程组的解为
4．解：设每队胜一场得x分，平一场得y分，负一场得z分．
由题意，得解得
答：每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．
5．解：令 ＝＝＝k，
则x＝2k－1，y＝3k－2，z＝4k－3．
把x＝2k－1，y＝3k－2，z＝4k－3代入2x＋3y－z＝13，
得4k－2＋9k－6－4k＋3＝13．解得k＝2．
所以x＝3，y＝4，z＝5．即这个方程组的解为
