陕西省西安市长安一中 2024-2025 学年高一上学期期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = { | = ln( 2)}， = { | = }，则( ) ∩ =( )
A. ( 2,0) B. (0,2] C. (0,2) D. [0,2]
2.一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金.一顾客到店购买黄金100 ，售货员先将50 砝码放在天平左
盘中，取出黄金放在右盘中使天平平衡；再将50 砝码放在天平右盘中，再取出黄金放在左盘中使天平平衡；
最后将两次称得的黄金交给顾客.你认为顾客购得的黄金( )
A. 小于100 B. 等于100
C. 大于100 D. 与左右臂的长度有关
3.已知关于 的不等式 2 + + > 0的解集为{ | 2 < < 7}，其中 ， ， 为常数，则不等式 2 + +
≥ 0的解集是( )
1 1 1 1
A. { | ≤ ≤ } B. { | ≤ 或 ≥ }
2 7 7 2
1 1 1 1
C. { | ≤ ≤ } D. { | ≤ 或 ≥ }
7 2 2 7
4.二次函数 ( ) = 2 + 2 1在区间( ∞, 2)上单调递增的一个充分不必要条件为( )
1
A. > 1 B. < 2 C. < < 0 D. 0 < < 1
2
5.设 ( )是定义域为 的偶函数，且在(0, +∞)单调递增，则( )
1 3 2 1 2 3
A. ( ) > (2 3 2) > (2
3) B. ( 3 ) > (2 3) > (2
2)
4 4
3 2 2 3
1 1
C. (2 2) > (2 3) > ( 3 ) D. (2 3) > (2 2) > ( 3 ) 4 4
6.已知定义在 上的函数 ( )在[1, +∞)上单调递增，且 ( + 1)是偶函数，则满足 (2 ) > ( + 2)的 的取
值范围为( )
2 2
A. ( ∞, ) B. ( ∞, ) ∪ (2, +∞)
3 3
C. (0,2) D. ( ∞, 0) ∪ (2, +∞)
7.基本再生数 0与世代间隔 是新冠肺炎的流行病学基本参数，基本再生数指一个感染者传染的平均人数，
世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型： ( ) = 描述累
计感染病例数 ( )随时间 (单位：天)的变化规律，指数增长率 与 0， 近似满足 0 = 1 + .有学者基于已
有数据估计出 0 = 3.28， = 6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加2倍需要的时间约为
( )( 3 ≈ 1.10)
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A. 1.9天 B. 1.8天 C. 2.9天 D. 2.8天
| 2( 2)|,2 < ≤ 6
8.定义在[ 1,6]上的 ( ) = { 2 ， ( )满足对关于 的方程[ ( )]
2 ( + 1) ( ) + =
( 1) , 1 ≤ ≤ 2
0有8个不同的实数根，则实数 的取值范围是( )
A. (0,1) B. [0,1] C. (1,2) D. [1,2]
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法错误的是( )
1 3
A. 若 ( )的定义域为[ 2,2]，则 (2 1)的定义域为[ , ]
2 2
B. 函数 = 的值域为( ∞, 2) ∪ (2, +∞)
1
17
C. 函数 = 2 + √ 1 的值域为( ∞, ]
8
D. 函数 ( ) = 2 2 + 4在[ 2,2]上的值域为[4,12]
2 1
10.已知函数 ( ) =
2
，下面说法正确的有( )
+1
A. ( )是偶函数
B. ( )的值域为( 2,2)
C. ( )的图象关于原点对称
( ) ( )
D. 1， 2 ∈ ，且 1 ≠ 2，
1 2 > 0恒成立
1 2
11.设函数 = ( )的定义域为 ，且满足 ( ) = (2 )， ( ) = ( 2)，当 ∈ ( 1,1]时， ( ) =
2 + 1，则下列说法错误的是( )
A. (2024) = 1
B. 当 ∈ [4,6]时， ( )的取值范围为[ 1,0]
C. = ( + 3)为偶函数
D. 方程 ( ) = lg( + 1)仅有6个不同实数解
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
4 16
12.若两个正实数 ， 满足 + = 3，且不等式 + ≥ 恒成立，则实数 的取值范围为______．
+1
1, ∈
13.若定义在 上的函数 ( ) = { ，则称 ( )为 函数对于 函数 ( )，下列结论中错
0,
误的是______(填序号即可)
①函数 ( )为偶函数；
②对于任意 ∈ ，都有 [ ( )] = 1；
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+ ( )+ ( )
③对于任意两数 ， ∈ ，都有 ( ) ≤ ；
2 2
④对于任意 ∈ ，都有 ( + 1) = ( )．
14.若函数 ( )与 ( )对于任意 1， 2 ∈ [ , ]，都有 ( 1) ( 2) ≥ ，则称函数 ( )与 ( )是区间[ , ]上
的“ 阶依附函数”.已知函数 ( ) = 3 2与 ( ) = 2 + 6是区间[1,2]上的“2阶依附函数”，
则实数 的取值范围是______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
2 2 6已知集合 = { | 8 + 12 ≤ 0}， = { | < 1}， = { | 2 (2 + 1) + ( + 1) < 0}， = ．
5
(1)求 ∪ ，( ) ∩ ；
(2)若 ，求 的取值范围．
16.(本小题12分)
已知函数 ( ) = 4 2 +1 + ， ∈ [0,1]．
(1)当 = 1时，求 ( )的值域；
1
(2)若 ( )的最小值为 ，求 的值．
4
17.(本小题12分)
近年来，西安市长安区认真践行“绿水青山就是金山银山”生态文明理念，围绕良好的生态禀赋和市场需
求，深挖冷水鱼产业发展优势潜力，现已摸索出以虹鳟、鲟鱼等养殖为主方向，为扩大养殖规模，某鲟鱼
养殖场计划在如图所示的扇形区域 内修建矩形水池 ，矩形一边 在 上，点 在圆弧 上，
点 在边 上，且∠ = ， = 60米，设∠ = ．
3
(1)求扇形 的面积；
(2)求矩形 的面积 ( )；当 为何值时， ( )取得最大值，并求出这个最大值．
18.(本小题12分)
若存在实数对( , )，使等式 ( ) (2 ) = 对定义域中每一个实数 都成立，则称函数 ( )为( , )型
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函数．
(1)若函数 ( ) = 2 是( , 1)型函数，求 的值；
1
(2)若函数 ( ) = 是( , )型函数，求 和 的值；
(3)已知函数 ( )定义在[ 2,4]上， ( )恒大于0，且为(1,4)型函数，当 ∈ (1,4]时， ( ) = ( 2 )
2 +
2 + 2.若 ( ) ≥ 1在[ 2,4]恒成立，求实数 的取值范围．
19.(本小题12分)
已知函数 ( ) = √ 3sin( + ) + 2 2( + ) 1 ( > 0)的相邻两对称轴间的距离为 ．
6 2 12 2
(1)求 ( )的解析式；
1
(2)将函数 ( )的图象向右平移 个单位长度，再把横坐标缩小为原来的 (纵坐标不变)，得到函数 = ( )的
6 2
图象，当 ∈ [ , ]时，求函数 ( )的值域．
12 6
4 4
(3)对于第(2)问中的函数 ( )，记方程 ( ) = 在 ∈ [ , ]上的根从小到依次为 1， 2， ， ，试确定 的3 6 3
值，并求 1 + 2 2 + 2 3 + + 2 1 + 的值．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】{ | ≤ 9}
13.【答案】③
14.【答案】( ∞, 2 + 2√ 5]
15.【答案】解：(1)由 2 8 + 12 ≤ 0，解得2 ≤ ≤ 6，
所以 = { |2 ≤ ≤ 6}，
所以 = { | < 2或 > 6}，
2 6 1
由 < 1，得 < 0，
5 5
所以( 1)( 5) < 0，
解得1 < < 5，
所以 = { |1 < < 5}，
所以 ∪ = { |1 < ≤ 6}，( ) ∩ = { |1 < < 2}；
(2) = { | 2 (2 + 1) + ( + 1) < 0} = { | < < + 1}，
因为 ， = { |1 < < 5}，
≥ 1
所以{ ，
+ 1 ≤ 5
解得1 ≤ ≤ 4，
所以 的取值范围是{ |1 ≤ ≤ 4}．
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16.【答案】(1)根据题意，函数 ( ) = 4 2 +1 + ， ∈ [0,1]，
当 = 1时， ( ) = 4 2 +1 + 1， ∈ [0,1]，
令2 = ，因为 ∈ [0,1]，则 ∈ [1,2]，
所以 = 2 2 + 1 = ( 1)2，其中 ∈ [1,2]，根据二次函数性质可知，
当 = 1时， = 0； = 2时， = 1，即 ∈ [0,1]，
所以 ( )的值域为[ 2, 1]，[0,1]．
(2)令2 = ，因为 ∈ [0,1]，则 ∈ [1,2]，
则 ( ) = ( ) = 2 2 + ，开口向上且对称轴为 = ，
1 3
当 ≤ 1时， ( )在 ∈ [1,2]上递增，此时 ( ) = ( ) = (1) = 1 = ，解得 = ； 4 4
当1 < < 2时， ( )在[1, ]上递减，在[ , 2]上递增，
1 1
所以 ( ) = ( ) = ( ) =
2 + = ，可得 = ，不合题意舍去；
4 2
1
当 ≥ 2时， ( )在[1,2]上递减，所以 ( ) = ( ) = (2) = 4 3 = ， 4
5
可得 = ，不合题意；
4
3
综上， = ．
4
17.【答案】解：(1)根据题意，∠ = ，扇形半径 = 60米，
3
1
所以扇形 的面积为 × × 602 = 600 平方米．
2 3
(2)在直角三角形 中， = 60 ， = 60 ，
√ 3
在直角三角形 中， = = 60 ，那么 = = × 60 ，
√ 3 3
因此 = = 60 20√ 3 ，
所以 面积 ( ) = = 60 (60 20√ 3 )
√ 3 1 1
= 1200√ 3( 2 + 2 )
2 2 2
= 1200√ 3sin(2 + ) 600√ 3，0 < < ，
6 3
因此函数 ( ) = 1200√ 3sin(2 + ) 600√ 3(0 < < )；
6 3
5
根据0 < < ，得 < 2 + < ，所以当2 + = 时， = 时， ( ) = 600√ 3， 3 6 6 6 6 2 6
因此当 = 时，面积 ( )取得最大值，最大值为600√ 3平方米．
6
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18【. 答案】解：(1)由 ( ) = 2 是( , 1)型函数，得 ( ) (2 ) = 2 22 = 1，即22 = 1，所以 = 0．
1 1 1 1
(2)由 ( ) = 1是( , )型函数，得 ( ) (2 ) =
2 = ，则 + = ，因此 2
2
= 0
2 + 2 = 0对定义域{ | ≠ 0}内任意 恒成立，于是{2 = 0，解得 = 0， = 1，所以 = 0， = 1．
2 = 0
(3)由 ( )是(1,4)型函数，得 ( ) (2 ) = 4，
(1)当 = 1时， (1) (1) = 4，而 ( ) > 0，则 (1) = 2，满足 ( ) ≥ 1；
(2)当 ∈ (1,4]时， ( ) = ( 22 ) + 2 + 2 ≥ 1恒成立，
2 1 1令log2 = ，则当 ∈ (0,2]时， + + 2 ≥ 1恒成立，于是 ≥ 恒成立，而函数 = 在(0,2]单
1 3 3
调递增，则 ≤ ，当且仅当 = 2时取等号，因此 ≥ ；
2 2
4 4
(3)当 ∈ [ 2,1)时，2 ∈ (1,4]，则 ( ) = = ，由 ( ) ≥ 1，得0 <
(2 ) 2 [ 2(2 )] + 2(2 )+2
[ 2(2 )]
2 + 2(2 ) + 2 ≤ 4，
令log 22(2 ) = ，则当 ∈ (0,2]时，0 < + + 2 ≤ 4，
2 2
由(2)知 2 + + 2 ≥ 1，则只需 ∈ (0,2]时， 2 + + 2 ≤ 4恒成立，即 ≤ + 恒成立，又 + ≥
2
2√ = 2√ 2，当且仅当 = √ 2时取等号，因此 ≤ 2√ 2，
3
所以实数 的取值范围是：[ , 2√ 2].
2
+
19.【答案】解：(1)由题意，函数 ( ) = √ 3sin( + ) + 2 2( 6) 1
6 2
= √ 3sin( + ) cos( + ) = 2 ( + ) = 2 ，
6 6 6 6
因为函数 ( )图像的相邻两对称轴间的距离为 ，所以 = ，可得 = 2．
2
( ) = 2 2 ．
(2)将函数 ( )的图像向右平移 个单位长度，可得 = 2 (2 )的图像，
6 3
1
再把横坐标缩小为原来的 ，得到函数 = ( ) = 2 (4 )的图像，
2 3
2
当 ∈ [ , ]时，4 ∈ [ , ]，
12 6 3 3 3
当4 = 时，函数 ( )取得最小值，最小值为 2，
3 2
当4 = 时，函数 ( )取得最大值，最小值为√ 3，故函数 ( )的值域3 3 [ 2, √ 3]．
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4 4 2
(3)由方程 ( ) = ，即2 (4 ) = ，即sin(4 ) = ，
3 3 3 3 3
4 2
因为 ∈ [ , ]，可得4 ∈ [ , 5 ]，设 = 4 ，其中 ∈ [ , 5 ]，即 = ，
6 3 3 3 3 3 3
结合正弦函数 = 的图像，
2
可得方程 = 在区间[ , 5 ]有5个解，即 = 5，
3 3
其中 1 + 2 = 3 ， 2 + 3 = 5 ， 3 + 4 = 7 ， 4 + 5 = 9 ，
即4 1 + 4 3 2 = 3 , 4 3 2 + 4 3 = 5 , 4 3 + 4 = 7 , 4 + 4 = 9 3 3 3 4 3 4 3 5 3
11 17 23 29
解得 1 + 2 = , 2 + 3 = , + = , + = 12 12 3 4 12 4 5 12
20
所以 1 + 2 2 + 2 3 + + 2 4 + 5 = ( 1 + 2) + ( 2 + 3) + ( 3 + 4) + ( 4 + 5) = ． 3
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