2024-2025学年广东省广州市越秀区高二（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，，则直线的倾斜角大小是( )
A. B. C. D.
2.已知等差数列的前项和为，，则公差( )
A. B. C. D.
3.已知直线：，圆：，则直线被圆截得的弦长是( )
A. B. C. D.
4.在空间直角坐标系中，已知，，则点到直线的距离为( )
A. B. C. D.
5.若，分别是圆：与圆：上的点，则的最小值为( )
A. B. C. D.
6.已知，是椭圆的两个焦点，是上的一点，若，且，则的离心率为( )
A. B. C. D.
7.记数列的前项和为，则“为等差数列”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
8.双曲线具有如下的光学性质：从双曲线一个焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点若双曲线：的左、右焦点分别为，，从发出的光线经过图中的，两点反射后，分别经过点，，且，，则的渐近线方程为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.如图的一系列三角形图案称为谢尔宾斯基三角形在图中个大三角形中，灰色三角形的个数依次构成一个数列的前项，设数列的前项和为，则( )
A. B. C. D.
10.已知为坐标原点，点在抛物线：上，过点的直线交于，两点，则( )
A. 的准线方程为 B. 直线与相切
C. D.
11.如图，两个正方形，的边长都是，且它们所在平面互相垂直，动点，分别在正方形对角线和上移动，且，则下列结论中正确的有( )
A. 线段的长度的最小值为
B. 当时，直线与直线相交
C. 直线与平面所成的角恒为
D. 始终存在经过且与平面平行的平面
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知数列的前项和公式为，则 ______．
13.写出一个同时满足下列性质的双曲线方程：______．
与椭圆有公共焦点；
离心率大于．
14.在正方体中，，分别为，的中点，是平面内的动点，直线与直线的夹角等于，则点的轨迹是______只需指出曲线的类型．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在平面直角坐标系中，已知，，动点满足，点的轨迹为曲线．
求曲线的方程；
过点作曲线的切线，求切线的方程．
16.本小题分
在长方体中，点，分别在，上，且平面．
证明：；
若，且三棱锥的体积为，求平面与平面的夹角的余弦值．
17.本小题分
如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的详解九章算法商功中，后人称为“三角垛”“三角垛”最上层有个球，第二层有个球，第三层有个球，，设第层有个球．
求，，以及数列的通项公式；
若，求数列的前项和．
18.本小题分
在四棱锥中，底面是正方形，底面，，，．
设平面与棱相交于点．
求证：；
求截面的面积；
设平面与棱相交于点，求的长．
19.本小题分
已知椭圆：的长轴长是短轴长的倍，左焦点为，左、右顶点分别为，，上顶点为，且外接圆的半径为．
求椭圆的方程；
设斜率存在的直线交椭圆于，两点位于轴的两侧，记直线，，，的斜率分别为，，，，且
试问直线是否恒过定点？若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由；
求的面积的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.答案不唯一
14.抛物线
15.解：设，又，，，
，
两边平方化简可得曲线的方程为；
由可知曲线为圆：，其圆心，半径，
当切线的斜率不存在时，的方程为，此时到的距离，
切线的斜率存在，设切线的方程为，即，
圆心到切线的距离，
解得或，
所求切线的方程为或．
16.证明：因为平面，平面，所以，
由正方体的性质知，平面，
因为平面，所以，
又，C、平面，所以平面，
因为平面，所以B.
解：因为三棱锥的体积为，
所以，解得，
以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，
设，则，，
由知，
所以，解得，即，
同理可得，
所以，，
设平面的法向量为，则，
取，则，，所以，
设平面的法向量为，则，
取，则，所以，
设平面与平面的夹角为，
则，，
故平面与平面的夹角的余弦值为．
17.解：由题意可得，，，，
，；
由题意可得，，，，，，
以上个式子相加可得，，
所以，
所以
．
18.解：证明：因为底面是正方形，所以，
因为平面，平面，所以平面，
因为平面，平面平面，所以；
如图，
因为底面，所以，
因为，，所以平面，
因为平面，所以，
因为，，，
所以，且，
所以四边形为直角梯形，其中，，
因为，，所以，
则，
，
所以直角梯形的面积为，即截面的面积为；
如图，
延长交于点，连接，则与交点即为点，
因为，所以为线段中点，
又因为，所以≌，所以，
以为原点建立空间直角坐标系如图，则，，，，
设点，则，，
因为，所以，解得，
所以，．
19.解：因为长轴长是短轴长的倍，
所以，即，
又，
所以，
所以在中，可得，
由正弦定理可得，
解得，
所以，
所以椭圆的方程为．
由条件可知，直线的斜率不为，
设直线的方程为，，，
联立，得，
由，得，
所以，，
因为，，在椭圆上，
所以，
所以，
同理，
所以，，
因为，
所以，
即，
又直线的斜率存在，
所以，于是，
所以，即，
又，，
所以，
所以，
所以，
所以，
又，位于轴的两侧，
所以，
解得，
所以，
此时直线与椭圆有两个不同的交点，
所以直线恒过定点．
当时，，，
所以的面积
，
令，
因为直线的斜率存在，则，，
所以，
又函数在上单调递减，
又当时，，
所以面积的取值范围为
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